廣東中考必備數(shù)學教材梳理圖形的認識等腰三角形與等邊三角形匯編

廣東中考必備數(shù)學教材梳理圖形的認識等腰三角形與等邊三角形匯編第1頁/共27頁知識梳理概念定理1.等腰三角形（1）定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性質(zhì)①性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）.②推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合（簡稱：三線合一）.第2頁/共27頁（3）其他性質(zhì)①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°.②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則________.④等腰三角形的三角關系：設頂角為∠A，底角為∠B，∠C，則∠A=_____________，∠B=∠C=________________.180°-2∠B第3頁/共27頁（4）判定①定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.②判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）.2.等邊三角形（1）定義：三邊相等的三角形叫做等邊三角形.（2）性質(zhì)①性質(zhì)定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等____，并且每個角都等于60°.②等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性質(zhì)，它的每一個內(nèi)角的角平分線都與其對邊的中線和高線重合.第4頁/共27頁（3）判定①定義法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.②判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.③判定定理2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.第5頁/共27頁方法規(guī)律第6頁/共27頁中考考點精講精練考點等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定考點精講【例1】（2016濱州）如圖1-4-4-1，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為 （）A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°第7頁/共27頁思路點撥：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠B=25°，由三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDE，最后根據(jù)平角的定義即可求出∠CDE的度數(shù).答案：D第8頁/共27頁【例2】（2016內(nèi)江）已知等邊三角形的邊長為3，點P為等邊三角形內(nèi)任意一點，則點P到三邊的距離之和為 （）思路點撥：作出圖形（如圖1-4-4-2），根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出高AH的長，再根據(jù)三角形的面積公式求出點P到三邊的距離之和等于高線的長度，從而得解.第9頁/共27頁第10頁/共27頁考題再現(xiàn)1.（2016泰安）如圖1-4-4-3，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為 （）A.44° B.66° C.88° D.92°2.（2015南寧）如圖1-4-4-4，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，則∠C的度數(shù)為 （）A.35° B.40° C.45° D.50°DA第11頁/共27頁3.（2015泉州）如圖1-4-4-5，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點D，則∠BAD=________.30°第12頁/共27頁4.（2015北京）如圖1-4-4-6，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E.求證：∠CBE=∠BAD.證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC,∠CAD=∠BAD.又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°.∴∠CBE=∠BAD.第13頁/共27頁考點演練5.已知等腰三角形的周長為24，腰長為x，則x的取值范圍是 （）A.x＞12B.x＜6C.6＜x＜12D.0＜x＜12C第14頁/共27頁6.如圖1-4-4-7，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD=2，求DF的長.解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4.第15頁/共27頁7.如圖1-4-4-8，在△ABC中，AB=AC，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，且BE=CF，BD=CE.（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數(shù).（1）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.在△DBE和△ECF中,∴△DBE≌△ECF.∴DE=EF.∴△DEF是等腰三角形.（2）解：∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE=∠CEF,∠DEB=∠EFC.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=×（180°-40°）=70°.∴∠BDE+∠DEB=110°.∴∠FEC+∠DEB=110°.∴∠DEF=180°-110°=70°.第16頁/共27頁考點點撥：本考點的題型不固定，難度中等.解答本考點的有關題目，關鍵在于掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定定理（相關要點詳見“知識梳理”部分）.注意以下要點：等腰三角形和等邊三角形屬于特殊的三角形，在廣東中考中單獨出題考查的情況雖然不多，但這兩種圖形常與其他幾何圖形，如（特殊的）平行四邊形、圓等結(jié)合進行綜合考查，題目非常靈活，熟練掌握等腰三角形、等邊三角形的有關概念和定理并加以靈活運用對解題非常關鍵，備考時需多加留意.第17頁/共27頁課堂鞏固訓練1.下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有 （）A.①②③ B.①②④C.①③ D.①②③④2.（2016安順）已知實數(shù)x，y滿足

，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是 （）A.20或16 B.20C.16 D.以上答案均不對DB第18頁/共27頁3.（2016邵陽）如圖1-4-4-9所示，點D是△ABC的邊AC上一點（不含端點），AD=BD，則下列結(jié)論正確的是 （）A.AC＞BC B.AC=BCC.∠A＞∠ABC D.∠A=∠ABC4.如圖1-4-4-10，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點D，AE∥BD交CB的延長線于點E.若∠E=35°，則∠BAC的度數(shù)為 （）A.40° B.45° C.60° D.70°AA第19頁/共27頁5.在平面直角坐標系中，已知點P（2，2），點Q在y軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點Q共有 （）A.5個B.4個C.3個D.2個B第20頁/共27頁6.如圖1-4-4-11，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，DF經(jīng)過點E，分別與AB，AC相交于點D，F(xiàn)，且DF∥BC.（1）求證：△DEB是等腰三角形；（2）求證：DF-BD=CF.證明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE.∴∠ABE=∠DEB.∴BD=DE.∴△DEB是等腰三角形.（2）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE.∵DF∥BC，∴∠FEC=∠BCE.∴∠ACE=∠FEC.∴EF=CF.∵BD=DE，∴DF-BD=CF.第21頁/共27頁7.（2016菏澤）如圖1-4-4-12，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.（1）求證：AD=BE；（2）求∠AEB的度數(shù).（1）證明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.第22頁/共27頁（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵點A，D，E在同一直線上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-∠CDE=130°.∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.第23頁/共27頁8.已知：如圖1-4-4-13，△ABC，△CDE都是等邊三角形，AD，BE相交于點O，點M，N分別是線段AD，BE的中點.（1）求證：AD=BE；（2）求∠DOE的度數(shù)；（3）求證：△MNC是等邊三角形.解：（1）∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°.∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.第24頁/共27頁（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE是等邊三角形，∴∠CED=∠CDE=60°.∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°.∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°.（3）證明：∵△ACD≌△