高中數(shù)學 選修第二冊 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用第10課時

5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值(一)懷寧中學

王永安

函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負的關系:

在某個區(qū)間(a,b)內，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞增;如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞減.溫故知新

建構概念探究1：觀察下圖，可以發(fā)現(xiàn)，t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大.那么，函數(shù)h(t)在此點的導數(shù)是多少呢?此點附近的圖象有什么特點?相應地，導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律?hOta單調遞增h'(a)＞0單調遞減h'(a)＜0h'(a)=0思考：對于一般的函數(shù)y=f(x),是否也有同樣的性質呢？溫故知新

建構概念x=a探究2：下圖中函數(shù)y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系?y=f(x)在這些點的導數(shù)值是多少?在這些點附近，該函數(shù)的導數(shù)的正負性有什么規(guī)律?yOxadefghcby=f(x)學習概念

深化理解探究2：下圖中函數(shù)y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系?y=f(x)在這些點的導數(shù)值是多少?在這些點附近，該函數(shù)的導數(shù)的正負性有什么規(guī)律?yOxaby=f(x)函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f'(a)=0;而且在點x=a附近的左側f'(x)<0，右側f'(x)>0.我們把a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.類似地，函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f'(b)=0;而且在點x=b附近的左側f'(x)>0，右側f'(x)<0.我們把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

學習概念

深化理解探究2：下圖中函數(shù)y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系?y=f(x)在這些點的導數(shù)值是多少?在這些點附近，該函數(shù)的導數(shù)的正負性有什么規(guī)律?yOxadefghcby=f(x)思考:1.函數(shù)的極大值是函數(shù)的最大值嗎?極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質。2.函數(shù)的極大值一定大于函數(shù)的極小值嗎?

學習概念

深化理解探究3：函數(shù)f(x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,試找函數(shù)y=f(x)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點?yax1Ox2x3x4x5x6by=f'(x)xx(a,x2)x2(x2,x4)x4(x4,x6)x6(x6,b)f'(x)+0-0f(x)極大值極小值+0+思考:導數(shù)值為0的點一定是極值點嗎?學習概念

深化理解應用鞏固內化遷移

a總結：利用導數(shù)求函數(shù)y=f(x)的極值的步驟:解方程f'(x)=0.當f(x0)=0時:(1)如果在x0附近的左側f'(x)>0，右側f'(x)<0，那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側f'(x)<0，右側f'(x)>0，那么f(x0)是極小值.應用鞏固內化遷移練習1：求函數(shù)f(x)=x3-27x的極值。應用鞏固內化遷移練習2：求函數(shù)f(x)=ax2-4x+1的極值.應用鞏固內化遷移本課小結（1）函數(shù)極值的概念；（2）求函數(shù)極值的步