2023年江西省景德鎮(zhèn)市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在正方體中，與所成的角為（）A．30° B．90° C．60° D．120°2．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C．-1 D．13．已知向量，滿(mǎn)足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于點(diǎn)（－，0）對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)5．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B．“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C．“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D．“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”6．與直線(xiàn)平行，且與直線(xiàn)交于軸上的同一點(diǎn)的直線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．7．正三角形的邊長(zhǎng)為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（）A． B．C． D．9．與直線(xiàn)平行，且到的距離為的直線(xiàn)方程為A． B． C． D．10．記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，則的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，等比數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前15項(xiàng)和.12．函數(shù)的反函數(shù)為_(kāi)___________．13．已知函數(shù)的最小正周期為，若將該函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后，所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi)_______.14．若直線(xiàn)y＝x＋m與曲線(xiàn)x＝恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.15．已知x、y滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)_______.16．若三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，,則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝，S6＝.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.18．如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.(1)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求證:平面BDE;(2)若點(diǎn)F在線(xiàn)段PA上,且,當(dāng)三棱錐的體積為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.19．已知銳角三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是，且．（1）求A的大?。唬?）若，求的面積．20．若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)函數(shù)有“和一點(diǎn)”.（1）函數(shù)是否有“和一點(diǎn)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：有“和一點(diǎn)”.21．己知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

把異面直線(xiàn)與所成的角，轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)與所成的角，利用為正三角形，即可求解．【詳解】連結(jié)，則，所以相交直線(xiàn)與所成的角，即為異面直線(xiàn)與所成的角，連結(jié)，則是正三角形，所以，即異面直線(xiàn)與所成的角，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中異面直線(xiàn)及其所成角的求法，其中根據(jù)異面直線(xiàn)的定義，把異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

根據(jù)投影的定義和向量的數(shù)量積求解即可．【詳解】解：∵，，∴向量在向量方向上的投影，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

將變形解出夾角的余弦值，從而求出與的夾角．【詳解】由得，即又因?yàn)?，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角，屬于簡(jiǎn)單題．4、A【解析】

關(guān)于點(diǎn)（－，0）對(duì)稱(chēng)，選A.5、C【解析】

結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C,“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件,符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D,“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

直線(xiàn)交于軸上的點(diǎn)為，與直線(xiàn)平行得到斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得到答案.【詳解】與直線(xiàn)平行直線(xiàn)交于軸上的點(diǎn)為設(shè)直線(xiàn)方程為：代入交點(diǎn)得到即故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)的平行關(guān)系，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題型.7、C【解析】

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法以及正余弦定理求解各邊長(zhǎng)再求周長(zhǎng)即可.【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法可知,,,.所以.故..故.所以的周長(zhǎng)為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)以及余弦定理在求解三角形中線(xiàn)段長(zhǎng)度的運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)于．時(shí)，，故錯(cuò)誤．對(duì)于．，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故最小值不可能為1，故錯(cuò)誤．對(duì)于，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值為1．對(duì)于.，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故不對(duì)；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，難點(diǎn)在于應(yīng)用基本不等式時(shí)對(duì)“一正二定三等”條件的理解與靈活應(yīng)用，屬于中檔題．9、B【解析】試題分析：與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)設(shè)為與的距離為考點(diǎn)：兩直線(xiàn)間的距離點(diǎn)評(píng)：兩平行直線(xiàn)間的距離10、B【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價(jià)于cos∠APC＜0，即

，從而可求λ的取值范圍．【詳解】

由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1）

∴

=（1，1，-1），∴

=（λ，λ，-λ），

∴

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）

顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價(jià)于cos∠APC＜0

∴

∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

＜λ＜1

因此，λ的取值范圍是（

，1），故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用空間向量求直線(xiàn)間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1），；（2）125.【解析】

（1）直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的公式得到答案.（2），前5項(xiàng)為正，后面為負(fù)，再計(jì)算數(shù)列的前15項(xiàng)和.【詳解】解：（1）聯(lián)立，解得，，故，，聯(lián)立，解得，故.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，絕對(duì)值和，判斷數(shù)列的正負(fù)分界處是解題的關(guān)鍵.12、【解析】

由原函數(shù)的解析式解出自變量x的解析式，再把x和y交換位置，即可得到結(jié)果.【詳解】解：記∴故反函數(shù)為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與反函數(shù)的定義，求反函數(shù)的方法和步驟，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域．13、【解析】

先利用周期公式求出，再利用平移法則得到新的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出的表達(dá)式，即可求出的最小值．【詳解】由得，所以，向左平移個(gè)單位后，得到，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，有，則，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及圖像變換，以及型的函數(shù)奇偶性判斷條件．一般地為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則；為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則．14、{m|－1＜m≤1或m＝－}【解析】

由x=，化簡(jiǎn)得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個(gè)曲線(xiàn)應(yīng)該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫(huà)出圖象，這樣因?yàn)橹本€(xiàn)與其只有一個(gè)交點(diǎn)，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】由x=，化簡(jiǎn)得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個(gè)曲線(xiàn)應(yīng)該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫(huà)出圖象，這樣因?yàn)橹本€(xiàn)與其只有一個(gè)交點(diǎn)，從圖上看出其三個(gè)極端情況分別是：①直線(xiàn)在第四象限與曲線(xiàn)相切，②交曲線(xiàn)于（0，﹣1）和另一個(gè)點(diǎn)，③與曲線(xiàn)交于點(diǎn)（0，1）．直線(xiàn)在第四象限與曲線(xiàn)相切時(shí)解得m=﹣，當(dāng)直線(xiàn)y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，m=1．當(dāng)直線(xiàn)y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣1）時(shí)，m=﹣1，所以此時(shí)﹣1＜m≤1．綜上滿(mǎn)足只有一個(gè)公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是：﹣1＜m≤1或m=﹣．故答案為：{m|－1＜m≤1或m＝－}．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．15、－3【解析】

作出可行域，目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值.【詳解】作出可行域如圖表示：目標(biāo)函數(shù)，化為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，則取得最小值，由，解得，即，的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由已知計(jì)算后知也是以為斜邊的直角三角形，這樣的中點(diǎn)到棱錐四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即為外接球的球心，從而很容易得球的半徑，計(jì)算出表面積．【詳解】因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，且為斜邊，為的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸且詾樾边叺牡妊苯侨切?，所以，點(diǎn)即為球心，則該三棱錐的外接圓半徑，故該三棱錐的外接球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，考查三棱錐與外接球，解題關(guān)鍵是找到外接球的球心，證明也是以為斜邊的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．也是尋找外接球球心的一種方法．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）an＝a1qn－1＝2n－2；（2）Tn＝n2－n..【解析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)求得.(2)將代入中，得是等差數(shù)列，再求和.【詳解】(1)∴，解得∴(2)∴∴數(shù)列是等差數(shù)列．又∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，則在△PAC中，中位線(xiàn)EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點(diǎn)M，則FM⊥平面ABCD，進(jìn)一步利用求得最后利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例求出λ的值試題解析：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=Q，又點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，則在△PAC中，中位線(xiàn)EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依據(jù)題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點(diǎn)O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點(diǎn)M，則FM⊥平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，則△PBC為直角三角形，所以，則直角三角形△ABD的面積為，由FM∥PO得：考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理把邊化為對(duì)角的正弦求解；（2）根據(jù)余弦定理和已知求出，再根據(jù)面積公式求解.【詳解】解：（1）由正弦定理得∵，∴，又∵∴（2）由余弦定理得所以即∴∴的面積為【點(diǎn)睛】本題考查解三角形.常用方法有正弦定理，余弦定理，三角形面積公式；注意增根的排除.20、（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）解方程即可判斷；（2）由題轉(zhuǎn)化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數(shù)a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【詳解】（1）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，則不合題意故不存在（2）若函數(shù)f（x）＝2x+a+2x有“和一點(diǎn)”.則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），即cos（x+1）＝cosx+cos1，即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，故存在θ，故cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ），∵cos21﹣（2﹣2cos1）＝cos21+2cos1﹣2＜cos22cos22＜0，故01，故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，即f（x）＝cosx函數(shù)有“和一點(diǎn)”.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題是關(guān)鍵，是中檔題21、（1）最大值為2，此時(shí)；最小值為－1，此時(shí).（2）【解析