圖像處理中的正交變換

圖像處理中的正交變換第1頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換：非周期的函數(shù)（曲線有限情況下）也可以用正弦和（或余弦）乘以加權(quán)函數(shù)的積分來(lái)表示。這種情況下的公式就是傅里葉變換。其重要特性之一就是用傅里葉級(jí)數(shù)或變換表示的函數(shù)特征可以完全通過(guò)傅里葉反變換來(lái)重建，不丟失任何信息。第2頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換與頻率域：傅里葉變換是將函數(shù)基于頻率分成不同的成分，使我們可以通過(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。（傅里葉變換被比作“數(shù)學(xué)的棱鏡”）第3頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.1引言1.圖像變換的目的：（1）使圖像處理問(wèn)題簡(jiǎn)化；（2）有利于圖像特征提取；（3）有助于從概念上增強(qiáng)對(duì)圖像信息的理解。2.圖像變換特點(diǎn)：二維正交變換；正交變換必須是可逆的；正交變換和反變換的算法不能太復(fù)雜。第4頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正交變換的圖像特點(diǎn)：

在變換域中，圖像能量集中分布在低頻率成分上，邊緣和線信息反映在高頻率成分上。3.正交變換應(yīng)用：

圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等。4.常用圖像變換算法：

二維傅里葉變換（重點(diǎn)）、沃爾什——哈達(dá)瑪變換、離散余弦變換、小波變換等。第5頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.1.1函數(shù)的傅里葉變換傅里葉變換是把圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，即將空間域中復(fù)雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻率域中簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算。應(yīng)用：在頻率域中可以有效的實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)、特征提取、圖像恢復(fù)、紋理分析與水印嵌入等。1.傅里葉變換的定義：第6頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注意：正反傅里葉變換的唯一區(qū)別是冪的符號(hào)不同。幾個(gè)術(shù)語(yǔ)：傅里葉幅度譜、相位譜、能量譜第7頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜二維傅里葉變換對(duì)：二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜分別為：第8頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例：高斯函數(shù)的傅里葉變換高斯函數(shù)的傅里葉變換仍然是高斯變換。第9頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.離散傅里葉變換（DFT）一維離散傅里葉變換對(duì)定義：離散傅里葉變換（DFT）離散傅里葉反變換（IDFT）第10頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.二維離散傅里葉變換二維傅里葉變換為：在圖像處理中,一般選擇方陣,即取M=N第11頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四a.原始圖像b.離散傅立葉頻譜二維圖像及其離散傅立葉頻譜的顯示第12頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.1.2傅里葉變換的性質(zhì)1.共軛對(duì)稱性和周期性fo(t)為實(shí)奇函數(shù)。fe(t)為實(shí)偶函數(shù)。第13頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（ｉ）實(shí)偶函數(shù)可見，實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是實(shí)偶函數(shù)。第14頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（ii）實(shí)奇函數(shù)可見，實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換是虛奇的。第15頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

由(i)，(ii)可知，傅里葉變換不改變函數(shù)的奇偶性，但對(duì)虛實(shí)性有影響，也就是說(shuō)，偶函數(shù)的傅里葉變換不引入系數(shù)，虛實(shí)性保持不變；而奇函數(shù)的傅里葉變換將引入系數(shù)-j，從而改變虛實(shí)性，即“奇變偶不變”。結(jié)論：第16頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（iii）實(shí)函數(shù)具有偶的實(shí)部和奇的虛部（稱為Hermite函數(shù)）第17頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（Hermite）函數(shù)具有共軛對(duì)稱性：Fe(s)為偶函數(shù)；Fo(s)為奇函數(shù)。

傅里葉變換和反變換均具有周期性第18頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.加法定理設(shè)兩個(gè)傅里葉變換對(duì)：第19頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.位移定理

描述坐標(biāo)平移（原點(diǎn)移動(dòng)）對(duì)變換的影響。結(jié)論：函數(shù)位移不會(huì)改變其傅立葉變換的模（幅值），但是會(huì)改變實(shí)部與虛部之間的能量分布，其結(jié)果是產(chǎn)生一個(gè)與角頻率和位移量均成正比的相移。第20頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.相似性定理（尺度變換）描述函數(shù)自變量的尺度變化對(duì)其傅里葉變換的影響。第21頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四傅立葉變換的比例性實(shí)例a)比例尺度展寬前的頻譜b)比例尺度展寬后的頻譜第22頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四５．相關(guān)定理（卷積定理）傅里葉變換的優(yōu)勢(shì)：在一個(gè)域中的卷積計(jì)算可以在另一個(gè)域中做乘法計(jì)算，效果相同。第23頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上式稱為帕斯維爾（Parseval）等式，它表明：變換函數(shù)與原函數(shù)具有相同的能量。也稱能量保持定理。第24頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四7.二維傅里葉變換的分離性

設(shè)二維傅里葉變換對(duì)為：第25頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由分離性可知：一個(gè)二維傅里葉變換可以由連續(xù)兩次運(yùn)用一維傅里葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。第26頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8．旋轉(zhuǎn)性質(zhì)第27頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性原圖像原圖像的傅立葉頻譜

旋轉(zhuǎn)后的圖像旋轉(zhuǎn)后圖像的傅立葉頻譜第28頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四９．平均值第29頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四３.1.4 快速傅里葉變換（FFT）

逐次加速法的快速傅里葉變換算法：第30頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第31頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上式表明：一個(gè)N點(diǎn)的變換可通過(guò)將原始表達(dá)式分成兩半來(lái)計(jì)算，用式（1）、（2）計(jì)算2個(gè)（N/2）點(diǎn)的變換得到Feven(u)和Fodd(v),在將它們代入（3）、（4），得到F(u)。第32頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第33頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四偶數(shù)區(qū)奇數(shù)區(qū)第34頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第35頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四輸入數(shù)據(jù)2點(diǎn)變換4點(diǎn)變換8點(diǎn)變換注意：輸入數(shù)據(jù)的排列順序采用“位對(duì)換”原則。F(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)000001010011100101110111第36頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四“位對(duì)換原則”：F(0)中，0的二進(jìn)制數(shù)為000，則它的左位與右位對(duì)調(diào)后為000，即f(0)。F(1)中，1的二進(jìn)制數(shù)為001，則它的左位與右位對(duì)調(diào)后為100，即f(4)。F(2)中，2的二進(jìn)制數(shù)為010，則它的左位與右位對(duì)調(diào)后為010，即f(2)。F(3)中，3的二進(jìn)制數(shù)為011，則它的左位與右位對(duì)調(diào)后為110，即f(6)。第37頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.5離散圖像變換的一般表達(dá)式圖像變換的核：第38頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第39頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四３.2離散余弦變換(DCT)

應(yīng)用：主要用于圖像壓縮編碼、數(shù)字水印。1.一維離散余弦變換及其反變換定義：第40頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.二維離散余弦及其反變換定義：第41頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四 a)原始圖像b)離散余弦變換后的頻譜二維圖像及其離散余弦變換頻譜的顯示快速離散余弦變換：

1）先將f(x,y)進(jìn)行快速傅里葉變換，再取其實(shí)部。

2）代數(shù)分解法第42頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.DCT變換特點(diǎn)：與DFT不同的是，DCT是實(shí)值的，它廣泛應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理，特別是語(yǔ)言和圖像的數(shù)據(jù)壓縮。實(shí)例：離散余弦變換在圖像壓縮中的應(yīng)用a)未經(jīng)壓縮的原始圖像

b)采用JPEG方式壓縮存儲(chǔ)的圖像第43頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四３.3沃爾什—哈達(dá)瑪變換（Walsh-Hadamard）1.沃爾什（DWT）變換：（1）一維（1-D）離散沃爾什變換對(duì)： 第44頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第45頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第46頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）二維（2-D）離散沃爾什變換對(duì)：第47頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例：一個(gè)二維數(shù)字圖像矩陣為：求圖像的二維沃爾什變換。解：第48頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由例題可知：二維沃爾什變換具有某種能量集中的特性，而且原始數(shù)字中數(shù)字越均勻分布，變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此，應(yīng)用二維沃爾什變換可以壓縮圖像信息。第49頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.哈達(dá)瑪（DHT）變換（1）一維哈達(dá)瑪變換：一維哈達(dá)瑪變換只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)：。第50頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）二維哈達(dá)瑪變換

二維哈達(dá)瑪正變換和反變換具有相同的形式。第51頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四哈達(dá)瑪變換具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系：最低階的哈達(dá)瑪矩陣核為：n階哈達(dá)瑪矩陣與n-1階哈達(dá)瑪矩陣的遞推關(guān)系為：例如：n=2時(shí)的哈達(dá)瑪矩陣核為：第52頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）沃爾什——哈達(dá)瑪變換沃爾什和哈達(dá)瑪變換的使用以及術(shù)語(yǔ)在圖像處理的文獻(xiàn)中是混在一起的，所以常常用術(shù)語(yǔ)沃爾什——哈達(dá)瑪變換來(lái)代表它們的任一種變換。（4）哈達(dá)瑪遞推矩陣哈達(dá)瑪變換可用矩陣表示為：第53頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第54頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第55頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例：求下列圖像矩陣的二維哈達(dá)瑪(DHT)變換。解：第56頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

３.4霍特林（K-L）變換

K-L變換也稱為特征矢量變換、主分量變換或霍特林(Hotelling)變換，它是基于圖像統(tǒng)計(jì)特性的變換。特點(diǎn)：K-L變換能夠充分去除相關(guān)性，把有用的信息集中到數(shù)目盡可能少的主分量中。應(yīng)用：主要用于圖像壓縮、圖像旋轉(zhuǎn)、圖像增強(qiáng)、遙感多光譜圖像的特征提取與信息融合等方面。K-L變換定義第57頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義：設(shè)x=[x1x2…xN]T是一個(gè)N維隨機(jī)列矢量，其各分量的二階矩陣存在，進(jìn)一步假設(shè)得到M個(gè)矢量采樣x1,x2,…,xM。（在實(shí)際應(yīng)用中，將圖像看成隨機(jī)失量）例：具有N個(gè)像素的圖像f(n,m)在某個(gè)通信信道傳輸了

M

次，由于受到隨機(jī)干擾，接收到的是一個(gè)圖像樣本集合{f1(m,n)，f2(m,n)，…，fM(m,n)}。對(duì)第i次獲得的圖像fi(m,n),可用一個(gè)N維隨機(jī)列矢量xi表示，從而圖像樣本集合可表示為{x1,x2,…xM}。第58頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

其中：mx=E[X]為列矢量x

的均值矢量；

UT

為矢量X

協(xié)方差矩陣Cx

的正交矩陣，使Cx

對(duì)角化；隨機(jī)列矢量x=[x1x2…xN]T

的K-L

變換定義為：

y=UT(x-mx)矢量X的協(xié)方差矩陣：第59頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四K-L變換的反變換為：

在實(shí)際應(yīng)用中，Cx與mx可通過(guò)樣本x1,x2,…xM來(lái)估計(jì)，即：K-L變換的性質(zhì)：K-L變換能夠充分去除相關(guān)性；K-L反變換可以精確重建x；K-L變換是在均方誤差最小意義下的最優(yōu)變換。第60頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四傅里葉變換：DFT是最常用的離散圖像變換，特別是在圖像處理中可以進(jìn)行二維數(shù)字濾波處理和傅里葉譜分析，因而DFT在圖像增強(qiáng)、特征提取分析等方面有著廣泛應(yīng)用。但DFT需要復(fù)數(shù)運(yùn)算，較難實(shí)時(shí)應(yīng)用。離散余弦變換：DCT是目前應(yīng)用較廣泛的圖像變換，特別在圖像通信中，是圖像壓縮方法中較理想的變換。DWT變換計(jì)算最簡(jiǎn)單；K-L變換計(jì)算最復(fù)雜，但誤差最小。DCT變換誤差接近K-L變換。

DFT、DCT、DWT和K-L變換比較：第61頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.5拉東(Radon)變換

建立在一個(gè)半圓柱的表面，

計(jì)算圖像在某一指定角度射線方向上投影的變換方法。二維函數(shù)f(x,y)的投影是其在指定方向上的線積分。是圖像重建的基礎(chǔ)。拉東空間：半圓柱的表面，半徑為1的無(wú)窮長(zhǎng)圓柱，測(cè)量沿圓柱從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的長(zhǎng)度，測(cè)量相對(duì)與某個(gè)參考位置的旋轉(zhuǎn)角。第62頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義：沿任意角度對(duì)函數(shù)進(jìn)行投影，即函數(shù)f(x,y)的Radon變換為：性質(zhì)：拉東變換具有線性、平移性、相似性、對(duì)稱性及微分和卷積計(jì)算。第63頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四３.6

小波變換簡(jiǎn)介３.6.１小波變換概念

小波變換是一種在有限寬度的范圍內(nèi)進(jìn)行的正交的或非正交的變換。小波變換的基函數(shù)是一種不僅在頻率上而且在位置上變化的有限的波形函數(shù)。應(yīng)用

小波變換在信號(hào)分析、語(yǔ)言合成、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、CT成象、地震勘探、大氣與海洋波的分析和天體力學(xué)等方面都已取得具有科學(xué)意義的應(yīng)用價(jià)值的重要成果。第64頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特點(diǎn)：

小波（Wavelet），即小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而“波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅呈正負(fù)相間的振蕩形式。小波變換同時(shí)具有時(shí)域性和頻域性。

傅里葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間——頻率局部分析。小波變換使上述問(wèn)題迎刃而解。小波分析是通過(guò)一個(gè)小波基函數(shù)的伸縮和平移來(lái)產(chǎn)生一組基函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。第65頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四小波變換適用：小波變換同傅立葉變換一樣，也存在一維、二維連續(xù)小波變換和離散小波變換。原則上能用傅里葉變換分析的地方均可用小波分析，甚至能獲得更好的結(jié)果。３.6.２連續(xù)小波變換1.一維連續(xù)小波變換定義第66頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第67頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第68頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）（2）第69頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）函數(shù)應(yīng)有速降特性（衰減性），即在一個(gè)很小的區(qū)間外，函數(shù)為零。（2）函數(shù)應(yīng)有波動(dòng)性（振蕩性），即平均值為零

（3）函數(shù)具有帶通型，即（4）函數(shù)具有能量有限性。可見：小波是一個(gè)具有振蕩性和迅速衰減的波。小波應(yīng)滿足的條件（特征）：第70頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.一維小波變換的基本性質(zhì)（1）線性小波變換是線性變換，它把一維信號(hào)分解成不同尺度的分量。（2）平移和伸縮的共變性連續(xù)小波變換在任何平移之下是共變的，若是一對(duì)小波變換關(guān)系，則第71頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）微分運(yùn)算第72頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）冗余性：小波基函數(shù)不唯一。信號(hào)f(x)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而傅里葉變換與逆變換存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；小波變換的基函數(shù)有多種可能的選擇。（5）小波逆變換存在性（重構(gòu)性）小波變換是一種信息保持型的可逆變換，原來(lái)信號(hào)的信息完全保留在小波變換系數(shù)中。（6）能量比例性在允許條件下，小波變換幅度的平方的積分與信號(hào)能量成正比。第73頁(yè)，共82