三角函數(shù)講義(適用于高三第一輪復(fù)習(xí))

三角函數(shù)講義(適用于高三第一輪復(fù)習(xí))PAGE4三角函數(shù)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：2．誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限）3．兩角和與差的公式4．倍角公式5．降冪公式6．幅角公式，其中8．補(bǔ)充公式，知識(shí)點(diǎn)睛對(duì)稱軸；對(duì)稱中心對(duì)稱軸；對(duì)稱中心說(shuō)明：表格中的都是屬于，在選擇“代表”的區(qū)間或點(diǎn)時(shí)，先盡量選擇離坐標(biāo)原點(diǎn)近的，再盡量選擇正的。正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：定義域?yàn)?，值域?yàn)樽钚≌芷谑?，在上單調(diào)增沒有對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為，奇函數(shù)二．正弦型函數(shù)的圖象方法一：先平移變換后伸縮變換平移變換：將圖象向左或向右平移個(gè)單位，得到的圖象；伸縮變換：縱坐標(biāo)不變，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，得到的圖象，此時(shí)函數(shù)周期為；振幅變換：橫坐標(biāo)不變，將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的倍，得到的圖象，此時(shí)函數(shù)的最值分別為、；方法二：先伸縮變換后平移變換伸縮變換：縱坐標(biāo)不變，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，所得函數(shù)的圖象，此時(shí)函數(shù)的周期為；平移變換：將圖象向左或向右平移個(gè)單位，得到的圖象振幅變換：同上解三角形1．解三角形：（1）邊的關(guān)系：，，（或滿足：兩條較短的邊長(zhǎng)之和大于較長(zhǎng)邊）（2）角的關(guān)系：，，，，，，，2．正弦定理：，其中為的外接圓半徑3．余弦定理：在中，角的對(duì)邊分別為，則有余弦定理：，其變式為：4．三角形的面積公式：三角恒等變換例題精講【例1】考查對(duì)三角函數(shù)值“知一求二”的掌握（1）已知是第二象限角，且，則______,______（2）已知是第四象限角，且，則_______，______（3）已知，求、的值點(diǎn)評(píng)：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式能夠做到三角函數(shù)值“知一求二”，但要注意正負(fù)符號(hào)的確定【例2】已知，計(jì)算：（1）；（2）；（3）點(diǎn)評(píng)：如果根據(jù)的值求、的值，則需考慮的象限，這里把寫成構(gòu)造關(guān)于、的齊次式，解法干凈利索【例3】（1）的值是________（2）已知，則（3）若記，則________點(diǎn)評(píng)：此題主要考查誘導(dǎo)公式的使用，關(guān)于誘導(dǎo)公式希望大家牢記：互補(bǔ)的兩個(gè)角正弦值相等，余弦值、正切值互為相反數(shù)，互余的兩個(gè)角正弦值、余弦值互換?！纠?】（1）已知，，，是第三象限角，求（2）已知，是第四象限角，求、、（3）若為第二象限角，且，則_______【例5】（1）已知，求的值（2）已知，求的值點(diǎn)評(píng)：正切的和差角公式把、、聯(lián)系到一塊，任一項(xiàng)都能由另兩項(xiàng)表示，如【例6】（1）若，則（2）若，則_______（3）設(shè)，若，則________點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題中，一要盡量減少三角函數(shù)名，二要盡量減少角的個(gè)數(shù)，這里用到“化切為弦”，即將正切化為我們更熟悉的正弦和余弦【例7】（1）已知是第三象限角，且，則_______（2）已知是第三象限角，且，則__________【例8】（1）已知，則的值為____，的值為（2）已知，且，則的值為_______點(diǎn)評(píng)：此題主要考查與之間的關(guān)系：【例9】若，求值：（1）；（2）；（3）常見題型一：給角求值在求值過(guò)程中，先整體分析三角函數(shù)式的特點(diǎn)，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進(jìn)行局部變換。另外要觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系，要盡量利用三角公式將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角?！纠?】求值：（1）_____；（2）______；（3）_______；（4）_____【例2】求值：（1）________；（2）________；常見題型二：給值求值解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于角的“整體代換”，找出已知式與欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互補(bǔ)等關(guān)系，另外還要注意角的范圍的討論【例】（1）已知，，則______；（2）已知，，則________；（3）已知，，則________常見題型三：給值求角解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是先求出此角的某一個(gè)三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍確定角的大小，此時(shí)要注意根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)號(hào)或比較特殊角的三角函數(shù)值大小挖掘隱含條件，要盡量減小角的范圍?！纠?】若，，且、為銳角，求【例2】已知、、均為銳角，且，，，求【例3】已知，，、，求三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)說(shuō)明：（1）伸縮變換不會(huì)改變的值，只是將變?yōu)?；?）若相同，就不用做伸縮變換，若不同，就一定要做伸縮變換；若相同，就不用做平移變換，若不同，就一定要做平移變換；（2）左右平移的量要看發(fā)生在自變量上的變化。三．復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)最值：和；單調(diào)性：若，則正向討論，即令，可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；若，則反向討論，即令，可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間周期：最小正周期是對(duì)稱性：函數(shù)的圖象仍然是波形，它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸和無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心令，可求得函數(shù)的所有對(duì)稱軸；令，可求得函數(shù)的所有對(duì)稱中心【例1】考查三角函數(shù)圖象的變換（1）由函數(shù)的圖象怎么變換到函數(shù)的圖象（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象的對(duì)應(yīng)解析式是（）A．B．C．D．（3）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A．向左平移單位

B．向左平移單位

C．向右平移單位

D．向右平移單位【例2】考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心（1）函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值是（）A．B．C．D．（2）已知函數(shù)的最小正周期為,則函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于對(duì)稱B．關(guān)于對(duì)稱C．關(guān)于對(duì)稱D．關(guān)于對(duì)稱（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)_______（4）若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（）A．B．C．D．（5）已知函數(shù)，，且在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，則________【例3】考查三角函數(shù)的單調(diào)性（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是__________（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________【例4】已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最小值，并求函數(shù)取得最小值時(shí)的的集合；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（4）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（5）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間；（6）求函數(shù)的所有對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；（7）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)，的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到；【例5】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域【例6】考查三角函數(shù)的最值求法（1）設(shè)和分別表示函數(shù)的最大值和最小值，則______（2）若函數(shù)，，則的最小值為________（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是_____，最大值是_______（4）求函數(shù)的值域（5）求函數(shù)的值域（6）求函數(shù)，的最大值和最小值（7）函數(shù)的值域是_________點(diǎn)撥：三角函數(shù)的值域、最值求法（1）(或)型：利用三角函數(shù)的有界性；（2）型：利用幅角公式轉(zhuǎn)化為形式，再利用有界性；（3）型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意的約束；（4）型：分離常數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性（5）型：數(shù)形結(jié)合法，這里用到直線斜率的幾何意義，也可用純代數(shù)法求法（6）型：換元，要注意變量的范圍【例7】（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域；（5）已知函數(shù)有最大值，求實(shí)數(shù)的值【例8】設(shè)函數(shù)（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍點(diǎn)撥：解決方程有解問(wèn)題最有效的方法是分離變量求值域【例9】若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍【例10】（1）若函數(shù)，則是（）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)（2）函數(shù)的最小正周期是________，最小值是_______（3）函數(shù)的最小正周期是_____；（4）函數(shù)的最小正周期是____點(diǎn)撥：（1）利用降冪公式、幅角公式把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為形式，從而得到周期；（2）根據(jù)圖象變換知識(shí)畫出函數(shù)圖象可以直觀得到函數(shù)周期?！纠?2】已知函數(shù)，，有下列命題：①當(dāng)時(shí)，的最小正周期是；②當(dāng)時(shí)，的最大值是，最小值是；③當(dāng)時(shí)，將函數(shù)的圖象向左平移可以得到函數(shù)的圖象；④當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱中心是其中正確命題的序號(hào)是_________（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）13.已知函數(shù)的圖象的一部分如下圖所示。（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值及相應(yīng)的的值。解三角形例題精講【例1】（1）在中，是的___________條件（2）在銳角中，，則的取值范圍是________（3）在中，已知，，則________【例2】（1）在中，若，，，則中最大角的余弦值為________（2）某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長(zhǎng)度分別為，則（）A．不能作出這樣的三角形B．作出一個(gè)銳角三角形C．作出一個(gè)直角三角形D．作出一個(gè)鈍角三角形（3）以為三邊組成一個(gè)銳角三角形，則的取值范圍為__________點(diǎn)評(píng)：最大角決定三角形的形狀，由余弦定理得，較小兩邊的平方和與最大邊的平方的差決定最大角是銳角、直角和鈍角。【例3】考查正余弦定理的靈活使用（1）在中，若，其面積，則_____（2）在中，若，則_____（3）在中，若，，則_____（4）在銳角中，若，則_________【例4】判斷滿足下列條件的三角形形狀（1）；（2）；（3）；（4）點(diǎn)評(píng)：與三角形形狀相關(guān)的幾個(gè)結(jié)論:（1）在中，若，則為等腰三角形或直角三角形（2）在中，若，則為等邊三角形（3）在中，若，則為直角三角形（4）在中，若，則為直角三角形【例5】在中，角的對(duì)邊分別為、、，，，求【例6】在中，角的對(duì)邊分別為，且，（1）當(dāng)時(shí)，求角的度數(shù)；（2）求面積的最大值【例7】中，所對(duì)的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求【例8】在中，,（1）求的值；（2）設(shè)，求的面積【例9】在中，角的對(duì)邊分別為，且（1）求的大?。唬?）求的最大值【例10】在中，角的對(duì)邊分別為，（1）求的大??；（2）求的范圍【例11】設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，求【例12】在中，角的對(duì)邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若，求邊的值.【例13】在中，角的對(duì)邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若，，求邊的值2012高考真題分類匯編：三角函數(shù)一、選擇題1.設(shè)是方程的兩個(gè)根，則的值為（A）-3（B）-1（C）1（D）32.把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像是3.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（） 4.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，延長(zhǎng)至，使，連接、則（）A、B、C、D、5.在中，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，若，則的最小值為（）A.B.C.D.6.若，，則（A）（B）（C）（D）7.已知，(0，π)，則=(A)1(B)(C)(D)18.若tan+=4,則sin2=A．B.C.D.9.函數(shù)f（x）=sinx-cos(x+)的值域?yàn)锳．[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.[-,]10.在中，若，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定11.設(shè)則“”是“為偶函數(shù)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分與不必要條件12.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是，已知8b=5c，C=2B，則cosC=（A）（B）（C）（D）13.已知α為第二象限角，，則cos2α=(A)（B）(C)(D)二、填空題14.函數(shù)f（x）=sin()的導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸的交點(diǎn)，A,C為圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖像的最低點(diǎn).（1）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），則;（2）若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為.15.設(shè)△的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.若，則角．16.在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，則b=_______。17.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為；則下列命題正確的是=1\*GB3①若；則=2\*GB3②若；則=3\*GB3③若；則=4\*GB3④若；則=5\*GB3⑤若；則18.已知△ABC得三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________.19.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，,則21.當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，x=___________.22.設(shè)為銳角，若，則的值為▲．三、解答題23.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，（1）求（2）若，的面積為；求.24.已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且.（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.25.設(shè)函數(shù)。（=1\*ROMANI）求函數(shù)的最小正周期；（=2\*ROMANII）