專(zhuān)業(yè)課自動(dòng)控制原理自控課件

1自動(dòng)控制原理華中科技大學(xué)控制科學(xué)與工程系2第四章根軌跡法繪制根軌跡的規(guī)則4-2廣義根軌跡

4-3線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡分析法4-4根軌跡的基本概念4-15-53§4.1根軌跡的概念

4.1.1根軌跡圖根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）隨開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無(wú)窮大時(shí)在S平面上的變化軌跡。4

4.1.2開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系§4.1根軌跡的概念5

系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益， 為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益， 為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)， 為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)。(4-1)§4.1根軌跡的概念6

由第三章，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益（或開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)）為

（4-2）式中是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，由它來(lái)確定該系統(tǒng)是零型系統(tǒng)（）,Ⅰ型系統(tǒng)（）或Ⅱ型系統(tǒng)（）等。將（4-1）代入（4-2）可得§4.1根軌跡的概念7§4.2繪制根軌跡的規(guī)則系統(tǒng)的特征方程為當(dāng)系統(tǒng)有m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，特征方程可寫(xiě)成稱(chēng)為根軌跡方程4.2.1繪制根軌跡的依據(jù)8

根軌跡方程是一個(gè)向量方程，用模和相角的形式表示由此可得到滿(mǎn)足系統(tǒng)特征方程的幅值條件和相值條件為幅值條件：相角條件：§4.2繪制根軌跡的規(guī)則9設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為滿(mǎn)足幅值條件的表達(dá)式為 或滿(mǎn)足相角條件的表達(dá)式為§4.2繪制根軌跡的規(guī)則10根軌跡的基本規(guī)則(1)根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)(2)根軌跡的分支數(shù)(3)實(shí)軸上的根軌跡(4)根軌跡的漸近線(xiàn)(5)根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)(6)根軌跡的起始角和終止角(7)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

通常，我們把以開(kāi)環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有7條：§4.2繪制根軌跡的規(guī)則11

幅值條件可寫(xiě)成當(dāng)，必須有 此時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)極點(diǎn)相同(重合)，我們把開(kāi)環(huán)極點(diǎn)稱(chēng)為根軌跡的起點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開(kāi)環(huán)根軌跡增益。當(dāng)，必須有 此時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)相同(重合)，我們把開(kāi)環(huán)零點(diǎn)稱(chēng)為根軌跡的終點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于開(kāi)環(huán)根軌跡增益。

規(guī)則1根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)§4.2繪制根軌跡的規(guī)則12

分三種情況討論：

1．當(dāng)m=n時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。

2．當(dāng)m<n時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)(稱(chēng)為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱(chēng)為無(wú)限零點(diǎn)),如例4-1。

3．當(dāng)m>n時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(稱(chēng)為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱(chēng)為無(wú)限極點(diǎn))?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則13

根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；如果開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有n-m條根軌跡終止于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處(無(wú)限零點(diǎn))，如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處(無(wú)限極點(diǎn))?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則結(jié)論：14

根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。當(dāng)由零到無(wú)窮大連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是n條連續(xù)的曲線(xiàn)。由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的。

結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的曲線(xiàn)。

規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性§4.2繪制根軌跡的規(guī)則15規(guī)則3實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸上某線(xiàn)段右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)則該線(xiàn)段是實(shí)軸上的根軌跡?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則16規(guī)則4漸近線(xiàn)當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線(xiàn)叫做根軌跡的漸近線(xiàn)，因此，浙近線(xiàn)也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)。

漸近線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)位置和與實(shí)軸正方向的交角分別為§4.2繪制根軌跡的規(guī)則17系統(tǒng)的特征方程可寫(xiě)成

,上式稱(chēng)為分離點(diǎn)方程。分離點(diǎn)方程的另一種形式為式中，為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值，為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。規(guī)則5根軌跡的分離點(diǎn)§4.2繪制根軌跡的規(guī)則18

規(guī)則6起始角與終止角當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始角和終止角問(wèn)題,先給出定義如下：⑴起始角根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線(xiàn)方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-1（a）中的和。⑵終止角根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線(xiàn)方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-1（b）中的和。§4.2繪制根軌跡的規(guī)則19圖4-1(a)根軌跡的起始角和終止角

圖4-1(a)根軌跡的起始角和終止角§4.2繪制根軌跡的規(guī)則20圖4-1(b)根軌跡的起始角和終止角§4.2繪制根軌跡的規(guī)則21規(guī)則7根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。這時(shí)，用代入特征方程可得

即§4.2繪制根軌跡的規(guī)則22

由此可得虛部方程和實(shí)部方程為解虛部方程可得角頻率，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值。的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）變?yōu)椴环€(wěn)定（或穩(wěn)定）的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值。它對(duì)如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則23§4.3廣義根軌跡

前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以開(kāi)環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)的，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時(shí)候，為了分析系統(tǒng)方便起見(jiàn)，或著重研究某個(gè)系統(tǒng)參數(shù)(如時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)等)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，我們把以非開(kāi)環(huán)根軌增益作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡(或廣義根軌跡)。4.3.1參數(shù)根軌跡244.3.2正反饋系統(tǒng)的根軌跡

正反饋系統(tǒng)的特征方程是

(4-3)即 (4-4)

由此可得到繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件分別為

(4-5)

(4-6)

與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件相比知，正反饋系統(tǒng)和負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件相同；§4.3廣義根軌跡25

負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循180°相角條件，而正反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循0°相角條件。故正反饋系統(tǒng)根軌跡又稱(chēng)為零度根軌跡。由于相角條件不同，在繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡時(shí)，須對(duì)前面介紹的繪制負(fù)反饋系統(tǒng)普通根軌跡的七條基本規(guī)則中與相角條件有關(guān)的三條規(guī)則作相應(yīng)修改，這些規(guī)則是：

⑴正反饋系統(tǒng)根軌跡的漸近線(xiàn)與實(shí)軸正方向的夾角應(yīng)為

(4-7)§4.3廣義根軌跡26⑵

正反饋系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡是那些在其右側(cè)的開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)實(shí)極點(diǎn)的總數(shù)為偶數(shù)或零的線(xiàn)段。⑶正反饋系統(tǒng)的起始角和終止角應(yīng)為下面通過(guò)示例進(jìn)一步說(shuō)明正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法?！?.3廣義根軌跡274.4線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡分析法

根軌跡法是在已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，研究某—個(gè)和某些參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響的一種圖解方法。由于根軌跡圖直觀、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在S平面上分布的大致情況，通過(guò)一些簡(jiǎn)單的作圖和計(jì)算，就可以看到系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響趨勢(shì)。這對(duì)分析研究控制系統(tǒng)的性能和提出改善系統(tǒng)性能的合理途徑都具有重要意義。下面通過(guò)示例簡(jiǎn)要介紹用根軌跡分析控制系統(tǒng)的方法?！?.4線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡分析法28例4-1已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

解⑴先根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖(圖4-2)。系統(tǒng)的特征方程是或§4.4線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡分析法29圖4-2例4-1的根軌跡圖30⑵系統(tǒng)穩(wěn)定性分析由根軌跡圖知，有兩條從S平面左半部穿過(guò)虛軸進(jìn)入S平面右半部，它們與虛軸的交點(diǎn)，且交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的臨界開(kāi)環(huán)根軌跡增益。

由開(kāi)環(huán)根軌跡增益與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K之間的關(guān)系可求出系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界開(kāi)環(huán)放大系數(shù)為§4.4線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡分析法31⑶系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)首先求出滿(mǎn)足阻尼比時(shí)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)的位置（假定、滿(mǎn)足主導(dǎo)極點(diǎn)的條件）。

方法是作等阻尼比線(xiàn)oA，使oA與實(shí)軸負(fù)方向的夾角

等阻尼比線(xiàn)oA與根軌跡的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足阻尼比系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。測(cè)得在s平面上的坐標(biāo)位置為,由根軌跡的對(duì)稱(chēng)性得到另一共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為?！?.4線(xiàn)性系統(tǒng)的根軌跡分析法32

將、和代入特征方程，由根和系數(shù)之間關(guān)系很容易得到另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)、，它們也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)由此可計(jì)算出

由幅值條件可求出閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益為

共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)與