2021年4月自學(xué)考試00020高等數(shù)學(xué)（一）詳細(xì)版試題答案

全國(guó)2021年4月高等教育自學(xué)考試高等數(shù)學(xué)(一)試題課程代碼：00020一、單項(xiàng)選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其選出。1、方程的解集為(B)A、 B、(-2，4)C、(-4，2) D、【解析】由可得：，即，所以，解得。2、函數(shù)的定義域?yàn)?D)A、 B、C、 D、【解析】定義域就是自變量的取值范圍。由題可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此自變量的取值范圍為。3、極限(A)A、 B、C、 D、【解析】由題得：，根據(jù)重要極限和極限運(yùn)算法則可知，4、已知時(shí)，是與等價(jià)的無(wú)窮小量，則(D)A、-2 B、-1C、1 D、2【解析】常見的等價(jià)無(wú)窮小有：當(dāng)時(shí)，，本題中，是與等價(jià)的無(wú)窮小量，設(shè)，則有，解得。5、在處可導(dǎo)的函數(shù)是(C)A、 B、C、 D、【解析】函數(shù)在處可導(dǎo)，可以得出，函數(shù)在處存在極限，且該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)都存在，且相等。A選項(xiàng)中，，極限不存在。B選項(xiàng)中，，極限不存在。C選項(xiàng)中，，極限存在，且有D選項(xiàng)中，，，左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)。6、微分(C)A、 B、C、 D、【解析】某函數(shù)的微分就是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后面再乘以一個(gè)，因此有7、曲線的水平漸近線為(A)A、 B、C、 D、【解析】如果，則稱直線是曲線在時(shí)的水平漸近線。本題中，，所以是曲線的水平漸近線。8、曲線(B)A、沒(méi)有拐點(diǎn) B、有一個(gè)拐點(diǎn)C、有2個(gè)拐點(diǎn) D、有三個(gè)拐點(diǎn)【解析】，，令，解得；當(dāng)，；當(dāng)，；在左右兩端異號(hào)，因此有一個(gè)拐點(diǎn)。9、若無(wú)窮限反常積分，則常數(shù)(D)A、0 B、1C、2 D、3【解析】若是的一個(gè)原函數(shù)，則。本題中，，解得。10、設(shè)函數(shù)，則全微分(C)A、 B、C、 D、【解析】本題中：所以：二、簡(jiǎn)單計(jì)算題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。11、求函數(shù)的反函數(shù)。解：因，所以、(3分)故該函數(shù)的反函數(shù)為、(4分)【解析】，把1移到左邊得：根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：若則故：，即；所以該函數(shù)的反函數(shù)為12、求極限。解：原極限(2分)(4分)【解析】分子分母同時(shí)除以，得到，由極限運(yùn)算法則：，可得：由常見等價(jià)無(wú)窮?。簳r(shí)，，所以故：13、設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)。解：因，(3分)所以(4分)【解析】由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：本題中，得：則有：所以14、求函數(shù)在閉區(qū)間[0，2]上的最值。解：，令，得在區(qū)間(0，2)內(nèi)的駐點(diǎn)(2分)比較函數(shù)值，，，得，、(4分)【解析】首先，求出在(0，2)內(nèi)和不存在的點(diǎn)；令，解得其次，計(jì)算函數(shù)值，，；，，最后，上述函數(shù)值最大者為最大值，最小者為最小值。故，15、求不定積分。解：元積分(2分)(4分)【解析】不定積分的基本性質(zhì)：本題中，三、計(jì)算題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。16、設(shè)函數(shù)，討論在處的連續(xù)性。解：因(3分)又，所以在處不連續(xù)、(5分)【解析】根據(jù)定理：在點(diǎn)連續(xù)本題中，由常見等價(jià)無(wú)窮小：時(shí)，，即有故因?yàn)?，所以在處不連續(xù)。17、已知函數(shù)，求。解：，(3分)(5分)【解析】由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則：本題中；根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的定義：；根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算：18、求極限。解：由洛必達(dá)法則，原極限(3分)(5分)【解析】本題中，，因此可以使用洛必達(dá)法則：根據(jù)微積分基本定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為：本題中，在上連續(xù)，因此有故：根據(jù)常見等價(jià)無(wú)窮小：時(shí)，，即有因此有19、計(jì)算定積分。解：(2分)(5分)【解析】根據(jù)牛頓—萊布尼茨公式：故：20、求微分方程的通解。解：分離變量，(2分)兩端積分得通解(5分)【解析】形如的微分方程成為可分離變量得微分方程。本題中，對(duì)原式分離變量得對(duì)兩邊不定積分，得微分方程的通解為：，其中，分別是，的一個(gè)原函數(shù)。故的通解為，即四、綜合題：本大題共4小題，共25分。21、(本小題6分)設(shè)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品公斤時(shí)銷售收入為(萬(wàn)元)，成本函數(shù)為(萬(wàn)元)，且產(chǎn)銷平衡，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)。解：總利潤(rùn)函數(shù)(2分)令，得唯一駐點(diǎn)(4分)又因?yàn)?，所以為的最大值點(diǎn)。故當(dāng)產(chǎn)量公斤時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元、(6分)(注：若用“由問(wèn)題的實(shí)際意義知最值存在且駐點(diǎn)唯一”論述最值亦可)【解析】處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先需要建立目標(biāo)函數(shù)(即欲求最值的那個(gè)函數(shù))，即本題中的利潤(rùn)函數(shù)。利潤(rùn)＝收入－成本(作為常識(shí)記憶)故利潤(rùn)函數(shù)為令，即，得唯一駐點(diǎn)此時(shí)需要進(jìn)一步判斷駐點(diǎn)是最大值還是最小值，因此計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)的正負(fù)，大于零為最小值，小于零為最大值。，因此為的最大值點(diǎn)。22、(本小題6分)設(shè)曲線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形為D，如圖所示，求：(1)D的面積A。(2)D繞軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積。解：(1)(3分)(2)(6分)【解析】(1)由連續(xù)曲線()以及直線，和軸所圍成的平面圖形的面積為本題中，，，故有：(2)由連續(xù)曲線以及直線，和軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為故有：23、(本小題6分)設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)。解：設(shè)(1分)則，，(4分)于是，(6分)【解析】由方程所確定的二元隱函數(shù)，如果函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，，，且，則：，本題中，(把之外的其他作為常數(shù))；(把之外的其他作為常數(shù))；(把之外的其他作為常數(shù))；因此，，。24