高中數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線板塊一直線與橢圓講義(學(xué)生版)

學(xué)而思高中完滿講義：直線與圓錐曲線.板塊一.直線與橢圓(1).學(xué)生版1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（或會合）叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：①x2y21(ab0)，焦點(diǎn)是F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，且c2a22．22bab22②yx1(ab0)，焦點(diǎn)是F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)，且c2a2b2．a(chǎn)2b2223．橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程xy1(ab0)研究）：a2b2⑴范圍：a≤x≤a，b≤y≤b；⑵對稱性：以x軸、y軸為對稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心；⑶橢圓的極點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸的四個交點(diǎn)，如圖中的A1，A2，B1，B2；⑷長軸與短軸：焦點(diǎn)所在的對稱軸上，兩個極點(diǎn)間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的A1A2；另一對極點(diǎn)間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段B1B2．⑸橢圓的離心率：ec，焦距與長軸長之比，0e1，e越趨近于1，橢a圓越扁；反之，e越趨近于0，橢圓越趨近于圓．yB2y=bx=-aMx=aA1F1cOF2A2xabB1y=-b4．直線l：AxByC0與圓錐曲線C：f(x，y)0的地點(diǎn)關(guān)系：直線與圓錐曲線的地點(diǎn)關(guān)系可分為：訂交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線訂交于一點(diǎn)，但其實(shí)不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，但其實(shí)不相切．這三種位置關(guān)系的判斷條件可概括為：設(shè)直線l：AxByC0，圓錐曲線C：f(x，y)0，由AxByC0f(x，0y)消去y（或消去x）得：ax2bxc0．若a0，b24ac，0訂交；0相離；0相切．若a0，獲得一個一次方程：①C為雙曲線，則l與雙曲線的漸近線平行；②C為拋物線，則l與拋物線的對稱軸平行．因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．5．連接圓錐曲線上兩個點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦．求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，爾后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求；其他一種求法是若是直線的斜率為k，被圓錐曲線截得弦別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長2|AB|1k2x1x211y1y2．k兩根差公式：若是x1，x2知足一元二次方程：ax2bxc0，b2cb24ac則x1x2(x1x2)24x1x24aaa

AB兩頭點(diǎn)坐標(biāo)分公式為0）．a(chǎn)6．直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：①從方程的見解出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來進(jìn)行討論，這是用代數(shù)方法來解決幾何問題的基礎(chǔ)．要重視經(jīng)過設(shè)而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在合合時利用圖形的平面幾何性質(zhì)．②以向量為工具，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn)、弦長、角度有關(guān)的問題．典例分析22【例1】設(shè)橢圓C∶x2y21(ab0)過點(diǎn)M2，1，且左焦點(diǎn)為F12，0ab⑴求橢圓C的方程；⑵當(dāng)過點(diǎn)P4，1的動直線l與橢圓C訂交與兩不同樣點(diǎn)A，B時，在線段AB上取點(diǎn)uuuruuuruuuruuurQ，知足APQBAQPB，證明：點(diǎn)Q總在某定直線上．x2y21(ab0)的離心率為1，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸【例2】已知橢圓C:2b22a為半徑的圓與直線xy60相切．⑴求橢圓C的方程；⑵設(shè)P(4,0)，A，B是橢圓C上對于x軸對稱的隨意兩個不同樣的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸訂交于定點(diǎn)Q；uuuuruuur⑶在⑵的條件下，過點(diǎn)Q的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求OMON的取值范圍．【例3】已知橢圓

C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

x軸上，橢圓

C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為

3，最小值為

1．⑴求橢圓⑵若直線

C的標(biāo)準(zhǔn)方程；l:ykxm與橢圓

C訂交于

A，B兩點(diǎn)（

A，B不是左右極點(diǎn)），且以

AB為直徑的圓過橢圓

C的右極點(diǎn)，求證：直線

l

過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【例4】在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F13,0，F(xiàn)23,0的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，可是點(diǎn)A的直線l:ykxb與軌跡C交于不同樣的兩點(diǎn)P和Q．⑴求軌跡C的方程；uuuruuurl過定點(diǎn)．⑵當(dāng)APAQ0時，求k與b的關(guān)系，并證明直線【例5】在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)13,0，23,0的距離之和是4，點(diǎn)MFF的軌跡是C，直線l:ykx2與軌跡C交于不同樣的兩點(diǎn)P和Q．⑴求軌跡C的方程；uuuruuur0？若存在，求出k的值；若不存在，請說明原因．⑵可否存在常數(shù)k，OPOQx22yb0)的一個極點(diǎn)與拋物線C:x243y的焦點(diǎn)重合，【例6】設(shè)橢圓C:221(aabF1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e1，且過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與2橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．⑴求橢圓C的方程；uuuuruuurl的方程；若不存在，⑵可否存在直線l，使得OMON2．若存在，求出直線說明原因．⑶若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：|AB|2為定值．|MN|【例7】已知橢圓x2y21ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，短軸兩個端點(diǎn)為A、a2b2B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形．⑴求橢圓的方程；⑵若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)M知足MDCD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)

P．uuuuruuur證明：OMOP為定值．⑶在⑵的條件下，試問x軸上可否存在異于點(diǎn)

C的定點(diǎn)

Q，使得以

MP為直徑的圓恒過直線

DP、

MQ

的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)

Q的坐標(biāo)；若不存在，說明原因．【例8】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的uuuruuurr(3，1)共線．直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，OAOB與a⑴求橢圓的離心率；uuuuruuuruuurR)，證明22為定值．⑵設(shè)M為橢圓上隨意一點(diǎn)，且OMOA