可靠性工程概論第七章

可靠性工程概論第七章第1頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第七章.故障樹分析

7.1故障樹分析基礎

7.2故障樹分析程序

7.3故障樹的編制

7.4故障樹的定性與定量分析

7.5重要度分析第2頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三7.1故障樹分析基礎

7.1.1概述

1.故障樹分析簡介故障樹是由圖論理論發(fā)展而來的。圖論中所研究的圖，既不是通常的幾何學中的圖，也不是工程圖。它所研究的圖是由一些頂點（節(jié)點）及邊構成的圖，通常稱之為線圖。第3頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三故障樹是一種用邏輯門聯結的樹圖。故障樹中包含的事件一般都是故障事件。這些故障事件之間具有一定的邏輯關系，這種邏輯關系用相應的邏輯門來表達。確切地說，故障樹是演繹地表示故障事件發(fā)生原因及其邏輯關系的邏輯樹圖。盡管世界上的事物千變萬化，但是它們之間的邏輯關系卻最終歸結為三種：“與”“或”“非”。相應地，表達這些邏輯關系的邏輯門為邏輯“與”門、邏輯“或”門、邏輯“非”門。第4頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三在故障樹中，上一層故障事件是下一層故障事件造成的結果；下一層故障事件是引起上層故障事件的原因。當用邏輯門來聯結這些故障事件時，作為結果的上層事件稱為輸出事件，作為原因的下一層事件叫做輸人事件。邏輯“與”門表示全部輸入事件都出現則輸出事件才出現，只要有一個輸入事件不出現則輸出事件就不出現的邏輯關系。第5頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三邏輯“或”門表示只要有一個輸入事件出現則輸出事件就出現，只有全部輸入事件都不出現輸出事件才不出現的邏輯關系。邏輯“非”門表示輸入事件出現則輸出事件不出現、輸入事件不出現則輸出事件出現的邏輯關系。第6頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖7-1故障樹的事件符號及轉移符號

2.故障樹分析常用的事件符號第7頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三①長方形符號。表示需要進一步分析的故障事件(a)，如頂事件和中間事件。在符號內寫明故障內容。②圓形符號。表示基本事件（b）。有時用虛線圓表示人的失誤(c)，用加斜線的兩個同心圓表示操作者的疏忽和對修正的遺漏(d)。③房形符號。表示不是故障的事件，是系統內正常狀態(tài)下所發(fā)生的正常事件(e)。第8頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三④菱形符號。表示事前不能分析或者沒有分析必要的省略事件(f)。有時用虛線菱形和加斜線的雙菱形表示人體差錯或者操作者的疏忽和對修正的遺漏(g、h)。此外，當事前關系明確，并可用數量評價用FT簡化時，可用空白雙菱形(i)。⑤轉移符號。表示在同一FT內，與其他部分內容相同的轉符號。連線引向三角形上方時，表示從其他部分轉入，連線引向三角形側部時，表示向其他部分轉出。同時標以相互一致的編號〔j、k〕。當轉入部分與轉出部分內容一致，而數量不同時，則轉移符號采用倒三角形符號〔l〕。第9頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三3.故障樹分析的邏輯門符號

故障樹分析的邏輯門符號參見圖7-2。

圖7-2故障樹分析的邏輯門符號

(a)(b)(c)(d)第10頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三與門(a)表示只有所有輸入事件B1、B2都發(fā)生時，輸出事件A才發(fā)生。換句話說，只要有一個輸入事件不發(fā)生，則輸出事件就不發(fā)生。或門(b)表示輸入事件B1、B2中任一個事件發(fā)生時，輸出事件A發(fā)生。換句話說，只有全部輸入事件都不發(fā)生，輸出事件才不發(fā)生。第11頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三條件門。條件門又分條件與門和條件或門兩種：條件與門（c）表示輸入事件B1、B2不僅同時發(fā)生，而且還必須滿足條件a，才會有輸出事件A發(fā)生，否則就不發(fā)生。條件或門（d）表示輸入事件B1、B2至少有一個發(fā)生，在滿足條件a的情況下，輸出事件A才發(fā)生。第12頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三在故障樹分析中除上述基本邏輯門之外，還有限制門、排斥或門（異或門）、優(yōu)先與門（順序優(yōu)先與門、組合優(yōu)先與門），參見圖7-3。圖7-3故障樹分析中其它的邏輯門符號

（a）(b)(c)(d)第13頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三限制門(a)。限制門是邏輯上的一種修飾符號，即當輸人事件E滿足發(fā)生事件a’時，才產生輸出事件A。相反，如果不滿足，則輸出事件A不發(fā)生。其具體條件寫在橢圓形符號內。排斥或門（異或門）(b)。表示當且僅當輸人事件中的任一個發(fā)生，而其它都不發(fā)生的時候，排斥門才有輸出事件A的連接關系。第14頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

表7-1排斥或門輸入與輸出事件相互關系表第15頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三優(yōu)先與門表示僅當輸入事件按規(guī)定的由左至右的順序依次發(fā)生時，門的輸出事件才發(fā)生。順序優(yōu)先與門（c）：表示當El,E2輸入事件都發(fā)生，且滿足E1發(fā)生于E2之前，則輸出事件A發(fā)生。組合優(yōu)先與門（d）：表示在三個以上輸入事件的與門中，如果任意兩個事件同時發(fā)生，輸出事件A才會發(fā)生。第16頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

7.1.2故障樹分析的數學基礎

結構函數是描述系統狀態(tài)的函數，它完全取決于元、部件的狀態(tài)。通常假定任何時間，元、部件和系統只能取正?；蚬收蟽煞N狀態(tài)，并且任何時刻系統的狀態(tài)由元、部件狀態(tài)唯一決定。第17頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

假設系統由n個單元（即元、部件）組成，且下列二值變量xi

對應于各單元的狀態(tài)為：

1-表示單元i發(fā)生；

0-表示表示單元i不發(fā)生同樣，系統的狀態(tài)變量用y表示，則：

1-表示頂上事件發(fā)生；

0-表示頂上事件不發(fā)生第18頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三y完全取決于單元狀態(tài)（X），因此，y是（X）的函數，記為：

稱為系統的結構函數，因為有n個變量故稱為n階的結構函數。

第19頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三①與門的結構函數只有所有基本事件發(fā)生時，頂上事件才發(fā)生

邏輯“與”（邏輯乘）的關系，其邏輯式為：第20頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三用代數算式表示為：從x1～xn中取最小值，即只要有一個最小的“0”（正常），則整個系統為“0”（正常）?！B乘符號，也是布爾代數中的交“”第21頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三②或門的結構函數

只要有一個或一個以上基本事件發(fā)生時，頂上事件就發(fā)生。邏輯“或”（邏輯加）的關系，其邏輯式為：第22頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三當xi僅取0,1二值時，結構函數可寫成：從x1～xn中取最大值，即只要其中有一個最大的“1”（故障），整個系統就為“1”（故障）。－－第23頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三③簡單系統的結構函數（以m/n表決門為例）圖7-4是故障樹的基本結構單元中的表決門，表示一種表決的邏輯關系，僅當n個輸入事件中有m個以上事件發(fā)生時，則門輸出事件發(fā)生圖7-4m／n表決門結構m/n表決門常用于電路設計中提高系統的可靠性，在控制系統、安全系統的設計中廣泛采用。第24頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三n中取m系統，對應于各元、部件的狀態(tài)式中，m為使系統發(fā)生故障的最小基本事件數≥m時，表示頂上事件發(fā)生＜m時，表示頂上事件不發(fā)生第25頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三Eg.當m=2,n=3時，2/3表決系統可靠性框圖如下：圖7-52/3表決系統可靠性框圖

第26頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三結構函數為：只有當x1～x3中等于1的和大于或等于2時，系統才發(fā)生故障第27頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三④復雜系統的結構函數圖7-6某系統的故障樹

第28頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由與門和或門組成的故障樹，根據邏輯乘與邏輯加的關系，可以寫出其結構函數：第29頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三⑤結構函數的運算規(guī)則在結構函數中，事件的邏輯加（邏輯或）運算及邏輯乘（邏輯與）運算，服從集合（布爾）代數的運算規(guī)則。在集合表達式中所采用的事件并和交，即“

”和“

”，表示事件之間的關系，它們相當于布爾代數算子“∪”（或）和“∩”（與），也相當于代數算式的“＋”和“×”。第30頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三表7-2集合與概率中常用符號的含義對照表

第31頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

表7-3集合代數的運算規(guī)則表

第32頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三7.2故障樹分析程序

1.故障樹的分析程序

熟悉系統確定頂上事件調查故障建造故障樹調查原因事件收集系統資料修改簡化故障樹定性分析定量分析制定改進措施第33頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

2.故障樹分析的注意事項

①只有充分理解系統，才能確定出合理的被分析系統。②確定頂上事件：故障樹的頂上事件是指可能發(fā)生或實際的故障結果，對于多因素復合影響的系統，應找出其中的主要危險以便分析。頂上事件的確定不能太籠統。③合理確定系統的邊界條件：指規(guī)定所建造故障樹的狀況。有了邊界條件就明確了故障樹建到何處為止。第34頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三③合理確定系統的邊界條件。

a.確定頂上事件。

b.確定初始條件：與頂上事件相適應。凡具有不止一種工作狀態(tài)的系統、部件都有初始條件問題（eg.貯罐內液體的初始量有兩種初始條件：“貯罐裝滿、“貯罐是空的”）。時域也必須加以規(guī)定（eg.啟動或關機條件下可能發(fā)生與穩(wěn)態(tài)工作階段不同的故障）

c.確定不許可的事件：建樹時規(guī)定不允許發(fā)生的事件（eg.“由系統之外的影響引起的故障”）。第35頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三④應明確故障樹構造的正確與否事關重大，應先找出系統內固有或潛在的危險因素⑤避免門連門：門的所有輸入事件都應當是正確定義的故障事件，任何門不能與其他門直接相連。⑥故障樹分析的程序按人們的目的、要求和場所的不同，可作定性分析；或對災害的直接原因進行粗略分析；也可進行詳細的定量分析。第36頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

7.3故障樹的編制

1.故障樹編制過程

①定出頂上事件（第一層次）：所要分析的故障（人們所不期望的事件），用一矩形表示，且放置于最上層，并把內容扼要記人方框內。②寫出造成頂上事件的直接原因事件（第二層次）：主要可從環(huán)境不良因素，機械設備故障或損壞，人的差錯（操作、管理、指揮）三方面加以考慮。③寫出往下其它層次。第37頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2.故障樹的編制舉例

例：如圖7-7所示的泵系中，貯罐在10min內注滿而在50min內排空，即一次循環(huán)時間是1h。合上開關以后，將定時器調整到使觸點在10min內斷開的位置。假如機構失效，報警器發(fā)出響聲，操作人員斷開開關，防止加注過量造成貯罐破裂。第38頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-7一個泵系的示意圖

第39頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖7-8泵系統的故障樹

第40頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三7.4故障樹的定性與定量分析

7.4.1故障樹的定性分析

1.利用布爾代數化簡故障樹

圖7-10某故障樹示意圖例1.設頂上事件為T，中間事件為A，基本事件為x1，x2，x3，若其發(fā)生概率均為0.1，即q1=q2=q3=0.1，求頂上事件的發(fā)生概率，并討論其正確性。第41頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：根據故障樹的邏輯關系，可寫出其結構式如下：

按概率和與積的計算公式代入數值則為：第42頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖7-11圖7-10的等效圖

利用布爾代數化簡故障樹的結構式得：則其頂上事件發(fā)生的正確概率為：第43頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三討論：由上述兩種計算結果可見，二種算法得到不同結果。究其原因可知，因故障樹中存在著多余事件x3，人們把這種多余事件稱為與頂上事件發(fā)生無關的事件。從化簡后的式子可見，只要x1、x2同時發(fā)生，則不管x3是否發(fā)生，頂上事件必然發(fā)生。然而，當x3發(fā)生時，要使頂上事件發(fā)生，則仍需x1、x2同時發(fā)生。因此，x3是多余的，T的發(fā)生僅取決于x1、x2的發(fā)生，所以，其正確的概率應該是化簡后的概率。為求得正確的分析結果，簡化是必要的。第44頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

例2：化簡圖7-12的故障樹，并做出等效圖。

圖7-12某故障樹示意圖第45頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三根據圖7-12所示，其結構式為：

圖7-13圖7-12的等效圖

第46頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-14

某故障樹示意圖例3：化簡圖7-14的故障樹，并做出等效圖。第47頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三根據圖7-14所示，其結構式為：

第48頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-15圖7-14的故障樹等效圖第49頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2.最小割集與最小徑集

故障樹定性分析的主要任務是求出導致系統故障（故障）的全部故障模式。通過對最小割集或最小徑集的分析，可以找出系統的薄弱環(huán)節(jié)，提高系統的安全性和可靠性。①割集和最小割集割集是圖論中的一個重要的概念，故障樹分析中的割集指的是導致頂上事件發(fā)生的基本事件組合，也稱作截集或截止集。系統的割集也就是系統的故障模式。第50頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三如果在某個割集中任意除去一個基本事件就不再是割集了，這樣的割集就稱為最小割集。換句話說，也就是導致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合。因此，研究最小割集，實際上是研究系統發(fā)生故障的規(guī)律和表現形式，發(fā)現系統最薄弱環(huán)節(jié)。由此可見，最小割集表示了系統的危險性。第51頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三②最小割集的求法最小割集的求法有多種，常用的方法有布爾代數化簡法、行列法、結構法、質數代入法和矩陣法等。這里僅就常用的布爾代數化簡法和行列法做一簡介。

a.布爾代數化簡法故障樹經過布爾代數化簡，得到若干交集的并集，每個交集實際就是一個最小割集。下面以圖7-16所示的故障樹為例，利用布爾代數化簡法求其最小割集。第52頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-16

某故障樹示意圖第53頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三結果得到7個交集的并集，這7個交集就是7個最小割集。

第54頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖7-17圖7-16故障樹的等效圖

第55頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三b.行列法行列法又稱下行法，這種方法是1972年由富塞爾(Fussel)提出，所以又稱為富塞爾法。該算法的基本原理是從頂上事件開始，由上往下進行，與門僅增加割集的容量（即割集內包含的基本事件的個數），而不增加割集的數量。或門則增加割集的數量，而不增加割集的容量。每一步按上述的原則，由上而下排列，把與門連接的輸入事件橫向排列，把或門連接的輸入事件縱向排列。第56頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

這樣逐層向下，直到全部邏輯門都置換成基本事件為止。得到的全部事件積之和，即是布爾割集（BICS)，再經布爾代數化簡，就可得到若干最小割集。下面仍以圖7-16所示的故障樹為例，求最小割集。第57頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-16

某故障樹示意圖第58頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第59頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三用布爾代數化簡第60頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-14

某故障樹示意圖課堂練習：用行列法求下圖的最小割集。第61頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三③徑集和最小徑集徑集是割集的對偶。當故障樹中某些基本事件的集合都不發(fā)生時，頂上事件就不發(fā)生，這種基本事件的集合稱為徑集，也叫路集或通集。所以系統的徑集也就代表了系統的正常模式，即系統成功的一種可能性。最小徑集，如果在某個徑集中任意除去一個基本事件就不再是徑集了，或者說，使故障樹頂上事件不發(fā)生的最低限度的基本事件組合，這樣的徑集就稱為最小徑集。第62頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

研究最小徑集，實際上是研究保證正常運行需要哪些基本環(huán)節(jié)正常發(fā)揮作用的問題，它表示系統不發(fā)生故障的幾種可能方案，即表示系統的可靠性。

a.對偶、對偶系統及對偶樹

設系統S有一個結構函數Φ(X)，現定義一個新的結構函數ΦD(X)使：

ΦD(X)＝1－Φ(1－X)

稱ΦD(X)為Φ(X)的對偶結構函數，以ΦD(X)為結構函數的系統稱為系統S的對偶系統SD第63頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由于有1-ΦD(1-X)=1-[1-Φ(X)]=Φ(X)，所以的對偶系統是S。對偶是相互的，故稱為相互對偶系統。相互對偶系統有如下基本性質：

D

S的割集是的徑集，反之亦然。S的最小割集是的最小徑集，反之亦然。第64頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三利用相互對偶系統的定義，可根據某系統的故障樹建造其對偶樹。具體做法是：只要把原故障樹中的與門改為或門，或門改為與門，其他的如基本事件、頂上事件不變，即可建造對偶樹，根據相互對偶系統的基本性質，則故障樹的最小割集就是對偶樹的最小徑集。因此，求故障樹最小割集的方法，同樣可用于對偶樹。第65頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

b.成功樹在對偶樹的基礎上，再把其基本事件及頂上事件T改成它們的補事件（即各事件發(fā)生改為不發(fā)生），就可得到成功樹。圖7-18故障樹、成功樹的變換示例第66頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例1：以圖7-16為例，畫出其成功樹，求原樹的最小徑集。解：首先畫成功樹，見圖7-19。第67頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

圖7-16

某故障樹示意圖第68頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖7-19圖7-16故障樹的成功樹

第69頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三用布爾代數化簡法求成功樹的最小割集如下：第70頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由此得到成功樹的兩個最小割集，即原故障樹的兩個最小徑集：

第71頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例2：圖7-20是某系統的故障樹，求其最小割集，畫出成功樹，求最小徑集。圖7-20某系統的故障樹示意圖第72頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：用布爾代數化簡法求最小割集：得到9個最小割集，分別為：

第73頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三根據最小割集的定義，可做出其等效圖7-22a。圖7-22圖7-20故障樹的等效圖a.用最小割集表示

第74頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三畫出的成功樹見圖7-21。圖7-21圖7-20故障樹的成功樹+第75頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三最后用布爾代數化簡法求最小徑集：得到成功樹的三個最小割集，也就是故障樹的三個最小徑集，分別為：

第76頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三如果將成功樹最后經布爾代數化簡的結果再換為故障樹，則：這樣，就形成了三個并集的交集。根據最小徑集的定義，可做出其等效圖7-22b。第77頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖7-22圖7-20故障樹的等效圖b.用最小徑集表示第78頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三④判別割（徑）集數目的方法從上例可看出，同一故障樹中最小割集和最小徑集數目是不相等的。如果在故障樹中與門多、或門少，則最小割集的數目較少；反之，若或門多、與門少，則最小徑集數目較少。在求最小割（徑）集時，為了減少計算工作量，應從割（徑）集數目較少的入手。第79頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三遇到很復雜的系統，往往很難根據邏輯門的數目來判定割（徑）集的數目。在求最小割集的行列法中曾指出，與門僅增加割集的容量（即基本事件的個數），而不增加割集的數量，或門則增加割集的數量，而不增加割集的容量。根據這一原理，下面介紹一種用“加乘法”求割（徑）集數目的方法。該法給每個基本事件賦值為1，直接利用“加乘法”求割（徑）集數目。但要注意，求割集數目和徑集數目，要分別在故障樹和成功樹上進行。第80頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

(a)故障樹（b）成功樹圖7-23用“加乘法”求割、徑集數目第81頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三如圖7-23所示，首先根據故障樹畫出成功樹，再給各基本事件賦與“1”，然后根據輸入事件與輸出事件之間的邏輯門確定“加”或“乘”，若遇到或門就用“加”，遇到與門則用“乘”。割集數目：M1=1+1+1=3M2=1+1+1=3T=3×3×1=9徑集數目：M1＝1×1×1=1

M2=1+1+1=3

T=1＋1＋1=3第82頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三割集數目比徑集數目多，此時用徑集分析要比用割集分析簡單。如果估算出某故障樹的割、徑集數目相差不多，一般從分析割集入手較好。這是因為最小割集的意義是導致故障發(fā)生的各種途徑，得出的結果簡明、直觀。另外，在做定量分析時，用最小割集分析，還可采用較多的近似公式，而最小徑集則不能。第83頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三必須注意，用上述方法得到的割、徑集數目，不是最小割、徑集的數目，而是最小割、徑集的上限。只有當故障樹中沒有重復事件時，得到的割、徑集的數目才是最小割、徑集數。第84頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三⑤最小割集與最小徑集在故障樹分析中的意義

最小割集表示系統的危險性。求解出最小割集可以掌握故障發(fā)生的各種可能，了解系統危險性的大小，為故障調查和故障預防提供依據。最小徑集表示系統的安全性。求出最小徑集，可知道要使故障不發(fā)生，需控制住哪幾個基本事件能使頂上事件不發(fā)生，并可知道有幾種可能的預防方案。第85頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三從最小割集能直觀地、概略地看出哪種故障發(fā)生后，對系統危險性影響最大，哪種稍次，哪種可以忽略，以及如何采取措施使故障發(fā)生概率迅速下降。利用最小割集和最小徑集可以直接排出結構重要度的順序。根據最小徑集，選擇控制故障的最佳方案。利用最小割集和最小徑集計算頂上事件的發(fā)生概率和定量分析。第86頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三7.4.2故障樹的定量分析

在進行定量分析時，應滿足幾個條件：①各基本事件的故障參數或故障率已知，而且數據可靠，否則計算結果誤差大；②在故障樹中應完全包括主要故障模式；③對全部事件用布爾代數做出正確的描述。另外，一般還要做幾點假設：①基本事件之間是相互獨立的；第87頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三②基本事件和頂上事件都只有兩種狀態(tài)：發(fā)生或不發(fā)生（正常或故障）；③一般情況下，故障分布都假設為指數分布。進行定量分析的方法很多，這里只介紹幾種常用的方法，而且以舉例形式說明這些方法的計算過程，不在數學上做過多的證明。第88頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

1.直接分步算法

對給定的故障樹，若已知其結構函數和基本事件的發(fā)生概率，從原則上來講，按容斥原理中的邏輯加與邏輯乘的概率計算公式，就可求得頂上事件發(fā)生的概率。①邏輯加（或門連接的事件）的概率計算公式：第89頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三②邏輯乘（與門連接的事件）的概率計算公式：

g—頂上事件（或門事件）發(fā)生的概率函數；

P0—或門事件的概率；

PA—與門事件的概率；

qi—第i個基本事件的概率；

n—輸人事件數。第90頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三直接分步算法適于故障樹規(guī)模不大，而且故障樹中無重復事件時使用。它是從底部的門事件算起，逐次向上推移，直算到頂上事件為止。例1：如圖7-24所示的故障樹，各基本事件的概率分別為：q1=q2=0.01，q3=q4=0.02，q5=q6=0.03，q7=q8=0.04，求頂上事件發(fā)生的概率。

第91頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖7-24某故障樹

第92頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：a.先求M3的概率，或門連接：b.求M2的概率，與門連接：c.求M1的概率，與門連接：d.求T的概率，或門連接：第93頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

2.利用最小割集計算頂上事件發(fā)生的概率

從最小割集表示的故障樹的等效圖中可看出，其標準結構式是：頂上事件與最小割集的邏輯連接為或門，而每個最小割集與其包含的基本事件的邏輯連接為與門。如果各最小割集中彼此沒有重復的基本事件，則可先求各個最小割集的概率，即最小割集所包含的基本事件的交（邏輯與）集、然后求所有最小割集的并（邏輯或）集概率，即得頂上事件的發(fā)生概率。第94頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

根據最小割集的定義，如果在割集中任意去掉一個基本事件，就不成為割集。換句話說，也就是要求最小割集中全部基本事件都發(fā)生，該最小割集才存在：在故障樹中，一般有多個最小割集，只要存在一個最小割集，頂上事件就會發(fā)生，因此，故障樹的結構函數為：

Gr一第i個最小割集；xi一第i個最小割集中的基本事件NG一系統中最小割集數

第95頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

因此，若各個最小割集中彼此沒有重復的基本事件，可按下式計算頂上事件的發(fā)生概率：

一系統中最小割集數；一最小割集序數；一基本事件序數；－第i個基本事件屬于第r個最小割集；—第i個基本事件的概率。第96頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例1.設某故障樹有3個最小割集{x1,x2}，｛x3,x4,x5}，{x6,x7}。各基本事件發(fā)生概率分別為q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7，求頂上事件發(fā)生的概率。

第97頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三根據故障樹的3個最小割集，可做出用最小割集表示的等效圖，如圖7-25。

圖7-25用最小割集表示的等效圖

第98頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三3個最小割集的概率，可由各個最小割集所包含的基本事件的邏輯與分別求出：頂上事件的發(fā)生概率，即求所有最小割集的邏輯或，得：從結果可看出，頂上事件發(fā)生概率等于各最小割集的概率積的和。第99頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三若最小割集中有重復事件呢？先用布爾代數消除每個概率積中的重復事件。用布爾代數消除每個概率積中的重復事件得：

第100頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

3.利用最小徑集計算頂上事件發(fā)生的概率

從最小徑集表示的故障樹的等效圖中可看出，其標準結構式是頂上事件與最小徑集的邏輯連接為與門，而每個最小徑集與其包含的基本事件的邏輯連接為或門。如果各最小徑集中彼此無重復的基本事件，則可先求各最小徑集（邏輯或）的概率，然后求所有最小徑集的交集（邏輯與）概率，即得頂上事件發(fā)生的概率：—

第i個基本事件屬于r個最小徑集第101頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

例1：設某故障樹有三個最小徑集P1={x1,x2},P2={x3,x4,x5},P3={x6,x7}。各基本事件發(fā)生的概率分別為q1,q2,∧,q7，求頂上事件的發(fā)生概率。第102頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖7-26用最小徑集表示的等效圖解：根據故障樹的三個最小徑集，做出用最小徑集表示的等效圖如圖7-26所示。第103頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三個最小徑集的概率，可由各個最小徑集所包含的基本事件的邏輯或分別求出：頂上事件的發(fā)生概率，即求所有最小徑集的邏輯與，得：

第104頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三同樣，如果故障樹中各最小徑集中彼此有重復事件，需先用布爾代數消除概率積中的重復事件。由于故障樹的各獨立的基本事件一般是相交集合（即相容的），且各最小割（徑）集一般也是相交集合（相容的），所以在實際運算中利用最小割（徑）集計算頂上事件發(fā)生概率的方法，是非常繁瑣的。解決辦法：把最小割（徑）集的相交集合化為不相交集合。

第105頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三4.化相交集為不交集合展開法求頂上事件發(fā)生的概率設故障樹有兩個最小割集G1、G2。由于G1、G2具有相交性（即含有相同的基本事件），因此，頂上事件發(fā)生概率，不等于最小割集G1的發(fā)生概率和最小割集G2的發(fā)生概率之和。但是可以證明，G1與一定不相交。第106頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三對于獨立事件和相容事件，A+B和均為相交集合，而和則為不交集合，由文氏圖可以證明。圖7-27文氏圖表示不交集第107頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三這是化相交集合為不交集合的最簡單例子，若有N個最小割集，可寫成通式：運用布爾代數運算法則，直到全部相乘項化為代數和，即不交和為止。第108頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例1：圖7-28所示的故障樹，已知q1=q2=0.2,q3=q4=0.3,q5=0.25，該故障樹的最小割集為：

G1={x1,x3},G2={x2,x4},G3={x1,x4,x5},

G4={x2,x3,x5},試用上述方法求故障樹的頂上事件發(fā)生概率。

圖7-28故障樹示意圖第109頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三第110頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三T第111頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三5.頂上事件發(fā)生概率的近似計算當計算頂上事件發(fā)生概率的精確解時，遇到故障樹中最小割集數目很多，而且其中包含許多基本事件時，其計算量是相當大的。在許多實際工程計算中，這種精確計算是沒有必要的，因為統計得到的各元件、部件的故障率本身就不很精確，加上設備運行條件、運行環(huán)境不同以及人的失誤率等，影響因素很多，伸縮性大。因此，用這些數據進行計算，必然得不出很精確的結果。所以，希望采用一種比較簡便、計算量較小又有一定精確度的近似方法。第112頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三當最小割集中有重復事件時，利用最小割集計算頂上事件發(fā)生概率為：其中：

，

第113頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三逐次求出F1,F2,…,FN的值，當認為滿足計算精度時就可以停止計算。通常：

因此，通常采用兩種近似方法：①首項近似法該式說明，頂上事件發(fā)生的概率近似等于所有最小割集發(fā)生概率的代數和。

第114頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三②平均近似法有時為了提高計算精度，取首項與第二項之半的差作為近似值：第115頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

7.5重要度分析

故障樹中往往包含有很多基本事件，這些基本事件并非具有同樣的重要性，有的基本事件或其組合（割集）一出現故障，就會引起頂上事件故障，有的則不然。一個基本事件或最小割集對頂上事件發(fā)生的貢獻稱為重要度。按照基本事件或最小割集對頂上事件發(fā)生的影響程度大小來排隊，這對改進設計、診斷故障、制定安全措施和檢修儀表等是十分有用的。第116頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

7.5.1結構重要度

結構重要度是指不考慮基本事件自身的發(fā)生概率，或者說假定各基本事件的發(fā)生概率相等，僅從結構上分析各個基本事件對頂上事件發(fā)生所產生的影響程度。結構重要度分析可采用兩種方法。一種是求結構重要度系數，另一種是利用最小割集或最小徑集判斷重要度，排出次序。前者精確，但繁瑣；后者簡單，但不夠精確。第117頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三1.結構重要度系數求法

當某個基本事件的狀態(tài)由正常狀態(tài)(0)變?yōu)楣收蠣顟B(tài)(1)，其他基本事件的狀態(tài)保持不變時，則頂上事件可能有以下四種狀態(tài)。

a.頂上事件從0變?yōu)?；

b.頂上事件處于0狀態(tài)不發(fā)生變化；

c.頂上事件處于1狀態(tài)不發(fā)生變化；

d.頂上事件從1變?yōu)?。第118頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

第二和第三兩種情況說明的狀態(tài)變化對頂上事件狀態(tài)不起作用。第四種情況則反映出基本事件發(fā)生了故障，而系統卻恢復到正常狀態(tài)，這種情況是絕對不會發(fā)生的。第一種情況說明當基本事件的狀態(tài)從0變到1，其他基本事件的狀態(tài)保持不變，則頂上事件的狀態(tài)由=0變?yōu)?，這表明這個基本事件的狀態(tài)變化對頂上事件的發(fā)生與否起到了作用。

第119頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三n個基本事件兩種狀態(tài)的互不相容的組合數共有2n個。當把第i個基本事件做為變化對象時,其余n-1個基本事件的狀態(tài)對應保持不變的對照組共有2n-1個組合。在這2n-1個對照組中共有多少是屬于第一種情況，這個比值就是該事件xi的結構重要度IΦ(i)，用下式表示：

為與基本事件對照的臨界割集。第120頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三以圖7-29故障樹為例，求各基本事件的結構重要度。圖7-29故障樹示意圖第121頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三此樹共有5個基本事件，其互不相容的狀態(tài)組合數為25＝32。為了全部列出5個基本事件兩種狀態(tài)的組合情況，并有規(guī)則地進行對照，這里采用布爾真值表列出所有事件的狀態(tài)組合，如表7-4所示。第122頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三表7-4基本事件與頂上事件狀態(tài)真值表

第123頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三表中左半部x1的狀態(tài)值均為0，右半部x1的狀態(tài)值均為1,而其他四個基本事件的狀態(tài)值均保持不變，可得到25-1=16個對照組。根據表中各組基本事件發(fā)生與否，對照故障樹圖或其最小割集分別填寫和值，頂上事件發(fā)生記為1,不發(fā)生記為0。用右半部值減去左半部對應的值，差為7，即共有7組x1的變化引起了頂上事件的變化。因此，基本事件1的結構重要度系數為7/16。

第124頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三同理，求得：根據值的大小，各基本事件結構重要度順序如下：第125頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2）利用最小割集或最小徑集判定重要度利用狀態(tài)值表求結構重要度系數是相當繁瑣的工作，特別是基本事件數目多時，更是如此。若不求其精確值時，可利用最小割（徑）集進行結構重要度分析。這種方法主要特點是根據最小割（徑）集中所包含的基本事件數目（也稱階數）排序，具體原則有以下四條：

①由單個事件組成的最小割（徑）集中，該基本事件結構重要度最大第126頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

例如某故障樹有3個最小割集，分別為：

根據此條原則判斷，則：

第127頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三②僅在同一個最小割（徑）集中出現的所有基本事件，而且在其他最小割（徑）集中不再出現，則所有基本事件結構度相等例如割集

根據此原則判斷其各基本事件的結構重要度如下：

第128頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三③若最小割（徑）集中包含的基本事件數目相等，則在不同的最小割（徑）集中出現次數多者基本事件結構重要度大，出現次數少者結構重要度小，出現次數相等者則結構重要度相等。

例如某故障樹共有四個最小割集，分別為：

根據此原則判斷：

第129頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三④若故障樹的最小割（徑）集中所含基本事件數目不相等，則各基本事件結構重要度的大小，可按具體不同情況來定。a.若某幾個基本事件在不同的最小割（徑）集中重復出現的次數相等，則在少事件的最小割（徑）集中出現的基本事件結構重要度大，在多事件的最小割（徑）集中出現的結構重要度小。

第130頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三b.若遇到在少事件的最小割（徑）集中出現次數少，而在多事件的最小割（徑）集中出現次數多的基本事件，或其他錯綜復雜的情況，可采用下式近似判別比較：

—基本事件xj屬于最小割集Grnj—基本事件xj所在的最小割（徑）集中包含的基本事件的數目第131頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例如某故障樹共有5個最小徑集，分別為：根據原則④a.判斷：x1分別在包含兩個基本事件的最小徑集中各出現1