淺談行列式在平面幾何中的應(yīng)用

青海民族大學(xué)畢業(yè)論文淺談行列式在平面幾何中的應(yīng)用摘要摘要:本文是根據(jù)行列式在解析幾何中的應(yīng)用與特點進行的相關(guān)討論與探究。借助行列式在解決平面幾何中的共點、共線、方程互化等相關(guān)問題的同時，從而把握了行列式在解析幾何中應(yīng)用的優(yōu)點。通過分析研究，歸納總結(jié)出了行列式對于研究解析幾何中的重要意義。

關(guān)鍵詞:

行列式，

解析幾何，

平面幾何，代數(shù)AbstractThedeterminantintheapplicationofplanegeometryAbstract:Thisarticleisbasedonthecharacteristicsofdeterminantintheapplicationofanalyticgeometryandtherelateddiscussionandexploration,withthehelpofdeterminantinsolvingtherelatedproblemsinplanegeometry,andintroducestheapplicationofdeterminantinanalyticgeometry.Throughanalysisandresearch,theauthorsummarizesthesignificanceofdeterminantinthestudyofanalyticgeometry.Keywords:determinant,analyticgeometry,planegeometry,algebra.引言行列式的概念最初是伴隨著線性方程組的求解而發(fā)展起來的。行列式的提出一般可以追隨到十七世紀(jì)，而最初的雛形是由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和以及德國的數(shù)學(xué)家戈特弗里德萊布尼茨各自獨立的得出，在時間上大致相同。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和于1683年寫的一部名為“解伏題之法”的著作，意為“行列式問題的解決方法”，書中對行列式的概念以及它的展開已經(jīng)有非常清楚的敘述。在歐洲，第一個提出行列式概念德國數(shù)學(xué)家，也就是微積分學(xué)奠基人之一——萊布尼茨。

另外，在1545年，卡當(dāng)?shù)闹鳌洞笮g(shù)》中也給出了一種關(guān)于解兩個一次方程的方法。而這種方法在后來就演變成了行列式。行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式，它作為基本的數(shù)學(xué)工具，無論是在幾何、線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中，它都有著極其重要的應(yīng)用。

在解析幾何中，有很多問題的解決都需要用到高等代數(shù)中的行列式的知識，行列式就是解決解析幾何問題的重要橋梁。因此行列式與矩陣得知識可以幫助我們更加深入和廣泛地研究解析幾何的問題。

行列式的有關(guān)定義定義1.1n級行列式等于所有取自不同行不同列的幾個元素的乘積（1）的代數(shù)和，這里是1,2，...，n的一個排列，每一項（1）都按下列規(guī)則帶有符號：當(dāng)時偶排列時，（1）帶有正號；當(dāng)是奇排列時，（1）帶有負號。這一定義可以寫成=，其中表示對所有n級排列求和。定義1.2在行列式中劃去元素所在的第i行與第j列，剩下的個元素按原來的排法構(gòu)成一個n-1級的行列式稱為元素的余子式兩向量共線問題定理2.1=0是經(jīng)過不同兩點P(,y),P()的直線的方程。證明：由行列式的定義知=eq\o\ac(○,1)而由解析幾何知識，知過兩點P(,y),P()的直線的方程為，化簡即eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,2)的兩邊同時消去，并將左式移到右邊，得與一式相同。命題得證。兩向量共線問題定理2.2設(shè)為兩不共線的向量，證明向量共線的充要條件是=0證：由于兩向量共線的充要條件是存在不全為零的數(shù)使即因為為兩不共線的向量，也就是兩向量線性無關(guān).所以又因為不全為零，從而得向量與共線的充要條件為=03.三向量共面問題定理3.1三向量，，共面的充要條件是＝=0證：由于=++根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示法，得==++=通過研究混合積我們知道三向量的混合積最終可以表示為一個行列式，要說明三向量共面，我們只需再證明它們的坐標(biāo)構(gòu)成的行列式的值為零.由于三向量共面的充要條件是存在不全為0的數(shù)使得，=0由此可得，①②③因為不全為零，所以即，三向量共面的充要條件是＝定理3.2平面上三點(,y)，（)，共線的充要條件是=0。證明：可利用定理：三頂點為(,y)，（)，的三角形面積S=，在同一平面內(nèi)，若三點共線則無法構(gòu)成三角形，故S=0?？傻媒Y(jié)論三點共線的充要條件是=0。4.三直線共點推論4.1方程，，表示三直線共點的必要條件是=0證明:設(shè)直線方程因為與的交點坐標(biāo)可由解得：，，若與，共點,則與的交點坐標(biāo)滿足方程。所以，，即=0，推論4.2雙曲線的一條漸近線和經(jīng)過焦點而垂直于這條漸近線的直線以及與這焦點相應(yīng)的準(zhǔn)線三線必共點。證明：設(shè)雙曲線，它的一條漸近線為，則經(jīng)過焦點而垂直于的直線為，與焦點相應(yīng)的準(zhǔn)線為因為而且，以上三直線斜率互不相等，互不平行，必然相交。所以，以上三直線必相交于一點。5.兩直線在同一平面上的判定定理5.1直線與在同一平面上的充要條件是=0證：由通過的任意平面=0其中是不全為零的任意實數(shù)，而通過的任一平面為=0其中是不全為零的任意實數(shù)。因此兩直線在同一平面上的充要條件是存在不全為零的實數(shù)與使得以上兩平面表示一個相同的平面，那么就存在一個不為零的數(shù)因子，即化簡整理得所以因為不全為零，所以得=0而，因此兩直線共面的充要條件為=0即，=06.應(yīng)用行列式的知識計算距離定理6.1設(shè),則它們之間的距離計算公式是證：設(shè)兩異面直線與它們的公垂線的交點分別為,而分別為直線上的任意點，于是公垂線的長于是為兩異面直線的的距離，即,其中分別為兩異面直線上的已知點，而兩異面的方向向量與的向量積顯然平行于公垂線，所以是公垂線的一個方向向量，因此有如果用坐標(biāo)表示就是7.行列式知識在直線一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化中的應(yīng)用設(shè)有兩個平面與，存在如果,即方程組的系數(shù)行列式,,不全為零，那么平面與相交，它們的交線設(shè)為如果我們令為直線上一點，則直線的方向向量就是,,，于是,直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=8.運用行列式解決平面幾何的相關(guān)問題例1一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程解：因為直線的方向數(shù)為：：=-4:8:0=1：（-2）：0再設(shè)，解得，那么（0,4,1）為直線上的一點，所以直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為例2三直線共點求通過點且與兩直線，都相交的直線的方程。解：設(shè)所求直線的方向向量為,那么所求直線的方程可寫成因為都相交，而且過點，方向向量為，過點，方向向量為。所以有,即，即又上兩式的顯然又有，即，即所以所求直線的方程為例3借助行列式求平面幾何中通過定點的曲線方程三角形的頂點為A(3,3),B（-1，-5），C（-6,0），求它的AB邊的中線方程。解：因為AB邊的中點為（1，-1），C（-6,0），由定理1結(jié)論知AB邊的中線方程為=0，即所求中線方程為。例4借助行列式求平面上三點所圍成三角形的面積在以A（1,1），B（8,4），C（3,10）為頂點的三角形內(nèi)線一點P，使它與各頂點的連線構(gòu)成的三個三角形PAB,PBC,PCA的面積相等。解：設(shè)點P位為（x，y），則三角形PAB，PBC，PCA的各頂點都是按逆時針方向排列的，所以有：解得故所求的點是（4，5）。例5借助行列式解決平面幾何中的共線問題（1）過三點是否可以確定一個平面？解：由A，B，C三點在同一直線上，故不能確定一個平面。（2）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，求K的值。解：因為直線與和共點，所以，結(jié)論行列式是高等代數(shù)的一個重要內(nèi)容，對數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)具有重要的作用，為許多課程打下了基礎(chǔ)。而代數(shù)與幾何之間有許多相通之處，在行列式的學(xué)習(xí)中融入解析幾何思想，可以使代數(shù)更為直觀，方便掌握的同時可以更好地幫助我們解決在解析幾何中所遇到的困難。在學(xué)習(xí)解析幾何中，我們經(jīng)常遇到的一些幾何問題。如：求通過定點的曲線方程，求平面上的三點是否共線，求平面上三點所圍成三角形的面積等等。像這些問題一般我們都只是運用幾何的知識加以解答。但是，如果借助行列式來研究這些問題，可以更清楚而快捷的解決。通過上面幾個簡單的例題介紹，明白行列式在解析幾何中有著廣泛地應(yīng)用，它使得對幾何問題的討論變得簡潔明了，從而加深了代數(shù)與幾何之間的融入和理解?？傊?，隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展及其數(shù)學(xué)化的趨勢，行列式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用必將越來越廣泛。致謝通過這一階段的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，這意味著大學(xué)生活即將結(jié)束。非常感謝申世昌老師，以及班主任呂盛梅在我大學(xué)的最后學(xué)習(xí)階段——畢業(yè)論文階段給的指導(dǎo)，在本論文的寫作過程中，我的導(dǎo)師傾注了大量的心血，從最初的定題，到資料收集，到寫作、修改，到論文定稿，他們給了我耐心的指導(dǎo)和無私的幫助。為了指導(dǎo)我們的畢業(yè)論文，他們放棄了自己的休息時間，這種無私奉獻的敬業(yè)精神令人欽佩，在此我表示誠摯的謝意。同時，感謝所有任課老師和所有同學(xué)在這四年來給自己的指導(dǎo)和幫助，不僅教會了我專業(yè)知識，而且教會了我如何學(xué)習(xí)。正是由于他們，我才能在各方面取得進步，在此向他們表示我由衷的謝意，并祝所有的老師培養(yǎng)出越來越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下!參考文獻王仁發(fā)，高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：高等教育出版社。呂林根，許子道，解析幾何（第四版），高等教育出版社。鞏子坤，解析幾何[M]，西南師范大學(xué)出版社，2004。[1]呂林根，