導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算資料

#1 4例3已知曲線尸資+孑求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程；求滿足斜率為1的曲線的切線方程.【規(guī)范解答】?.y‘=X2??在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k=4..??曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.①當(dāng)切點(diǎn)為P點(diǎn)時(shí)，由(1)可得，切線為4x-y-4=0,1②切點(diǎn)不是P點(diǎn)，令切點(diǎn)為Ax^3X0+3€ 3 3丿(x0疙)，則切線的斜率k=x0.,1 4….，?切線方程為y-3X3+§24

即y二X0X- +3.??點(diǎn)P(2,4)在切線上,二x2(x-x°),24???4=2x2-3X0+3,即X3-3xg+4=0,.X3+乂0-4乂0+4=0,???X0(X0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,.?.(X0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x°=2(舍)，此時(shí)切線方程為x-y+2=0綜上所述：所求切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，則切線的斜率為k=X0=1,解得x0=±1,,5…故切點(diǎn)為1,3，(-1,1)-€3丿5故所求切線方程為y-§=x-1和y-1=x+1,即3x-3y+2=0和x-y+2=0.五、課堂運(yùn)用,1)及鄰近一點(diǎn),1)及鄰近一點(diǎn)(1+Ax,1+Ay)，則金等于 Ax1、若函數(shù)f(X)=2x2-1的圖象上一點(diǎn)(1【規(guī)范解答】△y=2(1+Ax)2-1-1=2Ax2+4Ax,竺=4+2Ax.Ax2、設(shè)函數(shù)f3)在X處可導(dǎo)，則lim丄邕—從)—丄(%)等于—0 景,0 €【規(guī)范解答】limf(X—€x)-f(X)limf[X+(一星)]-f(X) 尸(X)lim o =—lim o …一f(x),0 €x €x,0 (—€x) 03、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):⑴y=(2x-3)5；y=y；3-x;y=ln(2x+5).【規(guī)范解答】(1)設(shè)u=2x-3，則y=(2x-3)5由y=U5與u=2x-3復(fù)合而成.?.y'=y'u'U’x=5u4?2二10u4=10(2x-3)4.1(2)設(shè)u=3-x，則y二寸3-x由y=U］與u=3-x復(fù)合而成.TOC\o"1-5"\h\z11 1.?.y'=y'?u'=*-k(-1)=_:?u-l .'、ux22，， 2 2 2\戸(3)設(shè)u=2x+5,則y=ln(2x+5)由y=lnu與u=2x+5復(fù)合而成.2.?.y'=y'U二.2== .uxuu2x+54、曲線y=x3-2x+1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為【規(guī)范解答】?.?y'[=3x2-2[=1丿x=1 x=1.?切線方程為y-0=1x(x-1)整理得y=x-1..?切線方程為y=x-1.【鞏固】1若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿足f，(l)=2,則f'(-l)二 【規(guī)范解答】由于f'(x)=4ax3+2bx =4a+2b=2,又f'(-x)=-f'(x),.?f(x)為R上的奇函數(shù)，因此，f'(-l)=-f'(l)=-2..?f(-1)==-22、如圖所示，函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=-2x+9,則f(4)+f'⑷的值為 ? Ey【規(guī)范解答】因?yàn)閒(4)=-2x4+9=1,f'(4)=-2,所以f(4)+f(4)=1+(-2)=-1.???f(4)+F(4)的值為-1.3、曲線C:y=xlnx在點(diǎn)M(e,e)處的切線方程為 【規(guī)范解答】因?yàn)閥'=Inx+x?x=lnx+1,-e.所以在點(diǎn)M處的切線的斜率為lne+1=2,所以在點(diǎn)M(e,e)處的切線方程為y-e=2(x-e)，即為y-e._工+14、若曲線尸一二？在x二l處的切線與直線x+by+l=O垂直，則實(shí)數(shù)b的值為 ?【規(guī)范解答】-3y{= _1=1因?yàn)?"新，所以在x二l處的切線斜率為-3,又切線與x+by+l=O垂直，所以力3,解得b=-3..??答案為-3【拔高】1、已知點(diǎn)P在曲線y=f上,a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則,的取值范圍是 ex+1【規(guī)范解答】y'=———4ex——=———4——,e2x+2ex+1 ex+2+了ex?..ex++…2,ex?.?T<y,<0,即-1<tana<0...,G[-3^，兀）.42、若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【規(guī)范解答】1由題意可知該函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x>0｝，且F(x)=2ax+-.x因?yàn)榍€存在垂直于y軸的切線，故此時(shí)斜率為0,1問題轉(zhuǎn)化為x>0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f'(x)=2ax+-存在零點(diǎn).x11令2ax+—二0,即2ax2+1=0，即X2=x 2a顯然只有a<0,方程2ax2+1=0才有正實(shí)數(shù)根，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<0.3、已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx，且若方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根為±1，求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.【規(guī)范解答】由題設(shè)的三個(gè)條件"f(-1)=-1,f'(1)=0,f'(-1)二0"列方程組可解得a、b、c的值.'/f(-1)—-1,.，.-a+b-c=-1,即a_b+c=1.①又?.?f'(x)—3ax2+2bx+c,f'(x)—。的實(shí)數(shù)根為±1,.3a+2b+c—0,②，且3a-2b+c—0,③1 3--r3+-r=0由f(x)=0,得2 2聯(lián)業(yè)方程①②③，解得a=2,b=0,立，解得x=0,或--r3+-r=0由f(x)=0,得2 24、過點(diǎn)P(-1,0)作曲線C:y=e*的切線，切點(diǎn)為T,設(shè)T在x軸上的投影是點(diǎn)H，過點(diǎn)H再作曲線C的切線，切點(diǎn)為T，設(shè)T在x軸1 1 1 1 2 2上的投影是點(diǎn)H，…，依次下去，得到第n,1(ngN)個(gè)切點(diǎn)T?則點(diǎn)T的坐標(biāo)為 -2 n,1 n,1【規(guī)范解答】設(shè)T1(X],exi),此處的導(dǎo)數(shù)值為ex1,故切線方程為y-ex1=ex1(x-x1)，代入點(diǎn)P(-1,0)可得0-ex1=ex1(-1-x1),解得X]=0,即"(0,1),H1(0,0),同理可得過點(diǎn)H1再作曲線C的切線方程為y-ex2=ex2(x-x2)，代入點(diǎn)H1(0,0),可得0-ex2二ex2(0-x2)，可解得x2=1,故T2(1,e),H2(1,0),依次下去，可得Tn+]的坐標(biāo)為(n,en)六、課程小結(jié)準(zhǔn)確理解曲線的切線，需注意的兩個(gè)方面：直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn).曲線未必在其切線的"同側(cè)"，如曲線y=x3在其過(0,0)點(diǎn)的切線y=0的兩側(cè).曲線的切線的求法：若已知曲線過點(diǎn)P(x0,y0)，求曲線過點(diǎn)P的切線則需分點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解.⑴點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)的切線方程為y-y廣f'(x0)(x-x0).(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)不是切點(diǎn)時(shí)可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P'(X],f(xj)；第二步：寫出過P,(x1,f(xj)的切線方程為y-f(X])=f,(x1)(x-X]);第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x