平面向量的線性運算及練習(xí)試題

.平面向量的線性運算學(xué)習(xí)過程知識點一：向量的加法（1）定義已知非零向量a,b，在平面任取一點A，作AB＝a，BC＝b，則向量AC叫做a與b的和，記作ab，即ab＝AB＋BC＝AC．求兩個向量和的運算，叫做叫向量的加法．這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法規(guī)．說明：①運用向量加法的三角形法規(guī)時，要特別注意“首尾相接”，即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量終點的向量即為和向量.②兩個向量的和依舊是一個向量，其大小、方向能夠由三角形法規(guī)確定．③位移的合成能夠看作向量加法三角形法規(guī)的物理模型．（2）向量加法的平行四邊形法規(guī)以點O為起點作向量OAa，OBb，以O(shè)A,OB為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點的對角線所在向量OC就是a,b的和，記作ab=OC。說明：①三角形法規(guī)合適于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法規(guī)合適于同起點的兩向量求和，但兩共線向量求和時，則三角形法規(guī)較為合適.②力的合成能夠看作向量加法平行四邊形法規(guī)的物理模型．③對于零向量與任向來量a，a00aa（3）特別地址關(guān)系的兩向量的和①當(dāng)向量a與b不共線時，a+b的方向不相同向，且|a+b|<|a|+|b|；②當(dāng)a與b同向時，則a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，③當(dāng)a與b反向時，若|a|>|b|，則a+b的方向與a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，則a+b的方向與b相同，且|a+b|=|b|-|a|.（4）向量加法的運算律①向量加法的交換律：a+b=b+a②向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)知識點二：向量的減法..（1）相反向量：與a長度相同、方向相反的向量.記作a。（2）①向量a和-a互為相反向量，即–(-a).②零向量的相反向量仍是零向量．③任向來量與其相反向量的和是零向量，即a＋(-a)＝(-a)＋a＝0．④若是向量a,b互為相反向量，那么a＝-b，b＝-a，a＋b＝0．（3）向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：ab=a+(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.（4）向量減法的幾何作法在平面任取一點O，作OAa,OBb，則BAab．即ab能夠表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義．說明：①AB表示ab.重申：差向量“箭頭”指向被減數(shù)②用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)，顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可一致.知識點三：向量數(shù)乘的定義（1）定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定以下：⑴|λa|＝|λ||a|⑵當(dāng)0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，λa的方向與a的方向相反．當(dāng)0時，λa＝02）向量數(shù)乘的運算律依照實數(shù)與向量的積的定義，我們能夠考據(jù)下面的運算律：設(shè)、為實數(shù)，那么⑴λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；⑶λ(a＋b)＝λa＋λb．知識點四：向量共線的條件向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使b＝a．學(xué)習(xí)結(jié)論..1）兩個向量的和依舊是向量，它的大小和方向能夠由三角形法規(guī)和平行四邊形法規(guī)確定，這兩種法規(guī)實質(zhì)上是一致的．共線向量加法的幾何意義，為共線向量首尾相連接，第一個向量的起點與第二個向量的終點連接所獲取的有向線段所表示的向量．（2）ab能夠表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量3）實數(shù)與向量不能夠相加減，但實數(shù)與向量能夠相乘．向量數(shù)乘的幾何意義就是幾個相等向量相加．（4）向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使b＝a。練習(xí)例1．已知任意兩個非零向量a,b，作OAab,OBa2b,OCa3b，試判斷A、B、C三點之間的地址關(guān)系．解：∵AB＝OB－OA＝a+2b－(a+b)＝b，且AC＝OC－OA＝a+3b－(a+b)＝2b，AC＝2AB．所以，A、B、C三點共線．例2.如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線訂交于點M，且AB＝a，AD＝b，試用a，b表示向量MA,MB,MC,MD．解析：AMMC=1(ab)，所以MA1(ab),DMMB2AB1(ab)所以MD1(ba)MA222例3.一艘船從長江南岸A點出發(fā)以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的流速為向東2km/h．⑴試用向量表示江水速度、船速以及船實質(zhì)航行的速度（保留兩個有效數(shù)字）；⑵求船實質(zhì)航行速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).剖析：速度是一個既有大小又有方向的量，所以能夠用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.剖析：⑴如圖，設(shè)AD表示船向垂直于對岸行駛的速度，AB表示水流的速度，以AD、AB作鄰邊作平行四邊形ABCD，則AC就是船實質(zhì)航行的速度.⑵在Rt△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝5，222252295.4∴|AC|＝ABBC∵tan∠CAB＝5，∴CAB682..答：船實質(zhì)航行速度的大小約為5.4km/h，方向與水的流速間的夾角為約為68°.1.(2006理)如圖，在平行四邊形ABCD中，以下結(jié)論中錯誤的選項是（）（A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC；DC（C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．AB2．（2007文）若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是（）A．EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOE3．（2003）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A、C），則AP（）A．C．

(ABAD),(0,1)(ABAD),(0,1)

B．D．

(ABBC),(0,2)2(ABBC),(0,2)24.(2008理)已知O，A，B是平面上的三個點,直線AB上有一點C，滿足2ACCB0,則OC（）2OA1OBD．1OA2OBA．2OAOBB．OA2OBC．33335．（2003；天津文、理）O是平面上必然點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OPOA(ABAC),0,,則P的軌跡必然經(jīng)過ABC的()ABAC（A）外心（B）心（C）重心（D）垂心6．（2005全國卷Ⅱ理、文）已知點A(3,1)，B(0,0)，C(3,0)．設(shè)BAC的均分線AE與BC訂交于E，那么有BCCE，其中等于()（A）２（B）1（C）－３（D）－1237．設(shè)a,b是兩個不共線的非零向量，若向量ka2b與8akb的方向相反，則k=__________.8.（2007理）．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不相同的兩點M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，則m＋n的值為．9．（2005全國卷Ⅰ理）ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，OHm(OAOBOC)，則實數(shù)m=10.（2007文、理）如圖，平面有三個向量OA、OB、OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且OA＝OB＝1，OC＝22.若OC＝OAOB(,R),則的值為.例1.B．例2．Ａ．例3．B.（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.C；2．B.3．A．4.A．5．B6．C；7．_—4__；8.2．9．1；..10.26.（四）拓展與研究：11、D．；12.(,0)13，(,).22平面向量的線性運算（復(fù)習(xí)課）復(fù)習(xí)目標(biāo)：?1、掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義.?2、掌握向量數(shù)乘運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義.3、認(rèn)識向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.重點:向量加、減、數(shù)乘運算及其幾何意義.難點:應(yīng)用向量線性運算的定義、性質(zhì)靈便解決相應(yīng)的問題.一、教學(xué)設(shè)計導(dǎo)學(xué)自主建構(gòu)復(fù)習(xí)1:向量的加法復(fù)習(xí)2:向量的減法已知向量a和向量b,作向量a+b.已知向量a和向量b,作向量a-b.復(fù)習(xí)3：向量的數(shù)乘復(fù)習(xí)4：平面向量共線定理已知向量a,作向量3a和-3a.二、合作共享交流提升1、填空：(1)ADCA--------------

(2)ABCBDC-----(3)ABACBDCD(4)在平行四邊形ABCD中，若ABADABAD則BAD___、判斷題：..1）相反向量就是方向相反的向量2）ABBA03）ABOAOB（4）在△ABC中，必有ABBCCA0（5）若ABBCCA0，則A、B、C三點必是一個三角形的三個極點。3、若OA3OB2OC,則A,B,C三點可否共線三、案例剖析總結(jié)規(guī)律例1:依照條件判斷以下四邊形的形狀(1)ADBC(2)AD1BC(3)ADBC,且ABAD3(4)OAOCOBOD;(O是四邊形所在平面內(nèi)一點）(5)ACABAD(6)四邊形ABCD的對角線AC與BD訂交于點O，并且AOOC,DOOB例2、如圖，在OAB中,延長BA到C,使AC=BA,在OB上取點D,使BD=OB.DC與OA交于E,設(shè)OAa，OBb，請用a，b表示向量OC，DC