導(dǎo)數(shù)的解題技巧

載專題三第____課時共__4__課1．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念．2．熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值．導(dǎo)數(shù)命題趨勢：綜觀2007年全國各套高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)對導(dǎo)數(shù)的考查有以下一些知識類型與特點： (1)多項式求導(dǎo)(結(jié)合不等式求參數(shù)取值范圍),和求斜率(切線方程結(jié)合函數(shù)求最值)問題. (2)求極值,函數(shù)單調(diào)性,應(yīng)用題,與三角函數(shù)或向量結(jié)合.考點1:導(dǎo)數(shù)的概念對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.3[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計算等基礎(chǔ)知識和能力.故填3.〖演練〗例2.(2006年湖南卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x一a,集合M={x|f(x)<0},P={x|f'(x)>0},若MP,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.載xaxbxaxbxx)1+x)1一編x)0一編x編x)0+編x 編h)02h編h)0h分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義h)02hh)02hh)02hh)02hh)02hh)02h2h)03h2h)0一h22 h)0hh)0Lh2」h)0h2h)0，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。載導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(x)令limf(x+x)f(x)=fp(x)x0xfp(x)=limf(x+x)f(x)=limf(xx)f(x)x0+xx0+x=limf(xx)f(x)=fp(x)∴可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)∴可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)考點一：考小題，重在基礎(chǔ).有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的小題，其考查的重點在于基礎(chǔ)知識，如：導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)解析式、圖像、定義域、值域、性質(zhì)等仍是高考的重點.例1．(福建11)如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1，那么導(dǎo)函數(shù)y=f/(x)的圖象可能是()圖1出，函數(shù)先遞增再遞減又遞增再遞減，故導(dǎo)函數(shù)的圖像應(yīng)該是先大于0再小于0又大于0再小于0，符合條件的只有A答案，故選A評注：利用函數(shù)的圖像求導(dǎo)函數(shù)的圖像，應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正、負(fù)的關(guān)系。例2．(湖北卷7)若f(x)=x2+bln(x+2)在上是減函數(shù)，則b的取值范圍是()解析：由條件，函數(shù)f(x)=x2+bln(x+2)在上是減函數(shù)，則f，(x)0，即載yA4C321BO12456xyA4C321BO12456x解析：由圖易知f(f(0))=(4)=2；評注：用定義解題必須準(zhǔn)確把握導(dǎo)數(shù)的定義f，(x)=limf(x0+編x)一f(x0)，另外還注意0編x)0編x例4．(江蘇卷8)直線y=1x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實數(shù)b＝．2評注：用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程一直是高考的熱點，但難度不是很大?？键c二：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性 (Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 載2222當(dāng)a23，f(x)0求得兩根為xaa2333aa23上遞增，在，上遞減，3333 (2)由(1)得33，且a23解得：a≥7 a33評注：利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，簡潔明快，但要注意導(dǎo)數(shù)與可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，f,(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件；f,(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件?？键c三：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值x2c例6．(陜西卷21)．已知函數(shù)f(x)kx1(c0且c1，kR)恰有一個極大值點和一個x2c是xc． (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的另一個極值點； (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求Mm≥1時k的取值范圍．解析：(Ⅰ)f(x)，由題意知f(c)0，由韋達定理知另一個極值點為x由韋達定理知另一個極值點為x1(或xc)．k (Ⅱ)由(*)式得kc1，即c1k．載 00f,(x)的符號，左正右負(fù)為極大值，左負(fù)右正為極小值，對于含參數(shù)問題，注意分類討論?？键c四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例7．(江蘇卷17)．某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A,B及CD的中點P處，已知AB=20km,CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且A,B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP，設(shè)排污管道的總長為ykm．載 (Ⅰ)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： (Ⅱ)請你選用(Ⅰ)中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．DAPOOCB解析：(Ⅰ)①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=9(rad)，則OA=AQ=10coscos20-10sin9)(-sin9)10(2sin9-1) (Ⅱ)選2462466min6minm3例4．(1)求曲線y=2x 0分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)0載在點p(x,y)處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導(dǎo)數(shù)。00解：(1)y'=2(x2+1)一2x.2x=2一2x2，(x2+1)2(x2+1)2x4因此曲線y=2x在(1，1)處的切線方程為yx4因此曲線y=2x在(1，1)處的切線方程為y=1 (t2)t4t2t3t=392727 yx2x x33 x2x xx22載 ； 。分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公解：(1)當(dāng)x=1時，x，∵兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得即 (2)∵兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得即分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力.載精品解：f(x)=11(x>0).2xx+a 即f(x)>0，此時f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞增 內(nèi)也單調(diào)遞增.考點2:曲線的切線 (1)關(guān)于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P(x,y)的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率. (2)關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.【問題2】(1)(2006湖南卷)曲線y=和y=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形x 面積是 解析：曲線y=和y=x2在它們的交點坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，x載它們與x軸所圍成的三角形的面積是3.4 32 (I)求a2一4b的最大值； (II)當(dāng)a2一4b=8時，設(shè)函數(shù)y=f(x)在點A(1，f(1))處的切線為l，若l在點A處穿過函數(shù)y=f(x)的圖象(即動點在點A附近沿曲線y=f(x)運動，經(jīng)過點A時，從l的一側(cè)進入另一側(cè))，求函數(shù)f(x)的表達式．思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率.321212212112 323232323232221222 (2)(2) (2)(2)載12122aabbfxxx2-x．3[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.故選A.xyxy)23333[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.23故選A.xy22223故選A.〖演練3〗(全國II)過點(－1，0)作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為() (A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0載于是切線方程為y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因為點(－1，0)在切線上，可解得1212出此時公切線的方程.2111111xx122222xa22若直線l是過點P點和Q點的公切線，則①式和②式都是l的方程，故得212〖演練5〗(2007湖北理)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=1x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，2 (I)用a表示b，并求b的最大值；(II)求證：f(x)≥g(x)(x>0)．解：(Ⅰ)設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(x，y)處的切線相同．00x0000x(舍去)．02222 ()()載【問題3】(2006年天津卷)函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù) f【問題3】(2006年天津卷)函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù) f，(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點 () ()2 2xxx (1)求A、B兩點的坐標(biāo)；(2)求直線l分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解(1)由方程組解得A(-2，0)，B(3，5) yxyxy|x=3=6。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，=所以9=arctan23說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時，應(yīng)高度重視以下問題:1.求函數(shù)的解析式；2.求函數(shù)的值域；3.解決單調(diào)性問題；4.求函數(shù)的極值(最值)；5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式。baOx載2則不等式f(x)≤0的解集為(A2則不等式f(x)≤0的解集為(A)3233233[考查目的]本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.[解答過程]由圖象可見,在區(qū)間(a,0)內(nèi)的圖象上有一個極小值點.故選A.〖演練1〗(江西卷)對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f(x)0，則必有()A.f(0)＋f(2)2f(1)B.f(0)＋f(2)2f(1)C.f(0)＋f(2)2f(1)D.f(0)＋f(2)2f(1)解：依題意，當(dāng)x1時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，＋)上是增函數(shù)；當(dāng)x1時，f(x)0，f(x)在(－，1)上是減函數(shù)，故f(x)當(dāng)x＝1時取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故選C〖演練2〗若f/(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)，f/(x)的圖像如圖所示，則f(x)的圖象可能是下面各圖中的(D)yyyyyy0abx0abx0abx0abx0abxABCDyyyf(x)32-1343283xx) x) 2載 22f(x)>0恒成立 x22 f22cxx (Ⅰ)求a、b的值； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f(x)=2x3一9x2+12x+8c，載 (Ⅰ)x的值；0 (Ⅱ)a,b,c的值.[考查目的]本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力故f(x)在(w，)，(，w)上遞增，在(1,2)上遞減，0 (Ⅱ)f'(x)=3ax2+2bx+c,由f'()，f'()＝，f'()＝，解法二：(Ⅰ)同解法一 32思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。載 (1)當(dāng)時cos9=0，判斷函數(shù)f(x)是否有極值； (2)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)9的取值范圍； (3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)9，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a一1,a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．[考查目的]本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法. 2由(Ⅰ)，只需分下面兩種情況討論.①當(dāng)cos9>0時，隨x的變化f'(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：2+↗2-↘20極小值00極大值+↗xf'(x)f(x)222416.244226226xx2220f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值因此，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)，且f(0)=3cos9.6226 (III)解：由(II)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(一w,+w)與(cos92,+w)內(nèi)都是增函數(shù)。載1或1或2由(II)，參數(shù)時9=(",")同(3",11")時，0<cos9<3.要使不等式2a_1之1cos9關(guān)于參數(shù)9恒成立，622622488w8)3 (2)若z=a+2b,求z的取值范圍。 (Ⅰ)由函數(shù)f(x)在x=x處取得極大值，在x=x處取得極小值，知x，x是f,(x)=0的兩個根．121212 (77) (77)zz在這三點的值依次為，6，8．714a (7) (77)規(guī)劃有機結(jié)合．載 (Ⅰ)求a與b的關(guān)系式(用a表示b)，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅰ)求a與b的關(guān)系式(用a表示b)，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間； [考查目的]本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能[考查目的]本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力 (2)當(dāng)a>0時，由f'(x)=0,解得x=1.af'(x)、f(x)隨x的變化情況如下表1a0極小值1a0極小值a—a+f'(x)f(x)從上表可知aaax+w)時，f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+w)上單調(diào)遞增.aa當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1,+w)上單調(diào)遞增.力.力[解答過程](Ⅰ)f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,則f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x在區(qū)間(－∞，3)上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間(3，―a―1)上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間(―a―1，＋∞)上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù).∞，―a―1)上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間(―a―1，3)上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；載在區(qū)間(3，＋∞)上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù).精品 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，當(dāng)a>0時，f(x)在區(qū)間(0，3)上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3，4)上單調(diào)遞減，而f(0)＝－(2a＋3)e3<0，f(4)＝(2a＋13)e－1>0，f(3)＝a＋6，那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－(2a＋3)e3，a＋6].又g(x)=(a2+25)ex在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，4且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2＋25，(a2＋25)e4]，44由于(a2＋25)－(a＋6)＝a2－a＋1＝(a1)2≥0，所以只須僅須442 (a2＋25)－(a＋6)<1且a>0，解得0<a<3.424故a的取值范圍是(0，3).2(nN*)；③f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)∈(0，1)；解答：(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法∴f(a)>f(a)，即a>akk+1∴n=k+1時，命題成立n (2)解：令F(x)=f(x)x，則∵f,(x)1，∴F,(x)0∴F(x)遞減，n111121nn+1①n=1時，a>a成立②假設(shè)n=k時，a>a成立則n=k+1時，由于則n=k+1時，由于f(x)遞增，∴f(a)>f(a)，即a>akk+1k+1k+2∴n=k+1時，命題成立，由①②知，對任意nN*，均a>ann+1[點晴]:由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式、數(shù)列有關(guān)的綜合問題必將會成為今后的重點內(nèi)容，在復(fù)習(xí)中要足夠地重視?！締栴}7】已知雙曲線C:y=m(m0)與點M(1，1).x (1)求證：過點M可作兩條直線，分別與雙曲線C兩支相切；載 (2)設(shè)(1)中的兩切點分別為A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切點坐標(biāo)。[解答]：(1)證明：設(shè)Q(t,m)仁C，要證命題成立只需要證明關(guān)于t的方程y,|=k有兩個符tx=tMQtxtMQt2t一1 (2)設(shè)A(t,m),B(t,m)，由(1)知，t1+t2=2m，t1t2=m，從而1t2t1222tt2tt2m12tt212121ttMAt2MBm++tt2mt2mmt2t2mt2222222【問題8】(理)A、B兩隊進行某項運動的比賽，以勝三次的一方為冠軍，設(shè)在每次比賽中A勝的定冠軍隊的比賽次數(shù)為N。(1)求使P－p為最大的p值；(2)求使N的期望值為最大的p值及期望值。(3)要決定冠軍隊，至少需要比賽三次，最多需要比賽5次。q3載如果比賽5次A獲冠軍，前四次有兩次B勝，其余三次A勝，A獲冠軍的概率為430123022301122p)0p)1 (2)隨機變量N的概率分布為5543Q48例1、(2008浙江)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)=x(x一a).⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)g(x)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.(i)寫出g(a)的表達式；(ii)求a的取值范圍，使得 2x2x3載33 (2)解：(i)若a≤0，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增， (ii)令-6≤g(a)≤-2．若a≤0，無解．變式：已知函數(shù)y=f(x)=lnx.x (1)求y=f(x)的最大值；a>0 (1)求y=f(x)的最大值；載解(1)令f/(x)=0得x=emaxe (2)Oa>0，由(2)知：：F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)=min{F(a),F(2a)}minFa-F(2a)共0,f(x)=F(a)=lnaminmin2 t xgxa 切x=(0,+w)，都有l(wèi)nx>1-2成立nteeminmin|ltlntt之e xxx2xminminminmin exefxxlnxx(0,+w)的最小值為-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得ee載設(shè)m(x)x2，x(0,)，則m'(x)1x，易得m(x)m(1)1。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得exeexmaxe從而對一切x(0,)，都有l(wèi)nx12成立變式1：已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)-x2(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若不等式(1)aae對任意的nN*都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).n求的最大值.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域是(1,)，當(dāng)1x0時，h(x)0,h(x)在(-1，0)上為增函數(shù)，gxx所以，當(dāng)1x0時，f(x)0,f(x)在(-1，0)上為增函數(shù).當(dāng)x＞0時，f(x)0,f(x)在(0,)上為減函數(shù).故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,). (2)不等式(1)n (2)不等式(1)nae等價于不等式(na)ln(1)1.由11知，nnn載a1G(x)11(1x)ln2(1x)x2.(1x)ln2(1x)x2x2(1x)ln2(1x)由(Ⅰ)知，ln2(1x)x20,即(1x)ln2(1x)x20.故函數(shù)G(x)在0,1上的最小值為G(1)11.a的最大值為1變式2：若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：f(x)kxb和g(x)kxb，則稱直線l:ykxb為f(x)和g(x)的“隔離直線”．已知 (1)求F(x)h(x)(x)的極值； (2)函數(shù)h(x)和(x)是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．F(x)2x2e2(xe)(xe)．xx當(dāng)0xe時，F(xiàn)(x)0，此時函數(shù)F(x)遞減；當(dāng)xe時，F(xiàn)(x)0，此時函數(shù)F(x)遞增；(2)由(1)可知函數(shù)h(x)和(x)的圖象在xe處有公共點，因此若存在h(x)和(x)的隔離直線，則該直線過這個公共點．…………8分載xxqp變式3、設(shè)f(x)=px－x－2lnx，且f(e)=qe－e－2(e為自然對數(shù)的底數(shù))(I)求p與q的關(guān)系；(II)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；2e(III)設(shè)g(x)=x，若在[1,e]上至少存在一點x0，使得f(x0)>g(x0)成立,求實數(shù)p的取值范圍.圍qp解：(I)由題意得f(e)=pe－e－2lne=qe－e－211亭(p－q)(e+e)=0而e+e≠0∴p=qp(II)由(I)知f(x)=px－x－2lnxp2px2－2x+pf’(x)=p+x2－x=x2hxpxxp要使f(x)在其定義域(0,+w)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需h(x)在(0,+w)內(nèi)滿足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.…………5分載2xphxxx>0，∴h(x)<0，∴f’(x)=－<∴f(x)在(0,+w)內(nèi)為單調(diào)遞減，故p=0適合題意.1②當(dāng)p>0時，h(x)=px2－2x+p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=∈(0,+w)，1∴h(x)min=p－p1∴f(x)在(0,+w)內(nèi)為單調(diào)遞增，p≥1適合題意.1③當(dāng)p<0時，h(x)=px2－2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x=p(0,+w)只需h(0)≤0，即p≤0時h(x)≤0在(0,+w)恒成立.p<0適合題意.p另解：(II)由(I)知f(x)=px－x－2lnxp212f’(x)=p+x2－x=p(1+x2)－x要使f(x)在其定義域(0,+w)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需f’(x)在(0,+w)內(nèi)滿足：f’(x)≥0或f’(x)≤0恒成立.122由f’(x)≥0一p(1+x2)－x≥0一p≥一p≥()max，x>0載21≤2221≤22x∵∴=1，且x=1時等號成立，故)max=1122x由f’(x)≤0一p(1+x2)－x≤0一p≤x2+1而>0且x→0時，→0，故一p≤()min，x>02ex(III)∵g(x)=在[1,e]上是減函數(shù)x∴x=e時，g(x)min=2，x=1時，g(x)max=2e即g(x)[2,2e]①p≤0時，由(II)知f(x)在[1,e]遞減f(x)max=f(1)=0<2，不合題意。1x②0<p<1時，由x[1,e]x－≥0x11∴f(x)=p(x－x)－2lnx≤x－x－2lnx右邊為f(x)當(dāng)p=1時的表達式，故在[1,e]遞增111③p≥1時，由(II)知f(x)在[1,e]連續(xù)遞增，f(1)=0<2，又g(x)在[1,e]上是減函數(shù)∴本命題一f(x)max>g(x)min=2，x[1,e]1f(x)max=f(e)=p(e－e)－2lne>2載 (1)求函數(shù)f(x)的極值點 xx當(dāng)p>0時，令f,(x)=0，：x==(0,+w),f,(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：p((,)p－↘1p+↗1p0極大值xf'(x)f(x)從上表可以看出：當(dāng)p>0時，f(x)有唯一的極大值點x=1p (Ⅱ)當(dāng)p>0時在處取得極大值f()ln，此極大值也是最大值，ppf(x)￡0恒成立，只需f(1)ln10，∴p31pp 載2232n22232n22232n2∴結(jié)論成立變式1、已知函數(shù)f(x)=ex一x(e為自然對數(shù)的底數(shù)) (1)求f(x)的最小值； PxxPa 載xxxxx例4、已知函數(shù)f(x)=ax2+2x(a0),g(x)=lnx,2(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)增區(qū)間，求a的取值范圍；xe根？若存在，求出a的取值范圍？若不存在，請說明理由。解：(1)由已知，得h(x)=ax2+2xlnx,且x>0,xx∵函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,hxaxx-1≥0有x>0的解.①當(dāng)a<0時,y=ax2+2x-1的圖象為開口向下的拋物線,要使ax2+2x-1≥0總有x>0的解,則必定是兩個不相等的正根.故只需Δ=4+4a>0,即a>-1.即-1<a<0②當(dāng)a>0時,y=ax2+2x-1的圖象為開口向上的拋物線,ax2+2x-1≥0一定有x>0的解.綜上,a的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞) xx等價于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0.1設(shè)H(x)=ax2+(1-2a)x-lnx,于是原方程在區(qū)間(,e)內(nèi)根的問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)H(x)在區(qū)間e1(,e)內(nèi)的零點問題.e載當(dāng)x∈(0,1)時,Hˊ(x)<0,H(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(1,+∞)時,Hˊ(x)>0,H(x)是增函數(shù)；1若H(x)在(,e)內(nèi)有且只有兩個不相等的零點,只須e=+--=-+=+--=-+->變式1、已知x=1是f(x)=2x-b+lnx的一個極值點2x(1)求b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)設(shè)g(x)=f(x)-，試問過點(2，5)可作多少條曲線y=g(x)的切線？為什么？x⒙解：(1)因x=－1是f(x)=2x-b+lnx的一個極值點xf/(-1)=0即2+b-1=0∴b=-1經(jīng)檢驗，適合題意，所以b=-1．x2xx2xx21載3636 (3)g(x)=f(x)=2x+lnxx設(shè)過點(2，5)與曲線g(x)的切線的切點坐標(biāo)為(x,y)000002200x00x00xxx2∴h(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，+)上單調(diào)遞增2e2∴過點(2，5)可作2條曲線y=g(x)的切線.2 (1)求f(x)在[0，1]上的極值； (2)若關(guān)于x的方程f(x)=2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍. 3當(dāng)1x1時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減.載 2當(dāng)x=[0,7]時,Q,(x)>0,于是Q(x)在[0,7]上遞增；333333(263.總結(jié)提煉：1.函數(shù)的綜合問題，這類問題涉及的知識點多，與數(shù)列、不等式等知識加以綜合。主要考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.2.通過求導(dǎo)來研究函數(shù)性質(zhì)是一種非常重要而有效的方法。通常的步驟：先求導(dǎo)，要注意求導(dǎo)后定義域的情況；將導(dǎo)數(shù)整理變形，能看出導(dǎo)數(shù)的符號性質(zhì)或零點。再列表，從表中回答所要求解答的問載為函數(shù)或不等式問題去解決合理構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)問題構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，但是有時簡單的構(gòu)造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。例1：(2009年寧波市高三第三次模擬試卷22題)(1)若2為y=f(x)的極值點，求實數(shù)a的值；3x22解：(1)因為x=是函數(shù)的一個極值點，所以f,()=0，進而解得：a=0，經(jīng)檢驗是符合的，33 ax+133a+12 (3)方法一、變量分離直接構(gòu)造函數(shù)xx載xx0060000 (4)4x60二階導(dǎo)數(shù)草圖g,(x)x1x00x=611x000原函數(shù)草圖一階導(dǎo)數(shù)草圖xx載xx