《高等數(shù)學(xué)》第十二章復(fù)習(xí)要點(diǎn)

學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載第十二章微分方程復(fù)習(xí)要點(diǎn)：一、了解微分方程的基本概念微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程。微分方程的階：方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)。微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)。通解:含有與微分方程階數(shù)相同個(gè)數(shù)的任意常數(shù)微分方程的解。特解：滿足初始條件的微分方程的解。二、會(huì)解一階微分方程.可分離變量的微分方程定義：若一階微分方程可整理成：g(y)dy=f(x)dx,則稱該微分方程為可分離變量的微分方程。解法：方程兩端同時(shí)求積分，即Jg(y)dy=Jf(x)dx.齊次微分方程定義：若一階微分方程可整理成：y'=T(y)，則稱其為齊次微分方程。x解法：做變量代換，令u=y，即y=ux，則y'=u+xu'將原方程化為可分x離變量的微分方程：一1—du=-dx，求得其通解后再把u=y代回即可得原叭u)-uxx微分方程的通解。.一階線性微分方程定義：形如y'+P(x)y=Q(x)的方程稱一階線性微分方程。求解公式：y=e-JP(x)dx[JQ(x)eJP(x)dxdx+C].全微分方程定義：若微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的左端恰好是某二元函數(shù)u(x,y)的全微分，即P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)則稱該微分方程為全微分方程。判斷方法：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的是全微分方程OQ-=—d.xdy全微分方程通解為：u(x,y)=C

二、會(huì)解高階微分方程.(n)=f(%)型的微分方程特點(diǎn)：該方程中不顯含y,y〃,???》(n-1)解法：連續(xù)積分n次，得其通解>=3%,C，。，…。)12 n.〃=f(%,y')型的微分方程特點(diǎn)：該方程中不顯含未知函數(shù)y解法：令y'=p(%)，將方程化為：p'=f(%,p)，這是一階微分方程，解之得其通解p=叭%,C)，代回y'=p(%)得y?叭%,C)，又是一階微分方程，方程11兩端同時(shí)求積分即可得原方程的通解y〃=f(y,y')型的微分方程特點(diǎn)：該方程中不顯含自變量%解法：令y'=p(y)，則y〃=p(y)dp，原方程化為:pdp=f(y,p)，這是一dy dy階微分方程，解之得其通解為p=叭y,C)，代回y'=p(y)得y，=叭y,C)，這是11一階可分離變量的微分方程，再解之就可得原方程的通解。.二階常系數(shù)線性齊次微分方程重點(diǎn)：會(huì)求形如y〃+pyr+qy=P(重點(diǎn)：會(huì)求形如y〃+pyr+qy=P(%)e大%的通解解法：特征方程法，其通解如下表：特征方程：r2+pr+q=0y"+py'+qy=0的通解有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根r,r1 2y=Ceri%+Cer2%1 2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根ry=(C+C%)er%1 2有一對(duì)共軛復(fù)根a±iPy=ea%(CcosP%+CsinP%)1 25.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程m定理：微分方程y〃+py'+qy=P(%)e版的通解y=Y+y*，其中Y是對(duì)應(yīng)齊m次方程y"+py'+qy=0的通解，y*是原方程y〃+pyr+qy=P(%)e大x的一個(gè)特m解。y*=xkQ(x)e大%=xk(a+axH Faxm)e標(biāo)，其中a,a，…，a為待定常數(shù)，m 0 1 m 0 1 mk取0 1當(dāng)九不是特征方程r2+pr+q=0的根，k=0當(dāng)九是特征方程r2+pr+q=0的單根，k=1當(dāng)九是特征方程r2+pr+q=0的二重根，k=2求y"+pyr+qy=p(x)e版的通解步驟為：m()先求對(duì)應(yīng)齊次方程y〃+py'+qy=0的通解K()再求原方程y〃+py'+qy=P(x)e大x的一個(gè)特解y*，m方法：先設(shè)出y*=xk(a+ax+…+axm)e.，再求出(y*)',(y*)"，將它們