電路分析基礎(chǔ)第4章 直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路第4章

直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.1電容元件4.2電感元件4.3換路定律4.4一階電路的響應(yīng)本章小結(jié)閱讀材料：電容器與電容元件實(shí)驗(yàn)7一階RC電路的暫態(tài)響應(yīng)分析1第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

4.1電容元件4.1.1電容元件的定義

電容元件是電路模型中的一個(gè)基本元件，是一種表征電路元件儲(chǔ)存電荷特性的理想元件。

電容元件的定義是：如果一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻，其所儲(chǔ)存的電荷q與端電壓u之間的關(guān)系由u~q平面上的一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件，如圖4-1所示。2第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-1電容元件的q～u特性曲線3第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

電量與電壓大小成正比關(guān)系的電容元件，如果它的q～u曲線是一條通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，如圖4-1(a)所示，則稱為線性電容元件;否則，稱為非線性電容元件，如圖4-1(b)所示。今后所說的電容元件，如無特別說明，都是指線性電容元件,電路符號(hào)如圖4-2所示。4第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-2電容元件的符號(hào)5第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

電容元件的原始模型為由兩塊金屬極板中間用絕緣介質(zhì)隔開的平板電容器。當(dāng)在兩極板上加上電壓后，兩極板就分別積累了等量的正、負(fù)電荷，即對(duì)電容器進(jìn)行了充電，每個(gè)極板所帶電量的絕對(duì)值，叫做電容器所帶的電荷量。同時(shí)，在兩個(gè)極板間建立了電場(chǎng)，儲(chǔ)存電場(chǎng)能量。聚積的電荷愈多，所形成的電場(chǎng)就愈強(qiáng)，電容元件所儲(chǔ)存的電場(chǎng)能也就愈大。當(dāng)電容器兩極板聚積的電荷量改變時(shí)，就形成電流。

電容元件每個(gè)極板所帶電荷量的多少與兩極板間電壓的大小有關(guān)，其關(guān)系式為(4-1)6第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路式(4-1)反映了電容元件容納電荷的本領(lǐng)。我們把電荷量q與電壓u的比值稱為電容元件的電容量，簡稱電容，用C表示，在數(shù)值上等于單位電壓加在電容元件兩端時(shí)，儲(chǔ)存的電荷量。在國際單位制中，電容的單位是法拉，簡稱法(F)。在實(shí)際應(yīng)用中，法拉這個(gè)單位太大，常用較小的單位微法(μF)和皮法(pF)，它們和F(法拉)的換算關(guān)系是

1μF＝10-6F；1pF＝10-12F如果電容元件的電容為常量，不隨它所帶電荷量的變化而變化，這樣的電容元件即為線性電容元件，它的電容量只與其本身的幾何尺寸以及內(nèi)部的介質(zhì)情況有關(guān)。7第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

習(xí)慣上常把電容元件和電容器簡稱為電容，所以“電容”一詞有雙重含義，一是指電容元件(電容器)本身，同時(shí)也指電容元件的參數(shù)(電容量)。

電容具有隔直流、通交流、通高頻、阻低頻的特性。主要用于隔斷直流的電容叫做隔直電容，把高頻信號(hào)與低頻信號(hào)分開的電容叫旁路電容，作為級(jí)間耦合的電容叫耦合電容。當(dāng)加在一個(gè)實(shí)際電容器兩端的電壓超過某一個(gè)限度時(shí)，兩極板間的絕緣介質(zhì)將被擊穿而導(dǎo)電，形成短路，故電容器均有一定的耐壓值，又稱為電容器的額定直流工作電壓。它是電容器在電路中長期(不少于1萬小時(shí))可靠工作所能承受的最高直流電壓。8第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.1.2電容元件的伏安關(guān)系

電容元件兩端的電壓發(fā)生變化時(shí)，兩極板積累的電荷量也要發(fā)生變化，電路中出現(xiàn)了電荷的移動(dòng)，便形成電流。如圖4-3所示，當(dāng)電容上的電壓u和電流i為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，根據(jù)電流的定義，得(4-2)由得q=Cu，代入上式，得(4-3)9第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-3電容元件電壓、電流方向10第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

這就是關(guān)聯(lián)參考方向下電容元件的伏安關(guān)系。式(4-3)表明，流過電容的電流與電容兩端電壓的變化率成正比。也就是說，電容元件任一瞬間電流的大小并不取決于這一瞬間電壓的大小，而是取決于這一瞬間電壓變化率的大小。電壓變化越快，電流越大；電壓變化越慢，電流越小。如果電容兩端電壓保持不變，則通過它的電流為零，因此直流電路中電容元件相當(dāng)于開路。由于電容電流只取決于它兩端電壓的變化率，所以電容元件又叫動(dòng)態(tài)元件。11第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.1.3電容元件的儲(chǔ)能

電容器兩極板有電壓，介質(zhì)中就有電場(chǎng)，并儲(chǔ)存電場(chǎng)能量。因此，電容元件是一種儲(chǔ)能元件。當(dāng)電容元件電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，電容元件的瞬時(shí)功率為(4-4)若p＞0，說明電容吸收能量(功率)，處于充電狀態(tài)；若p＜0，則電容處于放電狀態(tài)，向外釋放能量(功率)。這說明電容能在一段時(shí)間內(nèi)吸收外部供給的能量并儲(chǔ)存起來，在另一段時(shí)間內(nèi)又把能量釋放回電路，它本身并不消耗能量。12第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

設(shè)t＝0瞬間電容元件的電壓為零，經(jīng)過時(shí)間t后電壓升高至u，則電容C從0到t時(shí)間內(nèi)儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為(4-5)若C、u的單位分別為法拉(F)、伏特(V)，則W

的單位為焦耳C(J)。式(4-5)表明，電容元件在某一時(shí)刻的儲(chǔ)能，只與這一時(shí)刻的電壓有關(guān)，與達(dá)到u的過程、電流的大小及有無電流無關(guān)。也就是說，只要電容兩端有電壓，就存在儲(chǔ)能。13第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.1.4電容元件的串、并聯(lián)等效

在實(shí)際工作中，選用電容器時(shí)必須考慮它的電容量和耐壓能力。當(dāng)遇到電容的大小不合適或耐壓不夠的問題時(shí)，就可以把幾個(gè)電容器串聯(lián)、并聯(lián)或混聯(lián)使用。

1.電容器的串聯(lián)

把幾個(gè)電容器各極板首尾相接，順序連成一個(gè)無分支電路的連接方式叫做電容器的串聯(lián)。如圖4-4所示為三個(gè)電容器串聯(lián)的電路。當(dāng)一個(gè)電容器的耐壓不能滿足電路要求，而它的容量又足夠大時(shí)，通常可將幾個(gè)電容器串聯(lián)起來使用。14第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-4電容器的串聯(lián)15第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

電容器串聯(lián)時(shí)，與電源相連的兩個(gè)極板充有等量異號(hào)的電荷量q，中間各極板因靜電感應(yīng)而出現(xiàn)等量異號(hào)的感應(yīng)電荷。顯然，各個(gè)電容器的電荷量均為q，總的電荷量也為q。因此，串聯(lián)電容器組中的每一個(gè)電容器都帶有相等的電荷量，即

q=q

=q

=1q

23根據(jù)電容的定義式，則每個(gè)電容器兩端的電壓分別為(4-6)16第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由KVL列出回路電壓方程u=u

+u

+u

，代入式(4-6)得123(4-7)對(duì)等效電容C而言，它兩端電壓是u，所帶電荷量是q，應(yīng)有關(guān)系式(4-8)比較式(4-7)、式(4-8)得(4-9)17第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路式(4-9)說明，串聯(lián)電容的等效電容的倒數(shù)，等于各個(gè)電容的倒數(shù)之和。如果只有兩個(gè)電容器串聯(lián)，其等效電容為如果有n個(gè)電容器串聯(lián)，可推廣為18第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路當(dāng)n個(gè)電容器的電容相等，均為C

時(shí)，等效電容C為0等效電容C比每個(gè)電容器的電容都小，這相當(dāng)于加大了電容器兩極板間的距離d，因而電容減??；每個(gè)電容的電壓都小于端口電壓，故當(dāng)電容器的耐壓不夠時(shí)，可將電容器串聯(lián)使用，需注意的是電容小的分得的電壓反而大。19第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

2.電容器的并聯(lián)把幾只電容器接到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的連接方式叫做電容器的并聯(lián)。如圖4-5所示為三個(gè)電容器并聯(lián)的電路。

電容并聯(lián)時(shí)，各電容電壓相等，都等于端口電壓u，它們所帶的電荷量分別為

q

=C

u，q

=C

u，q

=C

u112233所以，三個(gè)電容的總電荷量為

q=q

+q

+q

=C

u+C

u+C

u=(C

+C

+C

)u123123123并聯(lián)電容的等效電容為(4-10)20第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-5電容器的并聯(lián)21第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路式(4-10)說明，當(dāng)幾個(gè)電容元件并聯(lián)時(shí)，其等效電容等于各并聯(lián)電容之和。如果有n個(gè)電容器并聯(lián)，可推廣為

C=C

+C

+…+C12n當(dāng)n個(gè)電容器的電容相等，均為C

時(shí)，則等效電容為0

C=nC0

電容器并聯(lián)時(shí)，工作電壓不得超過它們中的最低耐壓。否則，一只電容器被擊穿，整個(gè)并聯(lián)電路就會(huì)被短接，這樣會(huì)對(duì)電路造成危害。當(dāng)電容器的耐壓足夠但電容量不夠時(shí)，可將幾個(gè)電容器并聯(lián)使用，以得到所需的電容量。當(dāng)電容量和耐壓都不夠時(shí)，可將一些電容器混聯(lián)使用，即有些并聯(lián)，有些串聯(lián)。22第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-1】

兩個(gè)電容器C

和C

，其中C

=200μF，耐壓121U

=100V；C

=50μF，耐壓U

=500V。122

(1)計(jì)算兩電容器并聯(lián)使用時(shí)的等效電容和耐壓；

(2)計(jì)算兩電容器串聯(lián)使用時(shí)的等效電容和耐壓。解(1)將兩電容器并聯(lián)使用時(shí)，等效電容為

C=C

+C

=200+50=250μF12耐壓為

U＝U

=1001V23第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

(2)兩電容器串聯(lián)時(shí)，等效電容為因?yàn)?/p>

q

=C

U

=200×10－6×100=20×10－3C11

1

q

=C

U

=50×10－6×500=25×10－3C22

2顯然，q

＜q

，故串聯(lián)后的電荷量12

q=C

U

=20×10－3C1

1耐壓為24第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-2】

電容同為50μF，耐壓同為50V的三只電容器連接如圖4-6所示，求電路的等效電容和耐壓。解C

和C

并聯(lián)后的等效電容為23

C

=C

+C

=50+50=100μF2323電路的等效電容，即C

與C

串聯(lián)的等效電容為123由于C

小于C

，故U

必大于U

，因此需保證U

不超過其耐1231231壓50V。25第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-6例4-2圖26第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路當(dāng)U

=50V時(shí)，1耐壓U＝U

+U

＝50+25=75V，即端口電壓不能超過75V。12327第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-3】

在圖4-7(a)所示電路中，C

=C

=C

=0.2μF，123C

=C

=0.1μF，求等效電容C。45解

為便于觀察連接方式，將圖4-7(a)整理得圖4-7(b)，C

與C

、C

并聯(lián)，其等效電容C

為423234C

與C

串聯(lián)，其等效電容C

為1234123428第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-7例4-3圖29第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

C

與C

并聯(lián)，電路等效電容C為51234

C=C

+C

=0.1+0.1=0.2μF5123430第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

4.2電感元件4.2.1自感現(xiàn)象任何通有電流的導(dǎo)體，和磁體一樣，都可以在其周圍產(chǎn)生磁場(chǎng)，這一現(xiàn)象稱為電流的磁效應(yīng)，是丹麥科學(xué)家奧斯特在1820年發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)導(dǎo)體中的電流發(fā)生變化時(shí)，它周圍的磁場(chǎng)也會(huì)隨著變化。31第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路通常將導(dǎo)線繞制成螺旋狀線圈，稱為電感線圈，當(dāng)電流通過線圈時(shí)，線圈周圍激發(fā)的磁場(chǎng)與其電流i成正比。若穿過單匝線圈的磁感應(yīng)線的多少用磁通Φ表示，對(duì)于一個(gè)有N匝且均勻緊密繞制的線圈，其總磁通NΦ稱為自感磁鏈，簡稱磁鏈，用Ψ表示，即

Ψ=NΦ當(dāng)線圈中間和周圍沒有鐵磁物質(zhì)時(shí)，線圈的磁鏈Ψ也與產(chǎn)生它的電流i成正比，即

Ψ＝Li=NΦ上式中的比例系數(shù)L稱為電感線圈的自感系數(shù)，簡稱自感或電感。電感L的定義為32第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路(4-11)

電感的大小與電流無關(guān)，僅取決于線圈的大小、形狀、匝數(shù)以及周圍(特別是線圈內(nèi)部)磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率(鐵芯電感還與通過的電流i有關(guān))。線圈匝數(shù)越多，橫截面積越大，其電感也越大。有鐵芯的線圈比無鐵芯的線圈電感L大得多。對(duì)于相同的電流變化率，L越大，自感電動(dòng)勢(shì)越大，即自感作用越強(qiáng)。33第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路在國際單位制中，電感的單位為亨利，簡稱亨(H)，還有較小的單位毫亨(mH)和微亨(μH)，它們之間的換算關(guān)系為

1mH＝10-3H，1μH＝10-6H

繞制線圈的導(dǎo)線總存在一定的電阻，所以當(dāng)有電流i通過電感線圈時(shí)，除了在其周圍產(chǎn)生磁場(chǎng)，儲(chǔ)存一定的磁場(chǎng)能量外，電感線圈也要消耗能量。實(shí)際電感線圈消耗的能量很小，一般忽略不計(jì)，可用一個(gè)只代表儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量的理想化的二端元件——電感元件表示，其電路符號(hào)如圖4-8所示。34第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-8電感元件35第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路若電感元件的電感量為常數(shù)，不隨產(chǎn)生磁鏈的電流i的變化而變化，稱為線性電感元件；否則，為非線性電感元件。今后如無特殊說明，均指線性電感元件。

“電感”一詞有雙重含義，既表示一個(gè)電感元件，又表示電感線圈的參數(shù)(電感值)L。

實(shí)際的電感線圈均標(biāo)明電感值和額定工作電流兩個(gè)參數(shù)，使用時(shí)要防止通過電感線圈的電流超過它的額定工作電流，否則會(huì)使線圈過熱而損壞。36第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路當(dāng)電感中通過直流電流時(shí)，其周圍只呈現(xiàn)固定的磁感應(yīng)線，不隨時(shí)間而變化；但當(dāng)線圈中通過交流電流時(shí)，即電感元件的電流發(fā)生變化時(shí)，磁鏈就隨之變化，變化的磁鏈?zhǔn)咕€圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這種由于線圈本身電流發(fā)生變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱為自感電動(dòng)勢(shì)。這個(gè)電動(dòng)勢(shì)總是阻礙導(dǎo)體中原來電流的變化，這種現(xiàn)象就叫做自感現(xiàn)象。37第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.2.2電感元件的伏安關(guān)系由法拉第電磁感應(yīng)定律可知：電路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與穿過這一電路磁通量的變化率成正比。若磁鏈Ψ的參考方向與產(chǎn)生它的電流i的參考方向滿足右手螺旋定則，并且自感電動(dòng)勢(shì)的參考方向與電流的參考方向一致時(shí)，如圖4-9(a)所示，電磁感應(yīng)定律可表示為38第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-9電感元件的電壓電流關(guān)系39第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路當(dāng)選取線圈的電流i、電壓u的參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)方向時(shí)，如圖4-9(b)所示，則有(4-12)此即為電感元件的伏安關(guān)系。式(4-12)表明，某一時(shí)刻電感元件兩端的電壓的大小取決于該時(shí)刻電流對(duì)時(shí)間的變化率，與該時(shí)刻電流的大小無關(guān)。只有當(dāng)電流變化時(shí)，其兩端才會(huì)有電壓。電感電流變化越快，電壓越高；電感電流變化越慢，電壓越低。因此，電感元件也叫動(dòng)態(tài)元件。如果電感元件的電流不隨時(shí)間變化(如直流電)，即磁通沒有變化，電感元件兩端就不產(chǎn)生感應(yīng)電壓，故在直流電路中，電感元件相當(dāng)于短路。40第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.2.3電感元件的儲(chǔ)能

電感元件是一種儲(chǔ)能元件。前面分析已知電感兩端的電壓為當(dāng)選取電感電壓與電流的參考方向一致時(shí)，電感元件吸收的瞬時(shí)功率為若p>0，表明電感從電路中吸收能量，儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中；若p<0，表示電感釋放能量。41第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

電感電流從零增加到i時(shí)，電感元件儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為(4-13)若L的單位為享利(H)，電流的單位為安培(A)，則W

的單位L為焦耳(J)。式(4-13)表明：電感元件某一時(shí)刻所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量，只與該時(shí)刻電流的瞬時(shí)值有關(guān)，與電感的電壓無關(guān)。只要電感中有電流，就儲(chǔ)存有能量。42第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

4.3換路定律4.3.1電路的動(dòng)態(tài)過程及換路定律自然界中的各種事物，其運(yùn)動(dòng)過程都存在著穩(wěn)定狀態(tài)和過渡狀態(tài)。例如火車在啟動(dòng)前速度為零，這是一種穩(wěn)定狀態(tài)，啟動(dòng)后速度由零逐漸上升，直至達(dá)到某一速度后勻速行駛，又進(jìn)入另一種穩(wěn)定狀態(tài)。此外，熱水器燒水從加熱到保溫時(shí)溫度的變化，行駛中的汽車從剎車減速到完全停止，都經(jīng)歷了從一種穩(wěn)定狀態(tài)過渡到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的過程。電路也是如此，在含有儲(chǔ)能元件——電容、電感的電路中，當(dāng)43第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)，需要有一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的中間過程，稱為電路的過渡過程(也稱動(dòng)態(tài)過程)。

在這個(gè)狀態(tài)變化的過程中，無論直流電路還是交流電路，在電路連接方式和元件參數(shù)不變的條件下，只要電源輸出信號(hào)的幅值、波形和頻率恒定，各支路電流和各部分電壓也必將穩(wěn)定在一定數(shù)值上，這種狀態(tài)稱為電路的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。44第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

圖4-10所示電路中，R、L、C分別串聯(lián)一只同樣的燈泡，并連接在直流電源上。當(dāng)開關(guān)S接通時(shí)，發(fā)現(xiàn)R支路的燈泡立即點(diǎn)亮，而且亮度始終不變；L支路的燈泡由不亮逐漸變亮，最后亮度達(dá)到穩(wěn)定；C支路的燈泡由亮變暗，最后熄滅。這說明電阻支路在開關(guān)閉合后沒有經(jīng)歷過渡過程，立即進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，而電感支路和電容支路在開關(guān)閉合后需要經(jīng)歷一段過渡過程。由以上現(xiàn)象可知，電路產(chǎn)生過渡過程(動(dòng)態(tài)過程)有內(nèi)、外兩種原因，內(nèi)因是電路中存在儲(chǔ)能元件L或C；外因是電路的結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生改變，如電路的接通或斷開、電路參數(shù)或電源的突然變化等，一般稱為換路。通常規(guī)定換路是瞬間完成的。45第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-10過渡過程演示電路46第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

電感、電容是儲(chǔ)能元件，任意時(shí)刻電容元件所儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為，電感元件所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為

，但能量變化是個(gè)漸變的過程，不能突變(躍變)，否則與其相應(yīng)的功率將趨于無限大，這實(shí)際上是不可能的。也就是說，儲(chǔ)能元件在換路瞬間的能量應(yīng)保持不變，其中，電容所儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量不能躍變反映在電容器上的電壓u

不C能躍變；電感元件所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量不能躍變反映在通過電感線圈中的電流i

不能躍變。L47第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

設(shè)t＝0為換路瞬間，用t＝0

表示換路前的一瞬間，t＝0+-表示換路后的一瞬間，換路的時(shí)間間隔為零。從t＝0

到-t＝0

瞬間，電容元件上的電壓和電感元件中的電流不能躍+變，用公式可表示為(4-14)式(4-14)即稱為換路定律。

應(yīng)當(dāng)指出，除了電容電壓u

和電感電流i

不能躍變，其CL他的量，如電容電流i

、電感電壓u

、電阻的電壓u

和電流CLRiR均可以躍變，不受此限制。48第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.3.2電路初始值與穩(wěn)態(tài)值的計(jì)算

換路后最初瞬間的電流i(0

)和電壓u(0

)的數(shù)值稱為初始++值。過渡過程中，電路中電壓和電流的變化開始于換路后瞬間的初始值，終止于達(dá)到新穩(wěn)態(tài)時(shí)的穩(wěn)態(tài)值。穩(wěn)態(tài)值可用前面學(xué)過的知識(shí)求解，初始值的確定是根據(jù)換路定律進(jìn)行的，其步驟如下：

(1)先求出換路前一瞬間的u

(0

)或i

(0

)。C

-L

-

(2)根據(jù)換路定律確定u

(0

)和i

(0

)。C

+L

+49第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

(3)畫出t＝0

時(shí)的等效電路圖，若u

(0

)＝0，電容器相+C

+當(dāng)于短路，用短路線替代；若i

(0

)=0，電感相當(dāng)于斷路，L

+則用開路替代。而若u

(0

)＝U

，電容元件等效為電壓源；C

+0iL(0+)＝I0，則電感元件等效為電流源。

(4)利用歐姆定律和基爾霍夫定律，確定電路中其他電壓、電流在t＝0+時(shí)的初始值。50第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-4】圖4-11所示電路中，已知U

＝10V，R

＝2kΩ，S1R2＝5kΩ，開關(guān)S閉合前，電容兩端電壓為零，求開關(guān)S閉合后各元件電壓和各支路電流的初始值。解

選定有關(guān)電流和電壓的參考方向，如圖4-11所示，S閉合前

u

(0

)＝0C

-開關(guān)閉合后，根據(jù)換路定律,有

u

(0

)=u

(0

)＝0C

+C

-在t＝0+時(shí)刻，根據(jù)基爾霍夫定律，有

u

(0

)=U

=10VSR1

+

u

(0

)+u

(0

)=UR2

+C

+S51第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-11例4-4圖52第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由于

u

(0

)＝C

0，+故

u

(0

)=R210V+根據(jù)以上電壓值求得電流如下53第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-5】

如圖4-12(a)所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開關(guān)S閉合，U

=10V，R

=10Ω，R

=5Ω。求初始值u

(0

)、S12C

+i

(0

)、i

(0

)和i

(0

)。1

+2

+C

+54第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-12例4-5圖55第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路解(1)開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容電壓u

不再變C化，故，電容C可視為開路，由此可畫出t＝0-時(shí)的等效電路，如圖4-12(b)所示，按圖可求得t＝0

時(shí)電容兩-端的電壓為

u

(0

)=U

=10VSC

－在開關(guān)S閉合瞬間，根據(jù)換路定律,有

u

(0

)=u

(0

)=10VC

+C

－56第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

(2)在t＝0+瞬間，電容元件可視做電壓為u

(0

)=10V的C

+恒壓源，由此可畫出t＝0+時(shí)的等效電路，如圖4-12(c)所示。根據(jù)該等效電路，運(yùn)用直流電路的分析方法可求出各電流的初始值為由圖4-12(b)可知，換路前i

(0

)=i

(0

)=i

(0

)=0。電路換路后，1

－2

－C

－電流i

和i

發(fā)生了突變。2C57第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-6】

如圖4-13(a)所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開關(guān)S閉合，U

＝12V，R

＝4Ω，R

＝2Ω，R

＝6Ω。求初始值S123u

(0

)、i

(0

)、i(0

)和u(0

)。C

+L

+++解(1)首先求出開關(guān)S閉合前的電容電壓u

(0

)和電感電C

－流i

(0

)。L

－由于t＝0

時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)，電路中各處電流及電壓都是-常數(shù)，因此電感兩端的電壓，電感L可看做短路，電容中的電流，電容C可看做開路。58第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-13例4-6圖59第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由此可畫出t＝0

時(shí)的等效電路，如圖4-13(b)所示。由圖4--13(b)可求得t＝0

時(shí)的電感電流和電容電壓分別為-

(2)開關(guān)S閉合后瞬間，根據(jù)換路定律，有

i

(0

)=i

(0

)=1.2AL

+L

－

u

(0

)=u

(0

)=7.2VC

+C

－在t=0

瞬間，電容元件可視做電壓為u

(0

)=7.2V的恒壓+C

+源，電感元件可視做電流為i

(0

)=1.2A的恒流源，由此可畫L

+出t=0

時(shí)的等效電路，如圖4-13(c)所示。+60第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由圖可知

u(0

)可用節(jié)點(diǎn)電位法由t=0

時(shí)的等效電路求出，即++61第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路通過以上例題，可歸納出求初始值的簡單步驟如下：

(1)畫出t＝0

時(shí)的等效電路，求出u

(0

)和i

(0

)；-C

－L

－

(2)根據(jù)換路定律，畫出t＝0

時(shí)的等效電路；+

(3)根據(jù)t＝0

時(shí)的等效電路，運(yùn)用直流電路的分析方法+求出各電流、電壓的初始值。62第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

4.4一階電路的響應(yīng)在電路分析中，“激勵(lì)”與“響應(yīng)”這兩個(gè)詞經(jīng)常被提到。通常，電源(包括信號(hào)源)提供給電路的輸入信號(hào)統(tǒng)稱為激勵(lì)，簡單地說，施加于電路的信號(hào)就是激勵(lì)。對(duì)激勵(lì)作出的反應(yīng)稱為響應(yīng)，即電路在激勵(lì)作用下所產(chǎn)生的電壓和電流。在動(dòng)態(tài)電路中，只含有一個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件(儲(chǔ)能元件)的電路稱為一階電路。通常有RC一階電路和RL一階電路兩大類。所謂一階電路響應(yīng)，就是只含有一種儲(chǔ)能元件的電路在激勵(lì)后所產(chǎn)生的反應(yīng)。一階電路的響應(yīng)可歸納為零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)三種情況。63第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.4.1一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路通常有RC電路和RL電路兩大類。若輸入激勵(lì)信號(hào)為零，僅由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能所激發(fā)的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。

1.RC電路的零輸入響應(yīng)

RC電路的零輸入響應(yīng)，實(shí)質(zhì)上就是指具有一定原始能量的電容元件在放電過程中，電路中電壓和電流的變化規(guī)律。根據(jù)換路定律，當(dāng)電容元件原來已經(jīng)充有一定能量，電路發(fā)生換路時(shí)，電容元件的極間電壓是不會(huì)發(fā)生躍變的，必須由原來的電壓值開始連續(xù)地增加或減少，而電容元件中的充、放電電流是可以躍變的。64第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路如圖4-15(a)所示的RC放電電路，開關(guān)S處于位置1時(shí)電容C被充電，充電完畢后電路處于穩(wěn)態(tài)。t＝0時(shí)換路，開關(guān)S由位置1迅速扳向位置2，放電過程開始。放電開始一瞬間，根據(jù)換路定律可得u

(0

)=u

(0

)=U

。C

+C

－S此時(shí)電路中的電容元件與R串聯(lián)后經(jīng)位置2構(gòu)成放電回路，由KVL可得

u

－i

R=0

(4-15)CC由于，代入式(4-15)中得65第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-15RC零輸入電路及波形圖66第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

這是一個(gè)一階線性常系數(shù)齊次微分方程，對(duì)其求解可得(4-16)式中U

是過渡過程開始時(shí)電容電壓的初始值u

(0

),τ＝RC稱SC

+為電路的時(shí)間常數(shù)。它是影響一階電路電壓、電流衰減或增加速度的參數(shù)。不論R、C及U

的值如何，RC一階電路中的響應(yīng)都是按S指數(shù)規(guī)律變化的，如圖4-15(b)所示。由此可推論：RC一階電路的零輸入響應(yīng)規(guī)律是指數(shù)規(guī)律。電容元件的放電電流曲線在橫軸下方，說明電流是負(fù)值，因?yàn)樗c電壓為非關(guān)聯(lián)方向。67第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

RC一階電路放電速度的快慢取決于時(shí)間常數(shù)τ。實(shí)驗(yàn)證明：τ越大，放電過程進(jìn)行得越慢；τ越小，放電過程進(jìn)行得越快，如圖4-16所示。顯然，時(shí)間常數(shù)τ=RC是反映過渡過程進(jìn)行快慢程度的物理量。令式(4-16)中的t值分別等于1τ、2τ、3τ、4τ、5τ，可得出u

隨時(shí)間的衰減表。時(shí)間常數(shù)τ的物理意義可由表4-1進(jìn)一C步說明。68第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-16不同τ值情況下的u

變化曲線C69第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路表4-1電容電壓隨時(shí)間衰減表70第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由表4-1中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)放電過程經(jīng)歷了一個(gè)τ的時(shí)間，電容電壓就衰減為初始值的36.8%，經(jīng)歷了2τ后衰減為初始值的13.5%，…，經(jīng)歷了5τ后則衰減為初始值的0.7%。理論上，根據(jù)指數(shù)規(guī)律，必須經(jīng)過無限長時(shí)間，電壓u

才衰減到C零，過渡過程才能結(jié)束。但實(shí)際上，過渡過程經(jīng)歷了(3～5)τ的時(shí)間后，剩下的電容電壓已經(jīng)很小了，因此，在工程上一般可認(rèn)為此時(shí)電路已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。由此也可得出：時(shí)間常數(shù)τ是過渡過程經(jīng)歷了總變化量的63.2%所需要的時(shí)間，其單位為秒(s)。71第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

2.RL電路的零輸入響應(yīng)

RL串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)也和RC電路一樣，是指輸入信號(hào)或激勵(lì)為零時(shí)電路中電壓和電流的變化規(guī)律。

電路如圖4-17(a)所示，t＜0時(shí)，通過電感L的電流為I

。

0設(shè)在t＝0時(shí)開關(guān)S閉合，根據(jù)換路定律，電感中仍有初始電流I

，即i(0

)=I

，此電流將在R

回路中逐漸衰減，最后變?yōu)?+0L零。在這一過程中，電感元件在初始時(shí)刻的原始能量逐漸被電阻消耗，轉(zhuǎn)化為熱能。72第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-17RL零輸入電路及波形圖73第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路根據(jù)圖4-17(a)電路中電壓和電流的參考方向及元件的伏安關(guān)系，應(yīng)用KVL可得

Ri

+u

=0

(4-17)LL由于，代入式(4-17)中得(t≥0)若以儲(chǔ)能元件L上的電流i

作為待求響應(yīng)，則可解得L(4-18)式中，是RL一階電路的時(shí)間常數(shù)，其單位也是秒(s)。顯然，在RL一階電路中，L值越小、R值越大時(shí)，過渡過程進(jìn)行得越快，反之越慢。74第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

t≥0時(shí)，電阻元件兩端的電壓為由式(4-17)可得電感元件兩端的電壓為

電路中響應(yīng)的波形如圖4-17(b)所示，顯然它們也是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的曲線。75第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由以上分析可知：

(1)一階電路的零輸入響應(yīng)都是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減到零的，這實(shí)際上反映了在沒有電源作用的條件下，儲(chǔ)能元件的原始能量逐漸被電阻消耗掉的物理過程。

(2)零輸入響應(yīng)取決于電路的原始能量和電路的特性，RC電路中電容放電時(shí)的電容電壓u

和R

電路中電感與電源CL斷開后的電感電流i

的響應(yīng)可用式

統(tǒng)一表達(dá)。L

(3)原始能量增大A倍，則零輸入響應(yīng)將相應(yīng)增大A倍，這種原始能量與零輸入響應(yīng)的線性關(guān)系稱為零輸入線性。76第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.4.2一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)所謂零狀態(tài)響應(yīng)，是指儲(chǔ)能元件的初始能量等于零，僅在外激勵(lì)作用下引起的電路響應(yīng)(電壓和電流)。

1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

電容的初始能量為零時(shí)稱為零狀態(tài)。實(shí)際上，零狀態(tài)響應(yīng)研究的是RC電路充電過程中響應(yīng)的變化規(guī)律，其電路如圖4-18(a)所示。77第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-18RC零狀態(tài)電路及波形圖78第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路開關(guān)S未閉合時(shí)，電容的初始儲(chǔ)能為零，即u

(0

)=0。開C

-關(guān)S閉合后，電源通過電阻對(duì)電容器進(jìn)行充電。根據(jù)KVL，可列出方程這是一個(gè)一階線性非齊次方程，對(duì)此方程求解可得到(4-19)式(4-19)中的u

(∞)是充電過程結(jié)束時(shí)電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，數(shù)C值上等于電源電壓值。79第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

顯然，一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)也符合指數(shù)規(guī)律，如圖4-18(b)所示。充電開始前，u

(0

)=0，由于電容電壓不能躍變，C

－故充電開始時(shí)，u

(0

)=u

(0

)=0；隨著充電過程的進(jìn)行，電C

+C

－容電壓按指數(shù)規(guī)律增長，經(jīng)過(3～5)τ時(shí)間后，過渡過程基本結(jié)束，電容電壓u

(∞)=U

，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)。從理論上講，CS當(dāng)開關(guān)S閉合后，經(jīng)過足夠長的一段時(shí)間，電容的充電電壓才能等于電源電壓U

，充電過程才結(jié)束，充電電流i

也才能SC衰減到零。80第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由于電容的基本工作方式是充、放電，因此電容支路的電流不是放電電流就是充電電流，即電容電流只存在于過渡過程中，只要電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，i

必定等于零，故在電容充電C過程中，i

仍按指數(shù)規(guī)律衰減。由于充電過程中電壓、電流C為關(guān)聯(lián)方向，故i

曲線在橫軸上方。C81第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

2.R

電路的零狀態(tài)響應(yīng)L

電路如圖4-19(a)所示，在t＝0時(shí)開關(guān)閉合。換路前電感中的電流為零，根據(jù)換路定律，換路后t＝0

瞬間i

(0

)=+L

+i

(0

)=0。由于此時(shí)電流為零，因此電阻上的電壓u

=0，由L

－RKVL可知，此時(shí)電感元件兩端的電壓u

(0

)=U

。當(dāng)達(dá)到穩(wěn)L

+S態(tài)后，自感電壓u

一定為零，電路中電流將由零增至U

/R后LS保持恒定。82第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-19RL零狀態(tài)電路及波形圖83第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

圖4-19(a)電路中，根據(jù)KVL及歐姆定律，可列出方程

u

+u

=URLS

i

R+u

=U

(4-20)LLS將代入式(4-20)中，并將等式兩邊同除以R得(4-21)式(4-21)是一個(gè)包含有變量i

的一階線性常系數(shù)非齊次微分L方程，方程的形式和求解與RC串聯(lián)電路完全相似，即對(duì)此方程求解可得到(4-22)84第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路根據(jù)式(4-22)可得電阻電壓為電感電壓為或顯然，在過渡過程中，自感電壓u

是按指數(shù)規(guī)律衰減的，而L電流i

則是按指數(shù)規(guī)律上升的，電阻兩端電壓u

始終與電流LR成正比，從零增至U

。圖4-19(b)即為i

、u

、u

隨時(shí)間變化SLLR的曲線。85第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由以上分析可知：RC電路中電容充電時(shí)的電容電壓uC,以及RL電路中電感接通電源后電感電流i

的響應(yīng)規(guī)律為L(4-23)式(4-23)是零狀態(tài)響應(yīng)規(guī)律表達(dá)式，即零狀態(tài)響應(yīng)的u

和iLC是按指數(shù)規(guī)律增加的。86第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.4.3一階電路的全響應(yīng)以上討論了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。若電路中動(dòng)態(tài)元件為非零初始狀態(tài)，且又有外輸入激勵(lì)，在二者的共同作用下所引起的電路響應(yīng)稱為一階電路的全響應(yīng)。

對(duì)于線性電路，從電路換路后的能量來源推知：電路的全響應(yīng)必然是其零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。下面以RC電路為例加以分析。在圖4-20(a)所示電路中，設(shè)電容的初始值電壓為u

(0)=U

，開關(guān)S在t＝0時(shí)閉C0合而接通直流電壓U

。不難看出，換路后該電路可看成零輸入條件下的電容放電過S程和零初始條件下的電容充電過程的疊加，如圖4-20(b)、(c)所示。87第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-20RC全響應(yīng)電路88第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路在圖4-20(b)中，零輸入響應(yīng)為在圖4-20(c)中，零狀態(tài)響應(yīng)為將上述二者疊加即得全響應(yīng)為(4-24)89第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路由以上分析可推知：無論對(duì)于RC電路還是R

電路，一L階電路的全響應(yīng)f(t)均為零輸入響應(yīng)加零狀態(tài)響應(yīng)，即(4-25)其中，f(0

)為所求響應(yīng)的初始值，f(∞)為響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值，它+表示在直流電源作用下，t→∞時(shí)的響應(yīng)值。整理式(4-25)后得(t≥0)

(4-26)90第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-7】

如圖4-21所示電路，在t＝0時(shí)S閉合。已知U

=9V，u

(0

)＝12V，C＝1mF，R

＝1kΩ。R

＝2kΩ。試SC

－12求t≥0時(shí)的u

和i

。CC解

由于全響應(yīng)是由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分構(gòu)成的，故分別進(jìn)行求解。

(1)首先求零輸入響應(yīng)u

C。1當(dāng)輸入為零時(shí)，u

將從其初始值12V開始按指數(shù)規(guī)律衰C減，根據(jù)式(4-16)可求得零輸入響應(yīng)為其中，91第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-21例4-7圖92第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

(2)再求零狀態(tài)響應(yīng)u

C。2

電容初始狀態(tài)為零時(shí)，在9V電源的作用下引起的電路響應(yīng)可由式(4-19)求得(其中的時(shí)間常數(shù)與零輸入響應(yīng)相同)因此全響應(yīng)為93第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路其中，第一項(xiàng)是常數(shù)9，它等于電容電壓的穩(wěn)態(tài)值u

(∞)，C因此也稱為全響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，而第二項(xiàng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的，只存在于暫態(tài)過程中，因此稱為全響應(yīng)的暫態(tài)分量，由此也可把全響應(yīng)寫為全響應(yīng)＝穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量電容支路的電流為94第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路4.4.4一階動(dòng)態(tài)電路的三要素法一階電路的全響應(yīng)可表述為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，也可表述為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量之和。其中響應(yīng)的初始值、換路后的穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)稱為一階電路的三要素，也就是式(4-25)中的f(0

)、f(∞)和τ。+下面我們介紹用三要素法求一階電路的全響應(yīng)。在式(4-25)中，f(t)表示全響應(yīng)，只要知道f(0

)、f(∞)和τ+這三個(gè)要素，就可以簡單地求出一階電路在外加電源作用下的全響應(yīng)了。95第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路一階電路響應(yīng)的初始值u

(0

)和i

(0

)，必須在換路前t＝C

+L

+0-的等效電路中進(jìn)行求解，然后根據(jù)換路定律(兩者不能躍變)得出；如果是其他各量的初始值，則應(yīng)根據(jù)t＝0

的等效電+路進(jìn)行求解。一階電路響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值均應(yīng)根據(jù)換路后重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的等效電路進(jìn)行求解。96第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路一階電路的時(shí)間常數(shù)τ應(yīng)在換路后t≥0時(shí)的等效電路中求解。求解時(shí)首先將t≥0時(shí)的等效電路除源(所有的電壓源短路，所有的電流源開路處理)，然后將動(dòng)態(tài)元件斷開，并把斷開處看做是無源二端網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)對(duì)外引出端，對(duì)此無源二端網(wǎng)絡(luò)求出其入端電阻R

。若為RC一階電路，則時(shí)間常數(shù)τ=R

C；00若為RL一階電路，則τ=L/R

0。將上述求得的三要素代入式(4-26)，即可求得一階電路的任意響應(yīng)。故式(4-26)稱為一階電路任意響應(yīng)的三要素法一般表達(dá)式。應(yīng)用此式可方便地求出一階電路中的任意響應(yīng)。97第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-8】

一階電路如圖4-22所示，求開關(guān)S打開時(shí)電路的時(shí)間常數(shù)。解(1)圖4-22(a)中，在開關(guān)動(dòng)作后的電路中C

與C

串聯(lián)，12則等效電容；而將電容斷開，從端口看進(jìn)去的等效電阻為R

與R

串聯(lián)，其值為R=R

+R

。所以，該RC電路的時(shí)1212間常數(shù)為98第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

(2)圖4-22(b)中，開關(guān)動(dòng)作后，將電感L斷開，從端口看進(jìn)去的端電阻為R

與R

串聯(lián)，即等效電阻R＝R

+R

，所以，2323該RC電路的時(shí)間常數(shù)為99第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-22例4-8圖100第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路【例4-9】

電路如圖4-23所示，開關(guān)閉合前電路已達(dá)穩(wěn)定，t＝0時(shí)開關(guān)閉合，求換路后的電壓u

(t)。C解

開關(guān)S閉合前電路已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，其u

(0

)=25V，根C

－據(jù)換路定律

u

(0

)=u

(0

)=25VC

+C

－在開關(guān)閉合后，即t＝∞時(shí)，有斷開電容C，利用戴維南等效定理，從端口看進(jìn)去的等效電阻為R

與R

并聯(lián)，即12101第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路時(shí)間常數(shù)為

τ=RC=1.2×0.25×10-6=0.3×10-6s將以上求得的三要素代入式(4-26)得開關(guān)閉合后的電壓為102第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-23例4-9圖103第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路本章小結(jié)

電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，電容元件的伏安關(guān)系為

，電感元件的伏安關(guān)系為，由于電容、電感上的電壓和電流是微分關(guān)系，因此將它們稱為動(dòng)態(tài)元件，又叫儲(chǔ)能元件。電容元件儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為

，電感元件儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為

。104第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)歷的中間過程稱為過渡過程。產(chǎn)生過渡過程的根本原因是電路能量不能突變。

過渡過程進(jìn)行的快慢取決于電路的時(shí)間常數(shù)τ，與初始狀態(tài)無關(guān)。對(duì)于RC一階電路，τ=RC；對(duì)于RL一階電路，，同一電路中只有一個(gè)時(shí)間常數(shù)。式中的R等于從動(dòng)態(tài)元件兩端看進(jìn)去的戴維南等效電路中的等效電阻。時(shí)間常數(shù)τ的取值決定于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。105第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路引起過渡過程的電路變化稱為換路。含有動(dòng)態(tài)元件的一階電路發(fā)生換路時(shí)，電容元件兩端的電壓不能突變，電感中的電流也不能突變，這一規(guī)律叫做換路定律，即u

(C0

)+=u

(0

)，i

(0

)=i

(0

)。C

－L

+L

－一階電路的響應(yīng)規(guī)律可以歸納為零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)三種情況。所謂零輸入響應(yīng)是輸入激勵(lì)信號(hào)為零，僅由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能所激發(fā)的響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)是電路的初始儲(chǔ)能為零，電路僅由外加電源作用產(chǎn)生的響應(yīng)；而初始狀態(tài)和輸入都不為零的一階電路的響應(yīng)就稱為一階電路的全響應(yīng)。106第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路一階電路的全響應(yīng)可以用三要素法來求解，一般表達(dá)式為。式中f(t)為待求全響應(yīng)，只要知道了初始值f(0

)、穩(wěn)態(tài)值f(∞)和電路的時(shí)間常數(shù)τ，便可根+據(jù)上式直接寫出待求變量在換路后的全響應(yīng)，不必列寫微分方程求解。三要素法使直流激勵(lì)下的一階電路的求解過程大大簡化，應(yīng)該熟練掌握。107第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

閱讀材料：電容器與電容元件

1.電容器概述

電容器習(xí)慣上簡稱電容，是組成電子電路的基本元件之一，在各種電路中必不可少。它的基本結(jié)構(gòu)是用一層絕緣材料(介質(zhì))間隔的兩片導(dǎo)體。當(dāng)在兩片導(dǎo)體電極間加上電壓以后，電極上就能儲(chǔ)存電荷，所以電容器是一種儲(chǔ)能元件，可以儲(chǔ)存電場(chǎng)能。電容器在電子電路中起到耦合、濾波、隔直流和調(diào)諧等作用。108第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

1)電容器的種類

電容器按結(jié)構(gòu)可分為固定電容器、可變電容器和微調(diào)電容器；按絕緣介質(zhì)可分為空氣介質(zhì)電容器、云母電容器、瓷介電容器、滌綸電容器、聚苯烯電容器、金屬化紙介質(zhì)電容器、電解電容器、玻璃釉電容器、獨(dú)石電容器等；按極性可分為有極性電容和無極性電容。

2)電容器的電路符號(hào)各類電容器的常用電路符號(hào)如圖4-25所示。109第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路圖4-25電容器的常用電路符號(hào)110第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

3)電容器的型號(hào)命名根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB2470—81，電容器的型號(hào)由四部分組成：

(1)用字母“C”表示主稱為電容器。

(2)用字母表示電容器的介質(zhì)材料。如D表示鋁電解，J表示金屬化紙介，O表示玻璃膜，Y表示云母等。

(3)用數(shù)字(個(gè)別用字母)表示電容器的類別。如1表示圓形，2表示管型，4表示獨(dú)石，5表示穿心，G表示高功率型，W表示微調(diào)型等。

(4)用數(shù)字表示產(chǎn)品序號(hào)，以區(qū)別電容器的外形尺寸和性能指標(biāo)。111第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

4)常用電容器的特點(diǎn)及外形常用電容器的特點(diǎn)及外形見表4-2。112第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路表4-2常用電容器的特點(diǎn)及外形113第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路114第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

2.主要技術(shù)參數(shù)

(1)標(biāo)稱容量和允許偏差。電容器的標(biāo)稱容量是指在電容器的外殼表面上標(biāo)出的電容量值。標(biāo)稱容量越大，電容器儲(chǔ)存電荷的能力越強(qiáng)。電容量與電容器的介質(zhì)薄厚、介質(zhì)介電常數(shù)、極板面積、極板間距等因素有關(guān)。介質(zhì)越薄、極板面積越大、介電常數(shù)越大，電容量就越大；反之，電容量越小。

電容器允許偏差的基本含義同電阻一樣。標(biāo)稱容量和允許偏差也分許多系列，常用的是E6、E12、E24系列。電容器的允許偏差系列為：±5%，±10%，±20%，-20%～+50%，-10%～+100%。常用固定電容器的標(biāo)稱容量及允許偏差如表4-3所示。115第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路表4-3常用固定電容器的標(biāo)稱容量及允許偏差116第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

(2)額定電壓。額定電壓通常也稱耐壓，是指在允許的環(huán)境溫度范圍內(nèi)，電容器在電路中長期(不少于1萬小時(shí))可靠工作所能承受的最高直流電壓，又稱為電容器的額定直流工作電壓。工作時(shí)交流電壓的峰值不得超過電容器的額定電壓，否則電容器介質(zhì)會(huì)被擊穿造成電容器的損壞。通常外加電壓取額定工作電壓的三分之二以下。常用固定電容器的額定直流工作電壓有：1.6V，4V，6.3V，10V，16V，25V，32V*，40V，50V，63V，100V，125V*，160V，250V，300V*，400V，450V*，500V，630V，1000V等(*者只限于電解電容器使用)。117第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

(3)絕緣電阻。電容器的絕緣電阻表征電容器的漏電性能，在數(shù)值上等于加在電容器兩端的電壓除以漏電流。絕緣電阻越大，漏電流越小，電容器質(zhì)量越好。一般電容器的絕緣電阻在108Ω～1010Ω之間。但電解電容器的絕緣電阻一般較低，漏電流較大，所以不能單憑所測(cè)絕緣電阻值的大小來衡量電容器的絕緣性能。此外，電容器的技術(shù)參數(shù)還有電容器的損耗、頻率特性、溫度系數(shù)、穩(wěn)定性和可靠性等。

3.電容器主要參數(shù)的標(biāo)注方法

電容器參數(shù)的標(biāo)注方法有直標(biāo)法、文字符號(hào)法、數(shù)碼表示法和色標(biāo)法四種，詳見附錄A。118第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

4.電容器的檢測(cè)與選用

1)電容器質(zhì)量的判斷與檢測(cè)用普通的指針式萬用表能初步判斷電容器的質(zhì)量及電解電容器的極性，并能定性比較電容器容量的大小。

(1)質(zhì)量判定。萬用表置于R×1k擋，將兩只表筆分別接觸電容器(1μF以上的容量)的兩引腳，接通瞬間，表頭指針應(yīng)向順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)，然后逐漸逆時(shí)針返回，如果不能返回，則穩(wěn)定后的讀數(shù)就是電容器的漏電電阻，阻值越大表示電容器的絕緣性能越好；若在上述檢測(cè)過程中表頭指針不擺動(dòng)，說明電容器開路；若表頭指針向右擺動(dòng)的角度大且不能返回，說明電容器已擊穿或嚴(yán)重漏電；若表頭指針保持在0Ω附近，說明該電容器內(nèi)部短路。119第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

對(duì)于電容量小于1μF的電容器，由于電容充、放電現(xiàn)象不明顯，檢測(cè)時(shí)表頭指針偏轉(zhuǎn)幅度很小或根本無法看清，但并不說明電容器質(zhì)量有問題。

(2)容量判定。檢測(cè)過程同上，表頭指針向右擺動(dòng)的角度越大，說明電容器的容量愈大，反之則說明容量愈小。

(3)極性判定。根據(jù)電解電容器正接時(shí)漏電流小、漏電阻大，反接時(shí)漏電流大、漏電阻小的特點(diǎn)可判斷其極性。將萬用表置于Ω擋的R×10k擋，先測(cè)一下電解電容器的漏電阻值，而后將兩表筆對(duì)調(diào)，再次測(cè)量漏電阻值。兩次測(cè)試中，漏電阻值大的一次，黑表筆接的是電解電容器的正極，紅表筆接的是電解電容器的負(fù)極。120第4章直流激勵(lì)下的一階動(dòng)態(tài)電路

(4)可變電容器碰片檢測(cè)。萬用表置