平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式 教學(xué)設(shè)計(jì)

平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)：認(rèn)識二維柯西不等式的兩種形式：eq\o\ac(○,1)代數(shù)形式；eq\o\ac(○,2)向量形式。學(xué)會(huì)二維柯西不等式的兩種證明方法：eq\o\ac(○,1)代數(shù)方法；eq\o\ac(○,2)向量方法。了解一般形式的柯西不等式，并學(xué)會(huì)應(yīng)用及探究其證明過程。能力目標(biāo)：學(xué)會(huì)運(yùn)用柯西不等式解決一些簡單問題。學(xué)會(huì)運(yùn)用柯西不等式證明不等式。培養(yǎng)學(xué)生知識遷移、自主探究能力。情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)：通過對柯西不等式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美妙，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：二維柯西不等式的兩種形式及其證明：eq\o\ac(○,1)代數(shù)形式；eq\o\ac(○,2)向量形式。探究一般的柯西不等式形式。教學(xué)難點(diǎn)：柯西不等式的證明思路。運(yùn)用柯西不等式解決問題。教學(xué)過程及內(nèi)容：單刀直入，通過基本不等式引出平方和與乘積的關(guān)系，直接引入主題：【師】：同學(xué)們，以前我們學(xué)習(xí)了基本不等式，它反映的是兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與乘積的大小關(guān)系，今天我們將學(xué)習(xí)一個(gè)著名的不等式——柯西不等式，它的形式上也含有平方和與乘積。下面我們先來看一下這個(gè)式子【生】：全神貫注地看黑板。【師】：在黑板展示：由于因此所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立?！編煛浚哼@就是柯西不等式中最簡單的形式，即它的二維形式。講解二維柯西不等式定理，并給出兩個(gè)相關(guān)推論：二維形式的柯西不等式：若都是實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立。推論一：推論二：練習(xí)鞏固新知識：例一：已知為實(shí)數(shù)，證明：【生】：動(dòng)筆演算。【講解】：利用柯西不等式，例二：求函數(shù)的最大值?！旧浚簞?dòng)筆演算?！痉治觥浚捍祟}首先想到利用倒數(shù)求解，此方法可行，但是過程相對繁瑣?！局v解】：函數(shù)的定義域?yàn)閇5,6]，觀察式子形式，可以用推論二。即。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值5。講解柯西不等式的向量形式：在平面直角坐標(biāo)系中，，則又而即當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號成立，即柯西不等式的向量形式：定理2:設(shè)是兩個(gè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)，使得時(shí)，等號成立。又稱之為Cauchy-Schwarz不等式。教學(xué)三角不等式：定理3：設(shè)，則.分析其幾何意義→如何利用柯西不等式證明平面三角不等式:定理4:(平面三角不等式)設(shè)a1,a2,b1,b2,c1,c2為實(shí)數(shù)，則，等號成立.定理5：設(shè)為平面向量，則.當(dāng)為非零向量時(shí)，上面不等式中等號成立.三維柯西不等式鞏固練習(xí)：例三：設(shè)為正數(shù)，求證：【生】：動(dòng)筆演算?！局v解】：利用柯西不等式，探究一般形式的柯西不等式：【師】：同學(xué)們類比一下二維和三維的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式會(huì)是怎么樣呢？【生】：踴躍回答：【師】：很好！同學(xué)們都很聰明，那么怎么證明這個(gè)一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么樣的條件下才能使得等號成立呢？這個(gè)問題留給同學(xué)們課后思考。（提示：用向量證明。）下面我們先來看一個(gè)例題：例四：設(shè)求證：【講解】：在不等式左端乘以因式，由柯西不等式，得于是小結(jié)：總結(jié)代數(shù)形式的柯西不等式和向量形式的柯西不等式，注意提醒學(xué)生等號成立的條件。板書設(shè)計(jì)：柯西不等式二維形式的柯西不等式：若都是實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立。推論一：推論二：柯西不等式的向量形式：設(shè)是兩個(gè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量