體能測試的數(shù)學(xué)建模

PAGEPAGE2第2頁，共15頁2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：D 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜赫憬瑵萍悸殬I(yè)學(xué)院參賽隊員(打印并簽名)：1.吳泓學(xué)2.章鵬飛3.胡玉蘭指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人(打印并簽名)：數(shù)學(xué)建模教學(xué)組日期：2012年07賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：目錄摘要： ………………1一、 問題重述 2二、 問題分析 3三、 模型假設(shè) 4四、 符號說明 4五、 模型建立及求解 4六、 給學(xué)校的建議 11七、 模型評價 11八、 附錄： 12體能測試時間安排模型摘要：體能測試作為衡量學(xué)生身體健康素質(zhì)的指標測試，建立一個合理的指標測試方案將對改進學(xué)校機器設(shè)備管理以及學(xué)校的人員安排具有重大意義，為學(xué)校節(jié)約人力資源，同時也使得學(xué)生在最優(yōu)時間內(nèi)完成體能測試項目，節(jié)省時間資源，為此，我們通過運用LINGO程序和MATLAB編寫程序進行程序求解，制定合理體能測試方案。首先，我們根據(jù)機器測試的時間和機器臺數(shù)求得所需總時間段數(shù)至少為4段。在同一個班級人數(shù)不進行分組的前提下，將56個班級劃分為18個小組（一個小組3個班），再將人數(shù)最多的班級分為2個組，計算出每個小組測試完所有項目所需的時間。然后建立EXCEL-VBA規(guī)劃模型或或0-1規(guī)劃模型，將這20個小組的時間段放入每天的兩個測試時間段內(nèi)，使得全部放完這20個小組的時段所需要的總測試時間段數(shù)最少，并求得最少測試時間段數(shù)恰好為至少4段。其次，為了節(jié)省學(xué)生等待時間，我們將每個班級人數(shù)進行分組，每組為20人，共分成102組。由于這20人最多來自兩個不同的班級，我們求得完成20人的時間只可能為425秒、430秒、435秒這三種情況。這樣將原來問題轉(zhuǎn)化為怎樣用最少時間段數(shù)放入102個435秒。通過求解分析得到的時間段數(shù)為4段，，等待時間最長的同學(xué)僅需等待2.6分鐘，從而說明了分組的必要。最后，通過程序分析給出了每項測試的人均時間應(yīng)該相等的結(jié)論，以及用來配置機器的臺數(shù)，并討論得出場地容量對所需時段和等待時間的影響。[關(guān)鍵詞]：等待時間高斯函數(shù)時間等級分組問題重述每個學(xué)校都可以通過體能測試來了解各個學(xué)生的身體狀況，以此設(shè)置相應(yīng)的體育鍛煉課程，增強學(xué)生的體質(zhì)。某校按照教學(xué)計劃安排各班學(xué)生進行體能測試，以了解學(xué)生的身體狀況。測試項目、測試儀器及每個學(xué)生的平均測試時間如下圖表1。在測試時，每個學(xué)生測試每個項目前都要錄入個人學(xué)號，平均需時5秒。儀器在每個學(xué)生測量完畢后學(xué)號將自動后移一位，若前后測試的學(xué)生的學(xué)號相連，則可省去錄入時間，且同一班學(xué)生的學(xué)號是相連的。學(xué)校安排每天測試的兩個時間段為8：00－12：10與13：30－16：45。五項測試的場所最多能容納150個學(xué)生，且測試項目沒有固定的先后順序。參加體能測試的各班人數(shù)見下表2。學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時間段內(nèi)完成所有項目的測試，并且在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時間。用數(shù)學(xué)符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數(shù)學(xué)問題的算法，盡量用清晰、直觀的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測試時間的安排計劃，并且說明該計劃怎樣滿足學(xué)校的上述要求和條件。最后，請對學(xué)校以后的體能測試就以下方面提出建議，并說明理由：如引進各項測量儀器的數(shù)量；測試場所的人員容量；一個班的學(xué)生是否需要分成幾個組進行測試等。表1測量儀器數(shù)量及所用時間測試項目測量儀器（臺）儀器的單位測試時間（秒）每人所用時間（秒）身高與體重310(每人)3.333333333立定跳遠120(每人)20肺活量120(每人)20握力215(每人)7.5臺階試驗2210(每5人)21表2體能測試的各班人數(shù)班號123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號161718192021222324252627282930人數(shù)442030393538382825303620243233班號313233343536373839404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號4647484950515253545556

人數(shù)4243414245421939751717

問題分析針對問題一，為使整個測試所需時間段最小和學(xué)生等待時間最短，我們通過對機器臺數(shù)、每個項目測試時間和場地容量等因素的分析計算，我們將56個班級總?cè)藬?shù)劃分成20個小組，其中最后2個班級單獨分為兩個小組。并且，每個小組內(nèi)的班級人數(shù)盡可能的比較接近，這樣來減少學(xué)生等待的時間。通過程序分析計算得出每個小組測試所需要的最少時間，然后將20個小組的時間段進行合理組合，以便得到最少的時間段數(shù)能包含這所有的20個時間段。針對問題二，在問題一的基礎(chǔ)上，保證時間段數(shù)最少的情況下，當(dāng)考慮每組內(nèi)學(xué)生之間的錄入時間時，由于每個儀器錄入學(xué)號的平均需時為5秒，如果前后測試的學(xué)生學(xué)號相連就可省去錄入時間，故在測試時盡量減少錄入時間就要使每組學(xué)生的學(xué)號相連，以達到錄用時間最少的效果，所以我們將同一班級人數(shù)進行合理的分組。如下圖所示：臺階測試臺階測試1210秒握力測試儀15秒/人（二臺）立定跳遠20秒/人（一臺）。身高與體重10秒/人（三臺）臺階測試2210秒肺活量20秒/人（一臺）五名五名圖1體能測試示意圖針對問題三，綜合考慮問題一二，在問題一二的程序上，我們對數(shù)據(jù)進行合理的改動，從而比較得出最佳測量儀器數(shù)量；測量場所人員容量，班級的分組情況等。模型假設(shè)1、在測試過程中各個測試儀器都能正常工作；2、每個學(xué)生在轉(zhuǎn)換測試項目時所用的時間不計；3、每個班級在安排測試的時間前都能保證到達測試地點；4、學(xué)生在測試完所有項目測試后能迅速離開，并不再占用場所空間；5、測試不受天氣等各種因素的影響；6、臺階試驗測試儀在測試人數(shù)不足5人時也可進行測試；7、忽略人員進入和離開測試場地所用時間；符號說明1、把身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力、臺階實驗測試分別稱為A、B、C、D、E項測試；2、——第輪測試所花費的時間；3、——第個班級。4、——第個班級的人數(shù)5、表示第個組合所需時間。6、表示第個時間段長度模型建立及求解由于56個班級的總?cè)藬?shù)為2036，假設(shè)每臺機器不停止工作，所有人完成A測試至少需要2036×10÷3+56×5=7066.67（s）。同理可得所有人完成B、C、D、F項測試至少需要的時間分別為41000、41000、15550、43036秒。那么，至少需要43036秒才能讓所有人完成全部的測試項目。由于時間段長上午為15000秒、下午11700秒，因此至少需要2天4個時間段才能完成所有人的測試項目，即時間段的下屆為4段。在不對單個班級進行分組的前提下，由于第五項每次可以測5名學(xué)生，且有兩臺機器，則對不同班級的總?cè)藬?shù)，用matlab編程求得圖形（見附錄一）可得班級人數(shù)與測試完臺階所需人數(shù)與時間的對照：班級人數(shù)為x1時測試臺階實驗所需時間計算公式為：t=*210+5定義：在只進行第五項測試時，把所有人數(shù)可能不同但測試完第五項所需時間相同的班級稱為一個時間等級。例如：班級人數(shù)為25和35的兩個班級分別做完第五項測試所用時間均為635秒，那么按照，這兩個班級為同一時間等級。命題1：假設(shè)同一班級的人數(shù)不在進行分組，若每次同時進入測試場地的班級數(shù)為3，且每個班級的人數(shù)不小于17人時，那么有：同時進入場地的3個班級全部完成B項、C項、E項測試所需時間與這3個班級完成所有五項測試所需時間相同。證明：假設(shè)同時入場的班級分別為,其人數(shù)分別為.現(xiàn)讓這三個班級分別去做第B、C、E項測試，這三個班級都已經(jīng)完成各自的測試稱為第一輪；第一輪測試完成后，讓班去做第C項測試，讓班去做E項測試，讓班去做B項測試，這三個班級都已經(jīng)完成各自的測試稱為第二輪；第二輪結(jié)束后，依次類推，讓班去做E項測試，讓班去做B項測試，讓班去做C項測試，這三個班級都已經(jīng)完成各自的測試稱為第三輪。B項測試C項測試E測試第一輪第二輪第三輪在第一輪中，班的第一個學(xué)生在做完B項測試后，該同學(xué)完全可以利用等待該班第二位同學(xué)的B項測試的時間去進行A項測試（共需要10+5秒），而當(dāng)他測試完B時，班第二位同學(xué)依然在進行B項測試，而此時班的第一個同學(xué)再去做D項測試，由于班的人數(shù)不小于17，因此班還有部分同學(xué)尚未完成第B項測試。班的第二個同學(xué)完全按照該班第一個同學(xué)的路線進行，以此類推。那么該班級除了后兩位同學(xué)，其余均可以在n1班全部測完B項之前，也完成A、E項的測試。倒數(shù)后兩位可以在第二輪開始，即n1進行C項測試時，離開n1班隊列去做完A、D項測試，然后回到對列繼續(xù)等待C項測試。由于B項測試的機器為三臺，D項測試的機器為二臺，完全足夠，并且在第一輪中和班分別做B、C項的時間均為20秒每人，班的同學(xué)的路線與班相似。對于班也可以在第一、二、三輪測試的間隙完成A、B的測試。另外B、C測試需要20秒，而E測試序言210秒，但可以同時測試5人且有2臺機器，那么人均耗時約為21秒。并有以上的命題討論我們知道若三個班級的人數(shù)相差不大，則比較節(jié)約時間，因此我講56個班級分組，每組的班級同時入場。表3組號班級編號對應(yīng)的人數(shù)第1組（525556）（191717）第2組（273536）（202020）第3組（8917）（202020）第4組（122428）（252524）第5組（25235）（302826）第6組（322918）（333230）第7組（262030）（363533）第8組（113843）（373737）第9組（212239）（383838）第10組（405310）（393838）第11組（421934）（403939）第12組(13148)(414141)第13組（464951）（424242）第14組（47741）（434242）第15組（61637）（444444）第16組（4350）（444445）第17組（131415）（454545）第18組（24544）（455050）第19組（54）（252525）第20組（33)（171717）按照表3，可以分一下兩種情況討論：情況一：若該組中的三個班級人數(shù)為x1、x2、x3均處于同一時間等級，則完成第一輪測試所需時間為：=210×+5（這里[]是上取整數(shù)函數(shù)）；這是因為若班級人數(shù)x1x2x3處于同一時間等級，則顯然有：20×210×；再加上第一位同學(xué)錄入學(xué)號的5秒，則完成第一輪總共所需時間為：=210×+5同理可得第二、三輪時間分別為=210×+5和=210×+5;則完成三輪測試所需的時間為：=++=+15（1）由上面的分組我們可以知道除了第7、19兩組，其他分組均出在同一時間等級，可按照上述（1）式計算完成時間（結(jié)果見表5）情況二：若三個班級不全處于同一時間等級，則由于人數(shù)不同有多種情況出現(xiàn)，具體情況時具體計算這里不給出計算公式。表3中有兩組的班級不同一時間等級，這兩組為第6組和第19組?，F(xiàn)在分別計算器完成時間：表4第二項測試第三項測試第五項測試每輪測試所需要的時間（秒）班級編號（人數(shù)）所需時間（秒）班級編號（人）所需時間（秒）班級編號（人）所需時間（秒）第一輪26（36）72520(35)70530(33)845845第二輪30(33)66526（36）72520(35)845845第三輪20(35)70030(33)66526（36）10551055由表4得完成三輪測試所需的總時間T=845+845+1055=2745秒。同理可得第19組完成三輪測試所需的總時間T=4695秒。表組號班級編號對應(yīng)的人數(shù)測試所需時間第1組（525556）（191717）1275第2組（273536）（202020）1275第3組（8917）（202020）1275第4組（122428）（252524）1905第5組（25235）（302826）1905第6組（322918）（333230）1905第7組（262030）（363533）2745第8組（113843）（373737）2535第9組（212239）（383838）2535第10組（405310）（393838）2535第11組（421934）（403939）2535第12組(13148)(414141)3165第13組（464951）（424242）3165第14組（47741）（434242）3165第15組（61637）（444444）3165第16組（4350）（444445）3165第17組（131415）（454545）3165第18組（24544）（455050）3165第19組（54）（252525）1590第20組（33)（171717）1086現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為：將上述19個時間按照某種組合方式全部填入每天的兩個時間段，從而使得所需的總時間段數(shù)最少。設(shè)表示所需的時間段總數(shù)，表示表5中第個組合所需時間，表示第個時間段長度，其中=1，2，...19；=1，2，顯然有：=，進一步假設(shè)0-1變量:=，其中=1，2，...19；=1，2，即得到0-1規(guī)劃模型一：min,=1;=1,2,...,19;;=1，2，上述模型中：第一個約束表示每個組能且只能安排在某一時段;第二個約束表示安排進任一時段的所有組的測試總時間必不大于該時段長度。解得結(jié)果如下見表6：表6組號班級號班級人數(shù)測試時間安排第一天上午第1組（525556）（191717）8:00:00～8:21:15第4組（122428）（252524）8:21:15～8:53:00第8組（113843）（373737）8:53:00～9:35:15第9組（212239）（383838)9:35:15～10:17:30第12組(13148)(414141)10:17:30～11:10:15第13組（464951）（424242）11:10:15～11:53:00下午第2組（273536）（202020）13:30:00～13:51:15第3組（8917）（202020）13:51:15～14:12:30第7組（262030）（363533）14:12:30～14:58:15第14組（47741）(434342)14:58:15～15:51:00第15組（61637）（444444）15:51:00～16:43:45第二天上午第6組（322918）(333230)8:00:00～8:31:45第10組（405310）（393838）8:31:45～9:14:00第11組（421934）（403939）9:14:00～9:46:15第16組（4350）（444445）9:46:15～10:39:00第17組（131415）（454545）10:39:00～11:31:45第19組（54）（252525）11:31:45～11:58:15下午第5組（25235）（302826）13:30:00～14:01:45第18組（24544）（455050）14:01:45～14:54:30第20組（33）（171717）14:54:30～15:12:36由結(jié)果可知整個測試所需時間段數(shù)最少為4段。由于已知所需時段的下限也是4，故以上結(jié)果為最優(yōu)方案。對于以上的方案，基于假設(shè)2、3、4，每個組最后一名離開的同學(xué)（在該組中等待時間最長）等待時間完全由分組情況決定，與該組進入次序無關(guān)。當(dāng)班級人數(shù)較多時，若不對同一個班級的學(xué)生分組會使得學(xué)生的等待時間較長。為了減少學(xué)生的等待時間，可以將同一個班級人數(shù)予以分組進入場地進行測試?，F(xiàn)在考慮對同一班級學(xué)生進行分組的情況。命題2：若每次同時進入場地的人數(shù)為20人為最優(yōu)人數(shù)（證明見附錄二），且這20人學(xué)號順序相連，則完成這20人全部的5項測試最少需要425秒，且可以達到425秒。證明：首先證明至少425秒。因為即使不考慮其他4項，只做完第五個項目，這20人就需要425秒（見表1）。其次證明可以達到425秒。我們假設(shè)這20人的學(xué)號次序為從1到20，則讓學(xué)號為1到5的學(xué)生測試第一臺臺階試驗機，與此同時學(xué)號為6到10的同學(xué)測試第二臺臺階實驗機，讓學(xué)號為11到15的同學(xué)測試肺活量，讓學(xué)號為16到20的學(xué)生測試立定跳遠，。如第一輪下圖所示：臺階測試1臺階測試2肺活量立定跳遠臺階測試1臺階測試2肺活量立定跳遠學(xué)號

12345學(xué)號678910學(xué)號1112131415學(xué)號1617181920這樣11～15號與16～20號同時測完（都用了105秒）。兩個交換測試項目每次同時測完(都用了105秒)，這兩輪共用了210秒，而測試臺階的兩個組由于要用215秒，因此第二輪進行臺階實驗測試的組還在繼續(xù)測試。過程如第二輪下圖所示：臺階測試1臺階測試2臺階測試1臺階測試2肺活量立定跳遠學(xué)號

12345學(xué)號678910學(xué)號1617181920學(xué)號11121314156～10，16～20這兩組在等待了5秒后有同時去做臺階實驗測試，由于學(xué)號剛好能銜接，不需要輸入學(xué)號時間。做完臺階實驗測試的兩組去做剩余項的測試。過程如下圖所示：臺階測試1臺階測試2肺活量立定跳遠臺階測試1臺階測試2肺活量立定跳遠學(xué)號

1617181920學(xué)號1112131415學(xué)號12345學(xué)號678910這樣4組恰好同時離開，總共所需時間為：215+210=425.這里指出，這4個組完成身高體重測試、握力測試均是利用間隙時間完成（討論類似于命題1）。若進入的20人來自兩個不同班級，但來自同一班級的學(xué)生學(xué)號相連。對于這種情況我們給出命題3：若進入20人來自兩個不同班級，但來自同一班級的學(xué)生學(xué)號相連。這時測試完這20人只需要430或435秒。命題3的證明類似于命題2，需要430還是435秒取決于兩個班學(xué)生的銜接位置。由命題2、3我們發(fā)現(xiàn)同時入場的20人至多來自兩個不同的班級，時間至多需要435秒。這樣將所有班級人數(shù)以20為單位劃分，不足的部分下一個班級的前幾位同學(xué)自動銜接。這樣遠問題等價于長度為435秒的小段去填上、下午的測試時間段，使得總時間段數(shù)最少。按照以上方法，我們將這56個班級