北京市六城區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)(文)分類匯編之解析幾何解答題

【海淀】(20)（本小題滿分14分）已知橢圓的左頂點為，兩個焦點與短軸一個頂點構(gòu)成等腰直角三角形，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于不同的兩點．(I)求橢圓的方程；(Ⅱ)當(dāng)與垂直時，求的長；(Ⅲ)若過點且平行于的直線交直線于點，求證：直線恒過定點．解：（Ⅰ）因為，所以因為兩個焦點與短軸一個頂點構(gòu)成等腰直角三角形，所以又所以， 所以橢圓方程為 （Ⅱ）方法一：設(shè)， ，（舍）所以方法二：設(shè)，因為與垂直，所以點在以為直徑的圓上，又以為直徑的圓的圓心為，半徑為，方程為，，（舍）所以方法三：設(shè)直線的斜率為，，其中化簡得當(dāng)時，得，顯然直線存在斜率且斜率不為0.因為與垂直，所以得，，所以（Ⅲ）直線恒過定點設(shè)，，由題意，設(shè)直線的方程為， 由得， 顯然，，則，， 因為直線與平行，所以，則的直線方程為，令，則，即，直線的方程為令，得因為，故，所以直線恒過定點.【西城】20．（本小題滿分14分）已知橢圓:的長軸長為4，左、右頂點分別為，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值；（Ⅲ）若直線與直線相交于點，判斷點是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程.（結(jié)論不要求證明）解：（Ⅰ）由題意，得,解得.………………1分所以橢圓方程為.……………2分故，，.所以橢圓的離心率.………………4分（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，又因為，，所以四邊形的面積.……………6分當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程消去，得.……7分由題意，可知恒成立，則，.………8分四邊形的面積………9分，設(shè)，則四邊形的面積，，所以.綜上，四邊形面積的最大值為.……………11分（Ⅲ）結(jié)論：點在一條定直線上，且該直線的方程為.………………14分【朝陽】20.（本小題滿分14分）已知點為橢圓上任意一點，直線與圓交于兩點，點為橢圓的左焦點．（Ⅰ）求橢圓的離心率及左焦點的坐標(biāo)；（Ⅱ）求證：直線與橢圓相切；（Ⅲ）判斷是否為定值，并說明理由．（Ⅰ）由題意，，所以離心率，左焦點．…………4分（Ⅱ）由題知，，即.當(dāng)時直線方程為或，直線與橢圓相切．當(dāng)時，由得，即所以故直線與橢圓相切．…………8分（Ⅲ）設(shè)，，當(dāng)時，，，，，所以，即．當(dāng)時，由得，則，，．因為．所以，即．故為定值．…………14分【豐臺】20．（本小題14分）已知橢圓，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于兩點．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）證明：四邊形不可能為矩形．解：（Ⅰ）由題知解得.則，所以橢圓W的離心率為.（Ⅱ）由于兩直線關(guān)于原點成中心對稱且橢圓是關(guān)于原點的中心對稱圖形.不妨設(shè).則②?①得，.所以AB不垂直于AD.所以四邊形ABCD不可能為矩形.【石景山】20．（本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，右焦點為，左頂點為，右頂點在直線:上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點是橢圓上異于，的點，直線交直線于點，當(dāng)點運動時，判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明．解：（Ⅰ）依題可知，因為，所以故橢圓的方程為．（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為．則點坐標(biāo)為，中點的坐標(biāo)為，由得．設(shè)點的坐標(biāo)為，則．所以，．因為點坐標(biāo)為，當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，直線的方程為，點的坐標(biāo)為．此時以為直徑的圓與直線相切．當(dāng)時，直線的斜率．所以直線的方程為,即．故點到直線的距離（或直線的方程為,故點到直線的距離）又因為，故以為直徑的圓與直線相切．綜上得，當(dāng)點運動時，以為直徑的圓與直線相切．解法二:（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．證明如下:設(shè)點,則當(dāng)時,點的坐標(biāo)為，直線的方程為，點的坐標(biāo)為，此時以為直徑的圓與直線相切，當(dāng)時直線的方程為，點D的坐標(biāo)為,中點的坐標(biāo)為,故直線的斜率為,故直線的方程為,即,所以點到直線的距離故以為直徑的圓與直線相切．綜上得，當(dāng)點運動時，以為直徑的圓與直線相切．【東城】（19）（本小題13分）已知為橢圓上兩點，過點且斜率為的兩條直線與橢圓的交點分別為.（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）若四邊形為平行四邊形，求的值．（19）（共13分）解：（=1\*ROMAN