高考數(shù)學專題：空間向量與立體幾何(含解析)

立體幾何中的向量方法1.（2021年高考（重慶理））設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,和,且長為的棱與長為的棱異面,則的取值范圍是 （）A．B．C．D．[解析]以O為原點,分別以OB、OC、OA所在直線為x、y、z軸,則,A,2.（2021年高考（陜西理））如圖,在空間直角坐標系中有直三棱柱,,則直線與直線夾角的余弦值為 （）A．B．C．D．解析:不妨設,,,直線與直線夾角為銳角,所以余弦值為,選A.3.（2021年高考（天津理））如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,,,.(Ⅰ)證明丄;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)設E為棱上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為,求AE的長.【命題意圖】本小題主要考查空間兩條直線的位置關系,二面角、異面直線所成的角,直線與平面垂直等基礎知識,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.方法一:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（2），設平面的法向量則取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設；則，即方法二:(1)證明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.(2)解:如圖,作于點,連接,由,可得平面.因此,,從而為二面角的平面角.在中,,由此得,由(1)知,故在中,,因此,所以二面角的正弦值為.4.（2021年高考（新課標理））如圖,直三棱柱中,,是棱的中點,(1)證明:(2)求二面角的大小.第一問省略第二問：如圖建系:A(0,0,0),P(0,0,),M(,,0),N(,0,0),C(,3,0).設Q(x,y,z),則.∵,∴.由,得:.即:.對于平面AMN:設其法向量為.∵.則.∴.同理對于平面AMN得其法向量為.記所求二面角A—MN—Q的平面角大小為,則.∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為.5.（2021年安徽）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。（Ⅰ）證明直線∥；（II）求棱錐F—OBED的體積。此題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關系，空間直線平行的證明，多面體體積的計算等基本知識，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力.（I）（綜合法）證明：設G是線段DA與EB延長線的交點.由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以=∥，OG=OD=2，=又由于G和都在線段DA的延長線上，所以G與重合.==在△GED和△GFD中，由=∥和OC∥，可知B和C分別是GE和GF的中點，所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF.===（向量法）過點F作，交AD于點Q，連QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q為坐標原點，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標系.由條件知則有所以即得BC∥EF.（II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是邊長為2的正三角形，故所以過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F—OBED的高，且FQ=，所以6.（2021年北京）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求證：平面（Ⅱ）若求與所成角的余弦值；（Ⅲ）當平面與平面垂直時，求的長.證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因為PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）設AC∩BD=O.因為∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O—xyz，則P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.所以設PB與AC所成角為，則.（Ⅲ）由（Ⅱ）知設P（0，－，t）（t>0），則設平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量因為平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即解得所以PA=7.（2021年福建）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；（II）設AB=AP．（i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長；（ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由。分析：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據(jù)能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分14分。解法一：（I）因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A—xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于點E，則在中，DE=，設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）設平面PCD的法向量為，由，，得取，得平面PCD的一個法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因為AD），所以（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，設G（0，m，0）（其中）則，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化簡得（3）由于方程（3）沒有實數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，C，D的距離都相等。從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A—xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于E，則。在平面ABCD內(nèi)，作CE//AB交AD于點E，則在中，DE=，設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，設平面PCD的法向量為，由，，得取，得平面PCD的一個法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因為AD），所以（ii）假設在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等，由GC=CD，得，從而，即設，這與GB=GD矛盾。所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等。8.（2021年廣東）如圖5．在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分別是BC,PC的中點．（1）證明：AD平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．法一：（1）證明：取AD中點G，連接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG又PB//EF，得，而DE//GB得ADDE，又，所以AD平面DEF。（2），為二面角P—AD—B的平面角，在在法二：（1）取AD中點為G，因為又為等邊三角形，因此，，從而平面PBG。延長BG到O且使得POOB，又平面PBG，POAD，所以PO平面ABCD。以O為坐標原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系。設由于得平面DEF。（2）取平面ABD的法向量設平面PAD的法向量由取

論大學生寫作能力寫作能力是對自己所積累的信息進行選擇、提取、加工、改造并將之形成為書面文字的能力。積累是寫作的基礎，積累越厚實，寫作就越有基礎，文章就能根深葉茂開奇葩。沒有積累，胸無點墨，怎么也不會寫出作文來的。寫作能力是每個大學生必須具備的能力。從目前高校整體情況上看，大學生的寫作能力較為欠缺。一、大學生應用文寫作能力的定義那么，大學生的寫作能力究竟是指什么呢？葉圣陶先生曾經(jīng)說過，“大學畢業(yè)生不一定能寫小說詩歌，但是一定要寫工作和生活中實用的文章，而且非寫得既通順又扎實不可?！睂τ诖髮W生的寫作能力應包含什么，可能有多種理解，但從葉圣陶先生的談話中，我認為：大學生寫作能力應包括應用寫作能力和文學寫作能力，而前者是必須的，后者是“不一定”要具備，能具備則更好。眾所周知，對于大學生來說，是要寫畢業(yè)論文的，我認為寫作論文的能力可以包含在應用寫作能力之中。大學生寫作能力的體現(xiàn)，也往往是在撰寫畢業(yè)論文中集中體現(xiàn)出來的。本科畢業(yè)論文無論是對于學生個人還是對于院系和學校來說，都是十分重要的。如何提高本科畢業(yè)論文的質(zhì)量和水平，就成為教育行政部門和高校都很重視的一個重要課題。如何提高大學生的寫作能力的問題必須得到社會的廣泛關注，并且提出對策去實施解決。二、造成大學生應用文寫作困境的原因：（一）大學寫作課開設結構不合理。就目前中國多數(shù)高校的學科設置來看，除了中文專業(yè)會系統(tǒng)開設寫作的系列課程外，其他專業(yè)的學生都只開設了普及性的《大學語文》課。學生寫作能力的提高是一項艱巨復雜的任務，而我們的課程設置僅把這一任務交給了大學語文教師，可大學語文教師既要在有限課時時間內(nèi)普及相關經(jīng)典名著知識，又要適度提高學生的鑒賞能力，且要教會學生寫作規(guī)律并提高寫作能力，任務之重實難完成。（二）對實用寫作的普遍性不重視?！按髮W語文”教育已經(jīng)被嚴重地“邊緣化”。目前對中國語文的態(tài)度淡漠，而是呈現(xiàn)出全民學英語的大好勢頭。中小學如此，大學更是如此。對我們的母語中國語文，在大學反而被漠視，沒有相關的課程的設置，沒有系統(tǒng)的學習實踐訓練。這其實是國人的一種偏見。應用寫作有它自身的規(guī)律和方法。一個人學問很大，會寫小說、詩歌、戲劇等，但如果不曉得應用文寫作的特點和方法，他就寫不好應用文。（三）部分大學生學習態(tài)度不端正。很多非中文專業(yè)的大學生對寫作的學習和訓練都只是集中在《大學語文》這一門課上，大部分學生只愿意被動地接受大學語文老師所講授的文學經(jīng)典故事，而對于需要學生動手動腦去寫的作文，卻是盡可能應付差事，這樣勢必不能讓大學生的寫作水平有所提高。（四）教師的實踐性教學不強。學生寫作能力的提高是一項艱巨復雜的任務，但在教學中有不少教師過多注重理論知識，實踐性教學環(huán)節(jié)卻往往被忽視。理論講了一大堆，但是實踐卻幾乎沒有，訓練也少得可憐。閱讀與寫作都需要很強的實踐操作，學習理論固然必不可少，但是閱讀方法和寫作技巧的掌握才是最重要的。由于以上的原因，我們的大學生的寫作水平著實令人堪憂，那么如何走出這一困境，筆者提出一些建議，希望能對大學生寫作水平的提高有所幫助。三、提高大學生應用寫作能力的對策（一）把《應用寫作》課設置為大學生的必修課。在中國的每一所大學，《應用寫作》應該成為大學生的必修課。因為在這個被某些人形容為實用主義、功利主義甚囂塵上的時代，也是個人生存競爭最激烈的時代，人們比任何時代都更需要學會寫作實用性的文章，比如職場競爭中的求職信，生活中的財經(jīng)文書、法律文書等，以提高個人的生存競爭能力。（二）端正大學生的學習態(tài)度。首先，要讓大學生充分認識到實用寫作課的重要性，這門課關乎到他人生的每一個方面，諸如就職，求愛，理財，人際交往等，是他終生都需要使用的一些基礎性的知識，也是他必備的一項生存技能。其次，實用寫作有它自身的規(guī)律和方法。它不是你想怎樣寫都行的，它有嚴格的格式性的要求，所以需要系統(tǒng)的研究學習。最后，實用寫作課的實踐性非常強，所以學生們不能只學不練，并且要克服手懶的壞習慣，勤學勤練，為今后的工作生活打好基礎。（三）注重實踐課的訓練。要提高大學生的實用寫作能力，那么實踐寫作環(huán)節(jié)是必不可少的。要想使學員真正具備實用寫作能力，必須重視實用寫作訓練，力求使理論講授與寫作訓練互相緊扣進行。教師在授課過程中，應該把理論教學的部分適當壓縮，把更多的時間用來實踐訓練。在訓練之前，可以通過對優(yōu)秀案例的精講分析，讓學生掌握基本的寫作規(guī)律，然后趁熱打鐵，讓學生立即開始寫作訓練，最后通過大家互評，教師點評的方式，起到舉一反三的作用，讓學生知道應該如何寫，還要寫出來，并且知道寫得怎么樣。此外，在教學上，教師也可以與學生一起探討如何學習，如《實用寫作》這門課程，如何上，怎樣上，都可以讓學生參與進來，讓學生編制一些案例，在課堂上與大家分享，一起討論。這樣，一方面調(diào)動大家的學習熱情，另一方面，又提高他們綜合分析能力。學生只有在實踐中才能真正掌握和把握實用寫作的技巧和方法。（四）大學寫作教師要加強自身能力的提高。要提高大學生的實用寫作能力，那么作為教練員的大學寫作教師就應該具備更高的實用寫作能力。大學寫作教師不僅要有深厚的文學