高中數學第一章常用邏輯用語11命題北師大版11

1.1命題學習目標1.理解命題的見解及命題的組成，會判斷一個命題的真假.2.理解四種命題及其關系，掌握互為逆否命題的等價關系及真假判斷.知識點一命題的見解思慮1給出以下語句：①若直線a∥b，則直線a和直線b無公共點；3＋6＝7；③偶函數的圖像對于y軸對稱；④5能被4整除.請你找出上述語句的特點.答案上述語句有兩個特點：①都是陳述句；②能夠判斷真假.梳理(1)定義能夠判斷真假、用文字或符號表述的語句叫作命題.分類①真命題：判斷為真的語句叫作真命題；②假命題：判斷為假的語句叫作假命題.知識點二命題的形式思慮1你能把“內錯角相等”寫成“若,，則,”的形式嗎？答案若兩個角為內錯角，則這兩個角相等.思慮2“內錯角相等”是命題嗎？若是是命題，是真命題仍是假命題？答案是命題，是假命題.梳理命題的形式：“若p，則q”，其中命題的條件是p，結論是q.由p能推出q，則為真命題.能舉一反例即可確定為假命題.知識點三四種命題的見解思慮給出以下四個命題：當x＝2時，x2－3x＋2＝0；若x2－3x＋2＝0，則x＝2；若x≠2，則x2－3x＋2≠0；若x2－3x＋2≠0，則x≠2.你能說出命題(1)與其他三個命題的條件與結論有什么關系嗎？答案命題(1)的條件和結論與命題(2)的條件和結論恰巧交換了.命題(1)的條件與結論恰巧是命題(3)條件的否認和結論的否認.命題(1)的條件和結論恰巧是命題(4)結論的否認和條件1的否認.梳理一般地，對于兩個命題，若是一個命題的條件與結論分別是另一個命題的結論和條件，那么把這兩個命題叫作互抗命題.若是是另一個命題條件的否認和結論的否認，那么把這兩個命題叫作互否命題.若是是另一個命題結論的否認和條件的否認，那么把這兩個命題叫作互為逆否命題.把第一個叫作原命題時，另三個可分別稱為原命題的抗命題、否命題、逆否命題.知識點四四種命題的關系及其真假判斷思慮1原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關系？原命題的抗命題與其逆否命題之間是什么關系？原命題的抗命題與其否命題呢？答案互逆、互否、互為逆否.思慮2若是原命題是真命題，它的抗命題是真命題嗎？它的否命題呢？它的逆否命題呢？答案原命題為真，其抗命題不用然為真，其否命題不用然為真，其逆否命題必然是真命題.梳理(1)四種命題的互相關系(2)在原命題的抗命題、否命題、逆否命題中，必然與原命題真假性相同的是逆否命題.(3)兩個命題互為抗命題或互為否命題時，它們的真假性沒相關系.種類一命題的見解例1以下語句：2是無量循環(huán)小數；(2)x2－3x＋2＝0；(3)當x＝4時，2x>0；(4)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(5)一個數不是合數就是素數；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函數的圖像太美了！(8)4是會合{1，2，3}中的元素.其中是命題的是________.(填序號)答案(1)(3)(5)(8)剖析此題主要察看命題的判斷，判斷依照：一是陳述句；二是看可否判斷真假.(1)是命題，能判斷真假；(2)不是命題，因為語句中含有變量x，在沒給變量x賦值前，我們無法判斷語句的真假；(3)是命題；(4)不是命題，因為并沒有對垂直于同一條直線的兩條直線可否平行作出判斷；(5)是命題；(6)不是命題；(7)不是命題；(8)是命題.故答案為(1)(3)(5)(8).反省與感悟一般地，判斷一個語句可否是命題，要先判斷這個語句可否是陳述句，再看能不能夠判斷真假.2其流程圖如圖：追蹤訓練1以下語句中，是命題的為________.①紅豆生南國；②作射線AB；③中國國土不能入侵?、墚攛≤1時，x2－3x＋2≤0.答案①④剖析②和③都不是陳述句，依照命題定義可知①④是命題.種類二四種命題及其互相關系命題角度1四種命題的見解例2寫出以下命題的抗命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.(1)若·<0，則方程2－＋＝0有實數根；mnmxxn(2)弦的垂直均分線經過圓心，且均分弦所對的??；(3)若m≤0或n≤0，則m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，則∠A>∠B.解(1)抗命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數根，則m·n<0，假命題.2否命題：若m·n≥0，則方程mx－x＋n＝0沒有實數根，假命題.2m·n≥0，真命題.逆否命題：若方程mx－x＋n＝0沒有實數根，則(2)抗命題：若一條直線經過圓心，且均分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直均分線，真命題.否命題：若一條直線不是弦的垂直均分線，則這條直線可是圓心或不均分弦所對的弧，真命題.逆否命題：若一條直線不經過圓心或不均分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直均分線，真命題.抗命題：若m＋n≤0，則m≤0或n≤0，真命題.否命題：若m>0且n>0，則m＋n>0，真命題.逆否命題：若m＋n>0，則m>0且n>0，假命題.抗命題：在△ABC中，若∠A>∠B，則a>b，真命題.否命題：在△ABC中，若a≤b，則∠A≤∠B，真命題.逆否命題：在△ABC中，若∠A≤∠B，則a≤b，真命題.反省與感悟四種命題的變換方法(1)交換原命題的條件和結論，所得命題是原命題的抗命題.(2)同時否認原命題的條件和結論，所得命題是原命題的否命題.3(3)交換原命題的條件和結論，而且同時否認，所得命題是原命題的逆否命題.追蹤訓練2命題“若函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數，則loga2<0”的逆否命題是()A.若loga2<0，則函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內不是減函數B.若loga2≥0，則函數f(x)＝loga(>0，≠1)在其定義域內不是減函數xaaC.若loga2<0，則函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數D.若loga2≥0，則函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內是減函數答案B剖析直接依照逆否命題的定義，將其條件與結論進行否認，再交換，值得注意的是“是減函數”的否認不能夠寫成“是增函數”，而應寫成不是減函數.命題角度2四種命題的互相關系例3若命題p：“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”的否命題為q，命題q的抗命題為r，則r與p的抗命題的關系是()互為抗命題互為否命題互為逆否命題同一命題答案B剖析已知命題p：若＋＝0，則x，y互為相反數.xy命題p的否命題q為：若x＋y≠0，則x，y不互為相反數，命題q的抗命題r為：若x，y不互為相反數，則x＋y≠0，∴r是p的逆否命題，∴r是p的抗命題的否命題，應選B.反省與感悟(1)判斷四種命題之間四種關系的兩種方法①利用四種命題的定義判斷；②巧用“逆、否”兩字進行判斷，如“抗命題”與“逆否命題”中不相同有“否”一個字，是互否關系；而“抗命題”與“否命題”中不相同有“逆、否”二字，其關系為逆否關系.(2)要判斷四種命題的真假：第一，要熟悉四種命題的互相關系，注意它們之間的互相性；其次，利用其他知識判斷真假時，必然要對相關知識嫻熟掌握.追蹤訓練3有以下四個命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”的否命題；②一個實數不是正數就是負數；③“若x≤－3，則x2－x－6>0”的否命題；④“同位角相等”的抗命題.4其中真命題的個數是________.答案1剖析①“若x＋y≠0，則x，y不是相反數”，是真命題.②實數0既不是正數，也不是負數，因此原命題是假命題.③“若x>－3，則x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命題.④“相等的角是同位角”，是假命題.種類三等價命題的應用例4判斷命題“已知a，x為實數，若對于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假.解方法一原命題的逆否命題：已知a，x為實數，若a<1，則對于x的不等式x2＋(2a＋x＋a2＋2≤0的解集為?，判斷以下：拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的張口向上，令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，則＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因為a<1，因此4a－7<0，即對于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為?.故此命題為真命題.方法二利用原命題的真假去判斷逆否命題的真假.因為對于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，因此(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4－7≥0，解得≥7≥1，aa4因此原命題為真，故其逆否命題為真.引申研究227判斷命題“已知a，x為實數，若對于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2>0的解集為R，則a<4”的逆否命題的真假.解先判斷原命題的真假以下：因為a，x為實數，對于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集為R，且拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的張口向上，因此＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，7因此a<4.5因此原命題是真命題.因為互為逆否命題的兩個命題同真同假，因此原命題的逆否命題為真命題.反省與感悟因為原命題和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的兩個命題擁有等價性，因此我們在直接證明某一個命題為真命題有困難時，能夠經過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題.追蹤訓練4證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1.證明“若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1”的逆否命題為“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋14b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋10.∴命題“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”為真命題.由原命題與逆否命題擁有相同的真假性可知，結論正確.1.以下語句是命題的是()A.2014是一個大數若兩條直線平行，則這兩條直線沒有公共點對數函數是增函數嗎a≤15答案B剖析A、D不能夠判斷真假，不是命題；B能夠判斷真假而且是陳述句，是命題；C是疑問句，不是命題.2.命題“垂直于同一條直線的兩個平面平行”的條件是()兩個平面一條直線垂直兩個平面垂直于同一條直線答案D剖析只需分清命題中的條件和結論即可.3.命題“若f(x)是奇函數，則f(－x)是奇函數”的否命題是()A.若f(x)是偶函數，則f(－x)是偶函數6B.若f(x)不是奇函數，則f(－x)不是奇函數C.若f(－x)是奇函數，則f(x)是奇函數D.若f(－x)不是奇函數，則f(x)不是奇函數答案B剖析否命題是既否認條件又否認結論.因此否命題應為“若f(x)不是奇函數，則f(－x)不是奇函數”.命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b，c∈R)”與它的抗命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為()A.0B.2C.3D.4答案B剖析命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命題，則其逆否命題是假命題.該命題的抗命題為“若ac2>bc2，則a>b(a，b，c∈R)”是真命題，則其否命題是真命題.故選B.給出以下命題：①“若x2＋y2≠0，則x、y不全為零”的否命題；②“正多邊形都相像”的抗命題；③“若>0，則x2＋－＝0有實根”的逆否命題.mxm其中為真命題的是________.答案①③剖析①否命題是“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”，真命題.②抗命題是“若兩個多邊形相像，則這兩個多邊形為正多邊形”，假命題.③∵＝1＋4m，當m>0時，>0，∴x2＋x－m＝0有實根，即原命題為真.∴逆否命題為真.能夠判斷真假的陳述句是命題，命題的條件與結論之間屬于因果關系，真命題能夠給出證明，假命題只需舉出一個反例即可.2.任何命題都是由條件和結論組成的，能夠寫成“若p，則q”的形式.含有大前提的命題寫成“若p，則q”的形式時，大前提應保持不變.寫四種命題時，能夠按以下步驟進行：找出命題的條件p和結論q；寫出條件p的否認和結論q的否認；依照四種命題的構造寫出所有命題.4.判斷命題的真假能夠依照互為逆否的命題真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎.7分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.以下語句中，不能夠成為命題的是()A.5>12x>0已知a、b是平面向量，若a⊥b，則a·b＝0三角形的三條中線交于一點答案B剖析A是假命題，C、D是真命題，B中含變量x，未指定x的取值范圍，無法判斷真假，故不是命題.2.以下說法正確的選項是()命題“直角相等”的條件和結論分別是“直角”和“相等”語句“最高氣溫30℃時我就開空調”不是命題命題“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題語句“當a>4時，方程x2－4x＋a＝0有實根”是假命題答案D剖析對于A，改寫成“若，則”的形式應為“若有兩個角是直角，則這兩個角相等”；pqB所給語句是命題；C的反例能夠是“用邊長為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來說明.應選D.3.已知命題“若ab≤0，則≤0或≤0”，則以下結論正確的選項是()abA.真命題，否命題：“若ab>0，則a>0或b>0”B.真命題，否命題：“若ab>0，則a>0且b>0”C.假命題，否命題：“若>0，則>0或b>0”abaD.假命題，否命題：“若ab>0，則a>0且b>0”答案B剖析“若a>0且>0，則>0”是真命題，又“若>0且b>0，則>0”是“若≤0，babaabab則a≤0或b≤0”的逆否命題，故原命題為真命題.已知命題的否命題是“若ab>0，則a>0且b>0”.4.以下命題中為真命題的是()A.命題“若x>2016，則x>0”的抗命題B.命題“若xy＝0，則x＝0或y＝0”的逆否命題C.命題“若x2＋x－2＝0，則x＝1”D.命題“若x2≥1，則x≥1”的逆否命題8答案B剖析A選項，“若x>2016，則x>0”的抗命題為“若x>0，則x>2016”是假命題；B選項，“若xy＝0，則x＝0或y＝0”的逆否命題為“若x≠0且y≠0，則xy≠0”是真命題；C選項，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命題；D選項，“若x2≥1，則x≥1”是假命題，故其逆否命題是假命題.5.若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關系是()A.互抗命題B.互否命題C.互為逆否命題D.以上都不正確答案A已知命題“若a，b，c成等比數列，則b2＝ac”，在它的抗命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數是()A.0B.1C.2D.3答案B剖析命題“若a，b，c成等比數列，則b2＝ac”是真命題，故其逆否命題是真命題.該命題的抗命題為“若b2＝ac，則a，b，c成等比數列”是假命題，故其否命題也是假命題，應選B.以下命題：(1)若“a2<b2，則a<b”的抗命題；(2)“全等三角形面積相等”的否命題；(3)“若a≥0，則2－2ax＋＋3>0的解集為R”的逆否命題；(4)“若3(x≠0)為有理數，axax則x為無理數”.其中正確的命題是()A.(3)(4)B.(1)(3)C.(1)(2)D.(2)(4)答案A剖析對于(1)，抗命題是“若a<b，則a2<b2”，易知是假命題；對于(2)，否命題是“若兩個三角形不全等，則這兩個三角形的面積不相等”，易知是假命題；對于(3)，結論建立的條件是a＝0或a>0，22－4a＋3aa故a≥0，原命題與其逆否命題真假性相同，因此(3)正確；對于(4)，若x為有理數，則3x必為無理數，因為3為有理數，故x為無理數，則(4)正x確，應選A.二、填空題8.已知命題：線段的垂直均分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是________________________________________________，9是________________________________________________________________________.答案一個點在線段的垂直均分線上這個點到線段的兩個端點的距離相等已知命題p的抗命題是“若實數a，b知足a＝1且b＝2，則a＋b<4”，則命題p的否命題是__________________________________.答案若實數，b知足a＋≥4，則a≠1或b≠2ab剖析由命題p的抗命題與其否命題互為逆否命題可得.在命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的張口向下，則{