工學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué)隨機(jī)振動數(shù)學(xué)描述

工學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué)隨機(jī)振動數(shù)學(xué)描述第1頁/共48頁應(yīng)該指出：①一個確定性振動，不論波形怎樣復(fù)雜，也不是隨機(jī)振動②隨機(jī)振動≠復(fù)雜振動，如初相位隨機(jī)變化的簡諧振動x=X0sin(ωt+φ)(φ在0～2π之間隨機(jī)取值)，波形十分簡單，但仍屬于隨機(jī)振動**常見的幾種隨機(jī)激勵：1)固體接觸面凹凸不平，如：路面，滾珠軸承，齒輪金屬切削加工，……2)流體對固體表面的作用，如：船，堤壩，海洋平臺，高層建筑，……第2頁/共48頁**常見的幾種隨機(jī)激勵：3)火箭燃燒放熱不均勻，如：火箭發(fā)動機(jī)，化工儲液罐，……4)地震或地面突變，如：地震，火炮發(fā)射，采掘機(jī)抖動，……**隨機(jī)振動的利與害〔利用〕1)診斷與檢驗：心電圖、腦電波分析，軸承、齒輪和發(fā)動機(jī)的故障診斷2)找振源、確定傳遞通道3)……第3頁/共48頁〔危害〕對于確定性振動，只要使系統(tǒng)固有頻率遠(yuǎn)離激勵頻率，就可避免共振發(fā)生但是，對于隨機(jī)振動，由于激勵頻率是一連續(xù)分布的形式，要避免共振是困難的，只能作某些要求，如：避免在加速度0.1g以上條件下工作，或在振幅大于某個值的條件下工作等等**研究方法輸入輸出系統(tǒng)激勵響應(yīng)第4頁/共48頁系統(tǒng)：機(jī)械產(chǎn)品，結(jié)構(gòu)物，裝置，零部件等，M,C,K表示激勵：系統(tǒng)受到的隨時間變化的擾動(位移、速度、力等)**研究課題有：①環(huán)境調(diào)查②響應(yīng)預(yù)估③系統(tǒng)識別響應(yīng)：系統(tǒng)激勵作用產(chǎn)生的運(yùn)動(位移、速度、加速度、應(yīng)力等)采用概率統(tǒng)計的方法研究，應(yīng)用傅立葉分析，把時域信號轉(zhuǎn)換到頻域中去考慮第5頁/共48頁§9-2集合平均定常過程無限個、無限長樣本{xk(t)}，隨機(jī)變量{xk(t1)}第6頁/共48頁無限個、無限長樣本{xk(t)}，隨機(jī)變量{xk(t1)}，則集合平均(t1時刻)自相關(guān)函數(shù)第7頁/共48頁§9-3時間平均各態(tài)歷經(jīng)過程通常不可能取無限個樣本，而是大量的樣本函數(shù)作為隨機(jī)過程的一個近似。能否用一個樣本來描述該隨機(jī)過程？若時間平均：等統(tǒng)計特性對各樣本是相同的(與k無關(guān))，則該過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程，此時可用一個樣本的時間平均來討論。注意：各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)的，但平穩(wěn)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。而要證明一個過程是各態(tài)歷經(jīng)的卻很難，通常假設(shè)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，除非有證據(jù)證明不是。主要討論各態(tài)歷經(jīng)過程和平穩(wěn)過程。第8頁/共48頁§9-4概率分布概率密度函數(shù)聯(lián)合概率分布研究隨機(jī)變量，不僅要知道它可能取得一些什么值，更重要的是要知道它取得這些值的概率，這就是隨機(jī)變量的概率分布問題。關(guān)于概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、聯(lián)合概率分布及正態(tài)分布過程等內(nèi)容請看相關(guān)書籍。注意：對各態(tài)歷經(jīng)過程，我們可從單個樣本函數(shù)去求概率分布函數(shù)及概率密度函數(shù)等。第9頁/共48頁§9-5隨機(jī)變量的概率特征及其代數(shù)運(yùn)算概率密度函數(shù)可以描述隨機(jī)變量的特征，但在實際問題中，有時候并不需要知道隨機(jī)變量的全部統(tǒng)計信息，或者不容易得到概率密度函數(shù)。此時，尋求隨機(jī)變量的某些既重要又有代表性和確定性的信息來代替隨機(jī)變量的全部統(tǒng)計信息是重要的。①數(shù)學(xué)期望(又稱集合平均、均值、一次矩)②均方值(二次矩)第10頁/共48頁③方差(二次中心矩)④相關(guān)矩(協(xié)方差)隨機(jī)變量X(t1)與Y(t2)的協(xié)方差定義為：第11頁/共48頁而稱為互協(xié)方差系數(shù)或互相關(guān)系數(shù)若X(t)與Y(t)互相獨立，則ρxy＝0但反過來若ρxy＝0，則X(t)與Y(t)不一定互相獨立！特別地，若用X(t)代替Y(t)，則協(xié)方差：對各態(tài)歷經(jīng)過程，上述統(tǒng)計特性均可從一個樣本信息得到。第12頁/共48頁(1)自相關(guān)函數(shù)§9-6自相關(guān)函數(shù)及其特性對平穩(wěn)過程，有對各態(tài)歷經(jīng)過程，有第13頁/共48頁一般情況下Rx(τ)與τ的關(guān)系曲線如下圖常見信號類型的自相關(guān)函數(shù)如右圖第14頁/共48頁(2)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(a)平穩(wěn)過程x(t)的Rx(τ)是實偶函數(shù)，即(b)(c)(d)自相關(guān)函數(shù)是有界的，且滿足(e)當(dāng)|τ|相當(dāng)大時，有第15頁/共48頁(2)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(f)若隨機(jī)信號x(t)由噪音信號n(t)和與之不相關(guān)的信號λ(t)

組成，則有自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)表達(dá)了數(shù)據(jù)信號波形在時間坐標(biāo)移動τ前后之間的相似程度，由于各種信號的Rx(τ)的最大值都不一樣，且具有量綱，故定義相關(guān)系數(shù)：ρx(τ)無量綱，且最大值為1，當(dāng)ρx(τ)＝±1時，波形完全相似(完全相同或完全相反)，ρx(τ)＝0時，波形完全不相似。第16頁/共48頁[注]：關(guān)于(*)式，谷口修等人的《振動工程大全》是在μx＝0的條件下定義的，而D.E.紐蘭《隨機(jī)振動概論》則把相關(guān)函數(shù)定義為：由回歸方程而來。而(*)式可改寫為：當(dāng)μx＝0時，兩者一致。第17頁/共48頁[例]已知：隨機(jī)相位正弦波(視為各態(tài)歷經(jīng)過程)x(t)=Asin(ωot+θ)如圖(a)所示，其中ωo為常數(shù)，θ為隨機(jī)變量，求自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)。解：x(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程，故可由一個樣本函數(shù)求Rx(τ)～τ曲線如圖(b)所示第18頁/共48頁[討論]①數(shù)據(jù)信號是周期函數(shù)時，自相關(guān)函數(shù)也是周期函數(shù)，且兩者周期相同。②由自相關(guān)函數(shù)的幅值A(chǔ)2/2可求得周期信號的幅值，即保留了幅值信息。③若信號是由隨機(jī)相位正弦波和均值為零的且不相關(guān)的噪音信號n(t)組成，則由自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)(f)可知：實際上，當(dāng)τ大到一定程度時，Rn(τ)＝0，這時便可從Rxn(τ)中觀察出數(shù)據(jù)信號有無周期分量。即通過自相關(guān)分析，能檢測出隱藏在隨機(jī)振動中的周期分量，同時能求出該周期分量的振幅A和圓頻率ωo。第19頁/共48頁(3)自相關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)對平穩(wěn)過程，有第20頁/共48頁[例]某汽車前橋、車身測量的加速度波形如圖左，自相關(guān)函數(shù)如圖右。車子振動很大，試分析。前橋的自相關(guān)函數(shù)兩個峰值的時間間隔為0.1s，頻率為車身自相關(guān)函數(shù)兩個峰值的時間間隔為0.11s，頻率為f1與f2都與發(fā)動機(jī)頻率相差很大，故判斷不是由發(fā)動機(jī)引起第21頁/共48頁經(jīng)過計算，前橋二自由度耦合自振頻率接近于f1與f2改進(jìn)的前橋成為二個單自由度系統(tǒng)，左右輪相互影響小第22頁/共48頁(1)互相關(guān)函數(shù)兩個隨機(jī)過程X(t)和Y(t)在時刻t1=t，t2=t+τ的互相關(guān)函數(shù)定義為§9-7互相關(guān)函數(shù)及其特性對平穩(wěn)過程，有：對各態(tài)歷經(jīng)過程，有：右圖為典型Rxy(τ)與τ的關(guān)系曲線第23頁/共48頁(2)互相關(guān)函數(shù)的主要性質(zhì)(a)一般情況下，Rxy(τ)與Ryx(τ)是不相同的，且都不是τ的實偶函數(shù)，但有(b)互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)是有界的，且有(c)對大多數(shù)隨機(jī)過程，當(dāng)|τ|相當(dāng)大時，可認(rèn)為x與y互不相關(guān)，有(d)互相關(guān)函數(shù)的最大值一般不在τ＝0處第24頁/共48頁(2)互相關(guān)函數(shù)的主要性質(zhì)(e)互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)

與Rx(0)和Ry(0)有如下不等式第25頁/共48頁(3)應(yīng)用(a)確定輸油管裂紋的位置設(shè)聲音在管道中傳播速度為V(裂紋K漏油時發(fā)出的聲音)，則有由互相關(guān)函數(shù)Rx1x2(τ)找出τm即可，而傳感器之間距離是已知的(V如何確定？)第26頁/共48頁(3)應(yīng)用(b)汽車操縱靈敏度在方向盤和輪子上安裝傳感器，記錄φ(t)和θ(t)，求互相關(guān)Rφθ(τ)，則τm越小越靈敏第27頁/共48頁(3)應(yīng)用(c)找振源，確定傳遞通道機(jī)器1對地面測點y振動影響的程度為機(jī)器2對地面測點y振動影響的程度為第28頁/共48頁(3)應(yīng)用(d)測定材料的隔聲性能室內(nèi)A處放置有噪聲聲源，a和b分別為噪聲接收器信號x(t)和y(t)，先在不安裝隔聲板的情況下，作x(t)和y(t)的互相關(guān)分析，然后安裝隔聲板，作同樣分析，如圖右。后者的互相關(guān)數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于前者，此值越小表明材料的隔聲效果越好。第29頁/共48頁時域分析不容易看出：①頻率成分②何種頻率成分占優(yōu)③各種頻率的振動能量是多少§9-8頻譜分析與譜密度(1)自功率譜密度(自譜密度)隨機(jī)過程樣本函數(shù)x(t)是無限持續(xù)，故不滿足絕對可積條件：所以x(t)不能進(jìn)行傅里葉變換以得到頻率信息，此時可考慮用Rx(τ)

作傅里葉變換設(shè)μx＝0(可移軸得到)，且設(shè)x(t)中沒有周期分量(若x(t)中有周期分量，則Rx(τ)

也為周期函數(shù)，不滿足絕對可積條件，不能進(jìn)行傅里葉變換，盡管其傅氏變換存在，為脈沖δ函數(shù))第30頁/共48頁Rx(τ)

的傅里葉變換及其逆變換為：這一對傅氏變換稱為維納—辛欽公式，記為：第31頁/共48頁(2)自譜Sx(ω)

的主要性質(zhì)(b)Sx(ω)

是ω的實的非負(fù)偶函數(shù)(a)從性質(zhì)(a)可知Sx(ω)的單位是：均方值單位/頻率單位，故又稱

Sx(ω)為均方譜密度。為什么Sx(ω)稱為功率譜密度？主要是根據(jù)功率或能量的概念而來，如都代表能量而x(t)的平均功率為：故Sx(ω)描述了x(t)的平均功率在頻域中的分布情況，是頻率尺度上每單位間隔的功率或能量。第32頁/共48頁[例](紐蘭P44)：已知某平穩(wěn)隨機(jī)過程x(t)的均方譜密度如圖(a)，求自相關(guān)函數(shù)和均方值。解:(1)求Rx(τ)

波形如圖(b)第33頁/共48頁解:(2)求均方值

若(ω2-ω1)較小，說明譜密度僅在很窄的頻帶內(nèi)分布，這種隨機(jī)過程稱為窄帶隨機(jī)過程，相應(yīng)的有寬帶隨機(jī)過程。第34頁/共48頁[例](紐蘭P45～47)：白噪聲的自相關(guān)函數(shù)在前面的例子中，如果(ω1,ω2)是一個寬廣的頻帶，則稱為寬帶隨機(jī)過程，其時間歷程是由各種頻率的信號疊加而得，若ω1＝0,ω2＝∞，則這個譜稱為白噪聲譜，即這是根據(jù)白色光的譜密度近似為一個常數(shù)而類比的。實際上，有第35頁/共48頁即白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為δ函數(shù)。上述結(jié)果也可由前面的結(jié)果中令ω1＝0,ω2→∞得到：當(dāng)ω2→∞時，除τ＝0處的高峰外，其余為零，而此峰為無窮大，寬度為零，面積為S0，如圖所示。由于白噪聲的均方值為無窮大，即因此白噪聲僅僅是理論上的概念。但是若一個寬度噪聲譜的帶寬已大大超過所有感興趣的頻率時，那么這種譜就可視為白譜。第36頁/共48頁[例]已知某隨機(jī)過程的自功率譜密度函數(shù)為：解：求：自相關(guān)函數(shù)及均方值。此式用了留數(shù)定理在定積分上的應(yīng)用第37頁/共48頁第38頁/共48頁(3)互功率譜密度(互譜密度)與自譜密度函數(shù)一樣，兩個隨機(jī)過程的互譜密度定義為這兩個隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，即上述傅里葉變換存在的條件是互相關(guān)函數(shù)絕對可積，即第39頁/共48頁(4)過程導(dǎo)數(shù)的譜密度有時候在測量位移，了解位移的譜密度時，用位移計不很方便，往往采用加速度計。這就涉及到加速度隨機(jī)過程的譜密度與位移的譜密度之間的關(guān)系問題。設(shè)隨機(jī)過程x(t)是平穩(wěn)的，有另外第40頁/共48頁即有：另方面：所以：這是一個很重要的關(guān)系，由此式可以從已知的Sx(ω)求出速度的均方值等統(tǒng)計特征。

第41頁/共48頁第42頁/共48頁(5)譜密度單位的說明Sx(ω)

對ω的正負(fù)值都有意義，所以稱為雙邊譜密度。但這只是從理論上來說的，而實際測量時，只是對正的頻率