場(chǎng)論與數(shù)理方程

場(chǎng)論與數(shù)理方程第1頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四微分方程常微分方程偏微分方程（其中x表示位置，t表示時(shí)間）（其中x表示大小，n表示方向）第2頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程：用數(shù)學(xué)方法研究物理現(xiàn)象的偏微分方程。經(jīng)典方程 波動(dòng)方程 熱傳導(dǎo)方程 調(diào)和方程第3頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)物理方程的發(fā)展對(duì)流擴(kuò)散方程奇異攝動(dòng)方程彈性力學(xué)第4頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)物理方程的解法分析解法分離變量法積分變換法古典解行波法數(shù)值解法差分方法有限元數(shù)值解多尺度第5頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)§1.1基本方程的建立一、弦振動(dòng)方程例1：設(shè)一長(zhǎng)為l的均勻柔軟的細(xì)弦，導(dǎo)出弦的微小的橫振動(dòng)方程橫振動(dòng)：1.在同一平面內(nèi)振動(dòng)

2.振向與弦向垂直第6頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

作用于小段的橫向合力應(yīng)該為零：

（1）僅考慮微小的橫振動(dòng)，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級(jí)數(shù)展開式有

第7頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為

（2）第8頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注意到:故由上圖得這樣，(1)和(2)簡(jiǎn)化為（3）（4）第9頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識(shí)有下式成立

(6)因此第10頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

（7）上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)稱為弦振動(dòng)方程．

其中討論：（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（8）

稱式（8）為一維弦振動(dòng)方程（一維波動(dòng)方程）第11頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(2)如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則式(2)應(yīng)該改寫為