高中數(shù)學校本課程5

高中數(shù)學校本課程5.高中數(shù)學校本課程5./高中數(shù)學校本課程5.第五講數(shù)學解題思想過程數(shù)學解題的思想過程是指從理解問題開始,從經(jīng)過研究思路,變換問題直至解決問題,進行回顧的全過程的思想活動。在數(shù)學中,平時可將解題過程分為四個階段:第一階段是審題。包括認清習題的條件和要求,深入解析條件中的各個元素,在復雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識信息,建立習題的條件、結(jié)論與知識和經(jīng)驗之間的聯(lián)系,為解題作好知識上的準備。第二階段是追求解題路子。有目的地進行各種組合的試驗,盡可能將習題化為已知種類,選擇最優(yōu)解法,選擇解題方案,經(jīng)檢驗后作修正,最后確定解題計劃。第三階段是推行計劃。將計劃的所有細節(jié)實質(zhì)地付諸實現(xiàn),經(jīng)過與已知條件所選擇的依照作比較后修正計劃,爾后著腕表達解答過程的方法,并且書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最后結(jié)果今后,檢查并解析結(jié)果。商議實現(xiàn)解題的各種方法,研究特別狀況與局部狀況,找出最重要的知識。將新知識和經(jīng)驗加以整理使之系統(tǒng)化。因此:第一階段的理解問題是解題思想活動的開始。第二階段的變換問題是解題思想活動的核心,是研究解題方向和路子的積極的試一試發(fā)現(xiàn)過程,是思想策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段的計劃推行是解決問題過程的實現(xiàn),它包括著一系列基礎(chǔ)知識和基本技術(shù)的靈便運用和思想過程的詳盡表達,是解題思想活動的重要組成部分。第四階段的反思問題常常簡單為人們所忽視,它是發(fā)展數(shù)學思想的一個重要方面,是一個思想活動過程的結(jié)束包括另一個新的思想活動過程的開始。經(jīng)過以下研究路子來提高解題能力:(1研究問題的條件時,在需要與可能的狀況下,可畫出相應圖形或思路圖幫助思慮。由于這意味著你對題的整個情境有了清楚的詳盡的認識。(2清楚地理解情境中的各個元素;必然要弄清楚其中哪些元素是給定了的,即已知的,哪些是所求的,即未知的。(3深入地解析并思慮習題表達中的每一個符號、術(shù)語的含義,從中找出習題的重要元素,要圖中標出(用直觀符號已知元素和未知元素,并試著改變一下題目中(或圖中各元素的地址,看看可否有重要發(fā)現(xiàn)。(4盡可能從整體上理解題目的條件,找出它的特點,聯(lián)想以前可否遇到過近似題目。(5仔細考慮題意可否有其他不相同理解。題目的條件有無節(jié)余的、互相矛盾的內(nèi)容?可否還缺少條件?(6仔細研究題目提出的目標。經(jīng)過目標找出哪些理論的法規(guī)同題目或其他元素有聯(lián)系。(7若是在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學方法,就盡可能用這類方法的語言表示題的元素,以利于解題思路的張開。以上路子特別有益于開始解題者能迅速“登堂入室”,找到解題的起步點。在擬定計劃追求解法階段,最好利用下面這套研究方法:(1想法將題目與你會解的某一類題聯(lián)系起來。也許盡可能找出你熟悉的、最吻合已知條件的解題方法。(2記住:題的目標是追求解答的主要方向。在仔細解析目標時即可試一試可否用你熟悉的方法去解題。(3解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問題的條件、結(jié)論作比較。用這類方法檢查解題路子可否合理,以便及時進行修正或調(diào)整。(4試一試可否局部地改變題目,換種方法表達條件,故意簡化題的條件(也就是編擬條件簡化了的同類題再求其解。再試一試可否擴大題目條件(編一個更一般的題目,并將與題相關(guān)的見解用它的定義加以取代。(5分解條件,盡可能將分成部分重新組合,擴大騍條件的理解。(6試一試將題分解成一串輔助問題,依次解答這些輔助問題即可組成所給題目的解。(7研究題的某些部分的極限狀況,察看這樣會對基本目標產(chǎn)生什么影響。(8改變題的一部分,看對其他部分有何影響;依照上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果,試一試可否對題的目標作出一個“展望”。(9萬一用盡方法還是解不出來,你就從課本中或科普數(shù)學小冊子中找一個同類題,研究解析其現(xiàn)成答案,從中找出解題的有益啟示。數(shù)學解題的技巧為了使回憶、聯(lián)想、猜想的方向更明確,思路更加爽朗,進一步提高研究的收效,我們必定掌握一些解題的策略。所有解題的策略的基本出發(fā)點在于“變換”,即把面對的問題轉(zhuǎn)變成一道或幾道易于解答的新題,以經(jīng)過對新題的察看,發(fā)現(xiàn)原題的解題思路,最后達到解決原題的目的。基于這樣的認識,常用的解題策略有:熟悉化、簡單化、直觀化、特別化、一般化、整體化、間接化等。一、熟悉化策略所謂熟悉化策略,就是當我們面對的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時法把它化為以前解過的或比較熟悉的題目,以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗或解模式,順利地解出原題。

,要設(shè)題一般說來,對于題目的熟悉程度,取決于對題目自己構(gòu)造的認識和理解。從構(gòu)造上來解析,任何一道解答題,都包括條件和結(jié)論(或問題兩個方面。因此,要把陌生題轉(zhuǎn)變成熟悉題,可以在變換題目的條件、結(jié)論(或問題以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的路子有:(一、充分聯(lián)想回憶基本知識和題型:依照波利亞的見解,在解決問題以前,我們應充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型,充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論,從而解決現(xiàn)有的問題。(二、全方向、多角度解析題意:對于同一道數(shù)學題,常?？梢圆幌嗤膫?cè)面、不相同的角度去認識。因此,依照自己的知識和經(jīng)驗,合時調(diào)整解析問題的視角,有助于更好地掌握題意,找到自己熟悉的解題方向。(三合適構(gòu)造輔助元素:數(shù)學中,同一素材的題目,常?？梢杂胁幌嗤谋憩F(xiàn)形式;條件與結(jié)論(或問題之間,也存在著多種聯(lián)系方式。因此,合適構(gòu)造輔助元素,有助于改變題目的形式,溝通條件與結(jié)論(或條件與問題的內(nèi)在聯(lián)系,把陌生題轉(zhuǎn)變成熟悉題。數(shù)學解題中,構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的,常有的有構(gòu)造圖形(點、線、面、體,構(gòu)造算法,構(gòu)造多項式,構(gòu)造方程(組,構(gòu)造坐標系,構(gòu)造數(shù)列,構(gòu)造行列式,構(gòu)造等價性命題,構(gòu)造反例,構(gòu)造數(shù)學模型等等。二、簡單化策略所謂簡單化策略,就是當我們面對的是一道構(gòu)造復雜、難以下手的題目時,要設(shè)法把轉(zhuǎn)變成一道或幾道比較簡單、易于解答的新題,以便經(jīng)過對新題的察看,啟示解題思路,以簡馭繁,解出原題。簡單化是熟悉化的補充和發(fā)揮。一般說來,我們對于簡單問題常常比較熟悉或簡單熟悉。因此,在實質(zhì)解題時,這兩種策略常常是結(jié)合在一起進行的,可是著眼點有所不相同而已。解題中,推行簡單化策略的路子是多方面的,常用的有:追求中間環(huán)節(jié),分類察看談?wù)?簡化已知條件,合適分解結(jié)論等。1、追求中間環(huán)節(jié),挖掘隱含條件:在些構(gòu)造復雜的綜合題,就其生成背景而論,大多是由若干比較簡單的基本題,經(jīng)過合適組合抽去中間環(huán)節(jié)而組成的。因此,從題目的因果關(guān)系下手,追求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件,把原題分解成一組互相聯(lián)系的系列題,是實現(xiàn)復雜問題簡單化的一條重要路子。2、分類察看談?wù)?在些數(shù)學題,解題的復雜性,主要在于它的條件、結(jié)論(或問題包括多種不易識其他可能狀況。對于這類問題,選擇合適的分類標準,把原題分解成一組并列的簡單題,有助于實現(xiàn)復雜問題簡單化。3、簡單化已知條件:有些數(shù)學題,條件比較抽象、復雜,不太簡單下手。這時,不如簡化題中某些已知條件,甚至暫時撇開不論,先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題,對于解答原題,常常能起到穿針引線的作用。4、合適分解結(jié)論:有些問題,解題的主要困難,來自結(jié)論的抽象概括,難以直接和條件聯(lián)系起來,這時,不如猜想一下,可否把結(jié)論分解為幾個比較簡單的部分,以便各個擊破,解出原題。三、直觀化策略:所謂直觀化策略,就是當我們面對的是一道內(nèi)容抽象,不易捉摸的題目時,要想法把它轉(zhuǎn)變成形象鮮亮、直觀詳盡的問題,以便依賴事物的形象掌握題中所及的各對象之間的聯(lián)系,找到原題的解題思路。(一、圖表直觀:有些數(shù)學題,內(nèi)容抽象,關(guān)系復雜,給理解題意增添了困難,常常會由于題目的抽象性和復雜性,使正常的思想難以進行終究。對于這類題目,借助圖表直觀,利用表示圖或表格解析題意,有助于抽象內(nèi)容形象化,復雜關(guān)系條理化,使思想有相對詳盡的依賴,便于深入思慮,發(fā)現(xiàn)解題線索。(二、圖形直觀:有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目,用代數(shù)方法求解,道路曲折曲折,計算量偏大。這時,不如借助圖形直觀,給題中相關(guān)數(shù)量以合適的幾何解析,拓寬心題思路,找出簡捷、合理的解題路子。(三、圖象直觀:很多涉及數(shù)量關(guān)系的題目,與函數(shù)的圖象親近相關(guān),靈便運用圖象的直觀性,常常能以簡馭繁,獲取簡略,巧妙的解法。四、特別化策略所謂特別化策略,就是當我們面對的是一道難以下手的一般性題目時,要注意從一般退到特別,先察看包括在一般狀況里的某些比較簡單的特別問題,以便從特別問題的研究中,拓寬心題思路,發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或路子。五、一般化策略所謂一般化策略,就是當我們面對的是一個計算比較復雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特別問題時,要想法把特別問題一般化,找出一個可以揭穿事物實質(zhì)屬性的一般狀況的方法、技巧或結(jié)果,順利解出原題。六、整體化策略所謂整體化策略,就是當我們面對的是一