生活中的優(yōu)化問題舉例（一） 教學(xué)設(shè)計

PAGEPAGE4§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（一）教學(xué)目標：使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力通過實際問題的最優(yōu)解決方案，體會可以運用所學(xué)知識合理安排使用資源，提高效率，減少浪費，從而達到節(jié)能減排的目的，樹立合理使用資源的思想。教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到如何合理使用相同資源使收益友最大的求利潤最大問題、如何為達到同樣的生產(chǎn)目標盡量少用原料的用料最省問題或使用原料的效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．學(xué)好優(yōu)化問題有重要的實際意義，如何做什么事我們都盡量少用原料，就可讓我們達到節(jié)能環(huán)保的作用。二．新課講授導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型三．典例分析例1．磁盤的最大存儲量問題計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．是不是越小，磁盤的存儲量越大？為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以，磁盤總存儲量×（1）它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大．（2）為求的最大值，計算．令，解得當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例2．汽油的使用效率何時最高我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題．通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系．從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題．解：因為這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最小．在此切點處速度約為90．因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為L．_x_x_60_60x_x_x_60_60xx解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由題意可知，當(dāng)x過小（接近0）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16000是最大值答：當(dāng)x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積．（后面同解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處．事實上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例6．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最?。拷猓涸O(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，從而h====2即h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最??？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．例7．一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b.解：由梯形面積公式，得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,∴S= ①∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=×2+b ②由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)=l′==0,∴h=,當(dāng)h<時，l′<0,h>時，l′>0.∴h=時，l取最小值，此時b=練習(xí)：有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元，【解】設(shè)水廠D點與乙城到岸的垂足B點之間的距離為x千米，總費用為y元，則CD＝．y＝500（50－x）＋700＝25000－500x＋700，y′＝－500＋700·(x2＋1600)·2x＝－500＋，令y′＝0，解得x＝．答：水廠距甲距離為50－千米時，總費用最省．【點評】當(dāng)要求的最大（?。┲档淖兞縴與幾個變量相關(guān)時，我們總是先設(shè)幾個變量中的一個為x，然后再根據(jù)條件x來表示其他變量，并寫出y的函數(shù)表達式f（x）．四．課堂練習(xí)1．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．（高為1.2m，最大容積）5．課本練習(xí)五．回顧總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)