《等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式》導(dǎo)學(xué)案

《等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式》導(dǎo)學(xué)案Q情景引入ingjingyinru我們古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的問(wèn)題叫“出門(mén)望九堤”：“今有出門(mén)望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問(wèn)各有幾何？”上述問(wèn)題中的各種東西的數(shù)量構(gòu)成了怎樣的數(shù)列？X新知導(dǎo)學(xué)inzhidaoxue1．等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.2．等比數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式已知等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1,公比為q(qW0),填表：遞推公式通項(xiàng)公式a ，一-*=q(nN2)an—ia= .qn-i3.等比中項(xiàng)(1)如果三個(gè)數(shù)x,G,y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項(xiàng).⑵如果G是x和y的等比中項(xiàng)，那么G2=xy，即G=±、/X?.Y預(yù)習(xí)自測(cè)uxizice1.方程x2—5x+4=0的兩根的等比中項(xiàng)是(B)TOC\o"1-5"\h\z，5 ?。A.- B.+2乙C.土擊 D.2［解析］設(shè)方程的兩根為x「x2，由韋達(dá)定理，得xix2=4,???兩根的等比中項(xiàng)為±%工工=±2..下列說(shuō)法：①公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列；②b2=ac,則a,b,c成等比數(shù)列；③2b=a+c,則a,b,c成等差數(shù)列；④任意兩項(xiàng)都有等比中項(xiàng).正確的有(B)A3 B.③C.①③ D.②④［解析］公差為0的非零數(shù)列是等比數(shù)列，故①不正確，②中只有a, b,c都不為0才正確，④只有同號(hào)的兩項(xiàng)才有等比中項(xiàng)，???只有③正確.

.在等比數(shù)列｛*｝中，a=8,a=64,則%等于(C)A.16C.32B.16A.16C.32D.32或一32%=3口2=8X22=32.4.已知等比數(shù)列｛*｝中，%=3口2=8X22=32.4.已知等比數(shù)列｛*｝中，a=-2,［解析］設(shè)公比為5貝根=&3,%=-8,貝lj備=一2門(mén)或(一2)n.?一8 ， . ?c??Q2-q-4,??q=±2.一z...a=(—2)X2n-i=12n或a=(-2)X(―2)n-i=(-2)n.n5.若等比數(shù)列｛an｝滿足anan+1=16n,求公比q的值.［解析］ 由anan+］=16n,得a1a2=16,a2a3=I62,aa.??一=q2=16,a1a2.?.q=±4.又,.,&產(chǎn)2=02口=16＞0,...口＞0,；.口=4.H 互動(dòng)探究解疑udongtanjiujieyi命題方向1中等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例題1已知等比數(shù)列｛an｝,若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.［分析］(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有兩個(gè)待定系數(shù)a1和q,故需建立a1與q的兩個(gè)方程，組成方程組求解，因此只需將已知條件改寫(xiě)成a1與q的關(guān)系式即可.(2)由等比中項(xiàng)的定義知，a2是a(2)由等比中項(xiàng)的定義知，a2是a1與a3的等比中項(xiàng)，故可先由a1a2a3=8求得a2,再解關(guān)于a1與a3的方程組，即可獲解.&3=芋2,代入已知得，31+q+q2=7①???41一 .aq=2②11［解析］解法一:-a1+a1q+a1q2=7a1?a1q?a1q2=8由等比數(shù)列的定義知a2=a1q，即a11+q+q2=7a3q3=81由②得%=2,代入①得2q2-5q+2=0,q當(dāng)q=2時(shí)，a1=4,an=23-n..?.q=2,或q=2當(dāng)q=2時(shí)，a1=4,an=23-n.解法二：?.,aa=a2,；.aaa=a3=8,..a=2.13 2 123 2 2從而＜13 ，解之得a=1,a=4,或a=4,a=1,當(dāng)a=1時(shí)，q=2；當(dāng)aa1a3=4 13 13 1 1=4時(shí)，q=2.故an=2n-1,或an=23-n.『規(guī)律總結(jié)』求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一樣，運(yùn)用方程的思想，建立基本量的方程(或方程組)求解，在a1,an,n,q四個(gè)量中，已知三個(gè)可求另一個(gè).〔跟蹤練習(xí)1〕在等比數(shù)列｛a｝中，n(1)a4=2,a7=8,求an；(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.［解析］(1)設(shè)公比為q,由題意，得TOC\o"1-5"\h\z，aq3=2 ①《1 …aq6=8 ②1由①得q3=4，,q=3/4.??.a］q32TOC\o"1-5"\h\zI -^.\an=a1qn-1=2X43=23.(2)設(shè)公比為q,由題意，得，aq+aq4=18 ①《1 1 …&甘+&產(chǎn)5=9 ②②1由①得口=2,；雞=32.1、又an=1,..32X(2)n-1=1,即26-n=2o,；.n=6.命題方向2中等比數(shù)列的判定與證明例題2已知數(shù)列｛an｝滿足%=1,an+］=2an+1,bn=an+1(n￡N*).⑴求證｛bn｝是等比數(shù)列；(2)求｛a｝的通項(xiàng)公式.n［分析］(1)欲證｛b｝是等比數(shù)列，須證”為常數(shù)，又b=a+1,，b上=a上+1,故n b nn n＋1 n＋1只須將條件式變換為an+1+1與an+1的關(guān)系式即可獲證.(2)只要求出了出｝的通項(xiàng)公式，就可以求出｛a｝的通項(xiàng)公式.nn［解析］(1)證明：?.,an+1=2an+1,，an+1+1=2(an+1),即bn+］=2bn,?.?b=a+1=2W0..?.bW0,.?.J=2,???｛b｝是等比數(shù)列.11 n b nn(2)由(1)知｛bn｝是首項(xiàng)4=2,公比為2的等比數(shù)列，

TOC\o"1-5"\h\z.*.bn=2X2n-i=2n,即*+l=2n, 1.『規(guī)律總結(jié)』 判定數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法⑴定義法："=q（常數(shù)）或9=q（常數(shù)）（nN2）=｛a｝為等比數(shù)列.a nn n—1（2）等比中項(xiàng)法a2=a?a（aW0,n￡N*）=｛a｝為等比數(shù)列.n+1nn+2n n⑶通項(xiàng)法：an=a1qn-i（其中a1、q為非零常數(shù)，n￡N*）=｛an｝為等比數(shù)列U.〔跟蹤練習(xí)2〕數(shù)列｛an｝滿足a1=—1，且an=3an―1—2n+3(n￡N*,且nN2).(1)求a2,a3,并證明數(shù)列U｛an—n｝是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.n［解析］(1),.,&］=—1,a=3a1—2n+3,Aa2=3ai—2X2+3=—4,Aa3=3a2—2X3+3=—15.an+1—n+1 3a—2n+1+3-n+1a—n a—n3a3a—3n

n

a—n=3(n=1,2,3,又3—1=—2,???｛索一川是以一2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)歹1J.（2）由（1）知a—n=—2?3n—1,故a=n—2?3n—1.1,a2是巴和汽的等比中項(xiàng)，則數(shù)歹ij｛aj1,a2是巴和汽的等比中項(xiàng)，則數(shù)歹ij｛aj例題3等差數(shù)列｛a｝的公差不為零，首項(xiàng)a=n 1的前10項(xiàng)之和是（B）A.90B.100C.145A.90B.100C.145D.190［解析］設(shè)公差為d,由題意得空=%?1???a1=1,?..(1+d)2=1+4d,??.d2—2d=0,：dW0,?..d=2,0 ,10X9 皿3?.?S10=10X1+-X2=100，故選B.『規(guī)律總結(jié)』等比中項(xiàng)的應(yīng)用主要有兩點(diǎn)：①計(jì)算，與其它性質(zhì)綜合應(yīng)用，起到簡(jiǎn)化計(jì)算、提高解題速度的作用.②用來(lái)判斷或證明等比數(shù)列.〔跟蹤練習(xí)3〕在等比數(shù)列｛an｝中，a「a9是方程7x2—18x+7=0的兩個(gè)根，則a=1.［解析］?.q,a9是方程7x2—18x+7=0的兩個(gè)根，???&5?4=1.又a7是a5,a9的等比中項(xiàng)，.?.a2=a5?a9=1,；.a7=±1.a-a=1>0，Aa5>0，a9〉0，二?在等比數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，.??a〉0，..?a=1.Yihun易混易j示gshi忽視等比中項(xiàng)的符號(hào)致錯(cuò)例題4等比數(shù)列｛aj的前三項(xiàng)的和為168，&2—&5=42,求&5、a,的等比中項(xiàng).［錯(cuò)解］設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a,?%—&5=42，.??V1，由已知得《-a1+a1q+a1q2=168a1q—a1q4=42311+q+q2=168①a1q1—q3=42②V1—q3=(1—q)(1+q+q2),.由②除以①，得q(1—q)=4.::a5、a7的等比中項(xiàng)為a6，??.a5、［辨析］錯(cuò)誤的原因在于認(rèn)為a5co. v/1、c=96..a6=a1q5=96X(2)5=3.a7的等比中項(xiàng)為3.a的等比中項(xiàng)是a，忽略了同號(hào)兩數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)且互為相反數(shù).［正解］設(shè)該等比數(shù)列的公比為q首項(xiàng)為a1，：a2—a5=42，.，?qW1,由已知，得I31+&產(chǎn)+&甘=168a1q—a1q4=42311+q+q2=168①、a1q1—q3=42② ② 1?1—q3=(1—q)(1+q+q2)，??由①得q(1—q)=4,42——=96.24令G是a、a的等比中項(xiàng)，則應(yīng)有G2=aa=aq4?aq6=a2q10=962X

5 7 57 1 1 110=9,??.a5、a7的等比中項(xiàng)是±3.X學(xué)科核心素養(yǎng) 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題uekehexinsuyang例題5某人買(mǎi)了一輛價(jià)值13.5萬(wàn)元的新車(chē)，專(zhuān)家預(yù)測(cè)這種車(chē)每年按10%的速度貶值.⑴用一個(gè)式子表示第n(n￡N+)年這輛車(chē)的價(jià)值；⑵如果他打算用滿4年時(shí)賣(mài)掉這輛車(chē)，他大概能得到多少錢(qián)?［分析］根據(jù)題意，每年車(chē)的價(jià)值存在倍數(shù)關(guān)系，所以能建立等比數(shù)列模型來(lái)解決.［解析］(1)從第一年起，每年車(chē)的價(jià)值(萬(wàn)元)依次設(shè)為：a1,a2,a3,…，an,由題意，得%=13.5,a2=13.5(1—10%),%=13.5(1—10%)2,….由等比數(shù)列定義知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=13.5,公比q=(1—10%)=0.9,Aan=ai?qn—i=13.5X(0.9)n-i..?.第n年車(chē)的價(jià)值為an=13.5X(0.9)n-i萬(wàn)元.(2)當(dāng)他用滿4年時(shí)，車(chē)的價(jià)值為a5=13.5X(0.9)5-1=8.857.???用滿4年賣(mài)掉時(shí)，他大概能得8.857萬(wàn)元.『規(guī)律總結(jié)』解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般思路(1)建模：根據(jù)題設(shè)條件，建立數(shù)列模型：①分析實(shí)際問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征；②找出所含元素的數(shù)量關(guān)系；③確定為何種數(shù)列模型；(2)解模：利用相關(guān)的數(shù)列知識(shí)加以解決：①分清首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)等；②分清是an還是Sn問(wèn)題；③選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?3)還原：把數(shù)學(xué)問(wèn)題的解還原為實(shí)際問(wèn)題,針對(duì)實(shí)際問(wèn)題的約束條件合理修正,使其成為實(shí)際問(wèn)題的解．K課堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收etangdabiaoyanshou1.已知等比數(shù)列｛an｝滿足a1+a2=3,a2+a3=6,則a7等于(A)A．64 B．81C.128 D.243［解析］設(shè)等比數(shù)列的公比為q,*/a1+a2=3,a2+a3=q(a1+a2)=6,Aq=2.又ai+a2=a1+a1q=3,A3ai=3.Aa1=1,Aa7=26=64..在等比數(shù)列｛an｝中，a3+a4=4,a2=2,則公比q等于(B)A.—2 B.1或一2C.1 D.1或2［解析］,「在等比數(shù)列｛an｝中，a3+a4=4,a2=2,/.a3+a4=a2q+a2q2=2q+2q2=4,即q2+q—2=0.解得q=1或q=-2.故選B.TOC\o"1-5"\h\z.等比數(shù)列｛a｝中，a=9,a=1,公比q=2,則n=4.n 18n3 3192 2 8［解析］由an=a1qn-1，得3=8X(3)n-1,即(3)n-1=27，故n=4.A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.已知匕｝是等比數(shù)列，a=2,a=1,則公比q=(D)n 3 64

1A.一石乙C．2B．－2D．a(chǎn)iq2=2［解析］由條件得J 11A.一石乙C．2B．－2D．a(chǎn)iq2=2［解析］由條件得J 1〔aiq5=4?「『01qW0,；.q3=%,82.在等比數(shù)列｛an｝中，ai=j,q=2,則%與氣的等比中項(xiàng)是（B）A.±4B.4C.D.［解析］由題意,得「汽產(chǎn)）2-1，1&8=&苫=8*27=16,???%與氣的等比中項(xiàng)為a6=4.3.互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，a=（D）A.4C.－2c,a,b成等比數(shù)列，且a+3b+c=10,則B.2D.－4，2b=a+c解析］由題意知tbc ,消去a得4b2—5bc+C2=0，,.,bWc,...c=4b,；.a=—2b,代入a+3b+c=10中解得b=2,；.a=-4..等比數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)%=1,公比qW1,如果a/a2,a3依次是等差數(shù)列的第1、2、5項(xiàng)，則口為（B）A.2 B.3C.—3 D.3或一3［解析］設(shè)等差數(shù)列為｛bn｝,則U4='=1,b2=1+d,b5=1+4d,由題設(shè)（1+d）2=1abx（1+4d）,；.d=2或d=0（與qW1矛盾舍去），.，也;？，公比q=a=b=3.11.已知等比數(shù)列｛an｝的公比為q,若a2,a5的等差中項(xiàng)為4,a5,4的等差中項(xiàng)為8/，

則log：q的值為(A)A．B．A．C．－2 D．2［解析］由已知得“［解析］由已知得“2+@5=8@§+@8=16\f2Ja1q+a1q4=8Laiq4+a1q7=16^/2解得q解得q='\/2，，10叼口=10盯\；'2=1og2－1一=———og2－12 2.6．一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其任何項(xiàng)都是后面兩項(xiàng)的和，則其公比是(D)A．\'152B1TA．\'152B1TB.2C．D．\；5—1［解析］由已知得an=an+i+an+2,即a1qn-i=a1qn+a1qn+i,??.q2+q=1，解得q=一1±.’5巾 Xi'5—1乂q〉0,?\q=,乙、填空題［解析］a3=3同=3847.已知等比數(shù)列｛an｝中，a3=3,a0=384,則該數(shù)列的通項(xiàng)a=［解析］a3=3同=384a1q2=3，

a1q9=3843/.3/.q7=128,Aq=2,Aa1=4/.an=a1qn-1=3?2n-3.8已知等比數(shù)列前3項(xiàng)為2-4,1,則其第8項(xiàng)是一二會(huì)—.［解析］1 1 1［解析］??q=2，a2=a1q=2q=-4,1??.q=1??.q=-2,aq7=1X(-1)7=一1三、解答題9.在各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列｛an｝中，已知2*=3*+1，且％?&5=27,證明｛an｝是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式．［證明］V2an=3an+1,???9=2,故數(shù)列｛a｝是公比q=2的等比數(shù)列.an3 n 3又a2?a5=2p貝Ua1q?a甘=27，22即a2?(3)5=(3)3.由于數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，則a=—3.1232 2/.an=—2x(3)n—1=一(3)n—2.(2018—2019學(xué)年度山東菏澤一中高二月考)已知數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，an>0,a1=2,2a2＋a3=30.(1)求a；n(2)若數(shù)列｛bn｝滿足"+］="+*,”=%，求b5.［解析］(1)設(shè)公比為q，由題意得2al口+&y=30，.??4q+2q2=30，.?.q2+2q—15=0，.??q=3或一5.Van>0，Aq=3./.an=a1qn—1=2?3n—1.(2)Vb1=a2，Ab1=6.又bn+1=bn+an，Abn+1=bn+2^3n—1.“=4+2X30=6+2=8，b3=b2＋2x31=8＋6=14，b4=b3+2x32=14+18=32，b5=b4+2x33=32+54=86.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題.已知同｝是公比為q(qW1)的等比數(shù)列，an>0，m=a5+a6，k=a4+a7，則m與k的大小關(guān)系是(C)A.m>k B.m=kC.m<k D.m與k的大小隨q的值而變化［解析］m—k=(a5+a6)—(a4+a7)

=(a5-a4)-(a7-a6)=a4(q—1)—a6(q—1)=(q—1)(a4—a6)=(q—1)?a4?(1—q2)=—a4(1+q)(1—q)2<0(Va>0,qW1)..數(shù)列｛an｝是公差不為0的等差數(shù)列，且a1、a3、a7為等比數(shù)列｛bn｝的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列｛b｝的公比為(C)nTOC\o"1-5"\h\zA.g B.41C.2 D.-乙［解析］??匕1、a3、a7為等比數(shù)列｛bn｝中的連續(xù)三項(xiàng)，Aa2=a?a,設(shè)｛a｝的公差為d,則dW0,317 n.,.(a+2d)2=a(a+6d),；.a=2d,1 11 1；?公比q=K=;^=2,故選C.a12d.已知/a2,a3,…，a8為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比口/1,則(A)A.a1＋a8>a4＋a5B.a1＋a8<a4＋a5&1+&8=&4+&5a1+a8與a4+a5大小不定［解析］由條件知，(ai+a8)—(a4+a5)=ai(1+q7—q3—q4)=ai［(1—q3)+q4(q3—1)］=a1(1—q3)(1—q4)=a1(1—q)(1+q+q2)?(1—q2)(1+q2)=a1(1—q)2(1+q)(1+q2)(1+q+q2).Vq>0且qW1,a1>0,.(a1＋a8)—(a4＋a5)>0,.a1＋a8>a4＋a5..若正數(shù)a,b,c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)x>1時(shí)，logax,logbx,logcx(C)A.依次成等差數(shù)列 B.依次成等比數(shù)列C.各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等差數(shù)列C.各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D.各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等比數(shù)列［解析］十喘［解析］十喘x=loga+logc=log(ac)=logb2ac=2logb=

x2

=2logb=

x2

logbx1logx，1logbx，高成等差數(shù)列.c、填空題.在6和768之間插入6個(gè)數(shù)，使它們組成共8項(xiàng)的等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的第6項(xiàng)是192.［解析］由條件得，768=6Xq7,解得q=2..??a=6X25=192.6.某林場(chǎng)的樹(shù)木每年以25%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，則經(jīng)10年末的樹(shù)木總量是今年的—％倍.［解析］設(shè)這個(gè)林場(chǎng)今年的樹(shù)木總量是m,第n年末的樹(shù)木總量為an，則&_=*+*X25%=1.25an.則『=1.25,則數(shù)列｛a｝是公比q=1.25的等比數(shù)列.a nn貝Ua10=a1q9=1.259m.所以4=1.259.a1三、解答題.等比數(shù)列｛an｝中，已知3=2,a4=16.(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n(2)若a3、a5分別為等差數(shù)列｛bn｝的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.［解析］⑴設(shè)｛a｝的公比為q,n