0二元一次方程組應(yīng)用題的常見(jiàn)類(lèi)型分析

本文格式為Word版，下載可任意編輯——0二元一次方程組應(yīng)用題的常見(jiàn)類(lèi)型分析

二元一次方程組應(yīng)用摸索

二元一次方程組是最簡(jiǎn)單的方程組，其應(yīng)用廣泛，特別是生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的大量問(wèn)題，大多需要通過(guò)設(shè)元、列二元一次方程組來(lái)加以解決，現(xiàn)將常見(jiàn)的幾種題型歸納如下：

一、數(shù)字問(wèn)題

例1一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；假使交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．

分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個(gè)位上的數(shù)為y，則這個(gè)兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：

原兩位數(shù)新兩位數(shù)十位上個(gè)位上對(duì)應(yīng)的兩位的數(shù)x的數(shù)y數(shù)10x+y10x+y=x+y+9相等關(guān)系yｘ10y+x10y+x=10x+y+27?10x?y?x?y?9?x?1解方程組?10y?x?10x?y?27，得?y?4，因此，所求的兩位數(shù)是

??14．

點(diǎn)評(píng)：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對(duì)有些問(wèn)題是無(wú)能為力的，象此題，假使直接設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x，或只設(shè)十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于x的方程．一

-1-

般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問(wèn)題，一般應(yīng)設(shè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)為“元〞，然后列多元方程組解之．

二、利潤(rùn)問(wèn)題例2

一件商品假使按定價(jià)打九折出售可以

盈利20%；假使打八折出售可以盈利10元，問(wèn)此商品的定價(jià)是多少？

分析：商品的利潤(rùn)涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和賣(mài)出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，則打九折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.

?0.9x?y?20%y?x?200解方程組?0.8x?y?10，解得?y?150，

??因此，此商品定價(jià)為200元．

點(diǎn)評(píng)：商品銷(xiāo)售盈利百分?jǐn)?shù)是相對(duì)于進(jìn)價(jià)而言

的，不要誤為是相對(duì)于定價(jià)或賣(mài)出價(jià)．利潤(rùn)的計(jì)算一般有兩種方法，一是：利潤(rùn)=賣(mài)出價(jià)-進(jìn)價(jià)；二是：利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率（盈利百分?jǐn)?shù)）．特別注意“利潤(rùn)〞和“利潤(rùn)率〞是不同的兩個(gè)概念．

三、配套問(wèn)題

例3某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓50個(gè)或螺母20個(gè)，假使一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺

-2-

栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套？

分析：要使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來(lái)的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)×2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)×1．因此，設(shè)安排ｘ人生產(chǎn)螺栓，ｙ人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓50ｘ個(gè)，螺母20ｙ個(gè)，依題意，得

?x?y?120?x?20?，解之，得?y?100．50x?2?20y?1??故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母．

點(diǎn)評(píng)：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一，如何分派生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見(jiàn)的問(wèn)題，解決配套問(wèn)題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見(jiàn)的配套問(wèn)題的等量關(guān)系是：

（1）“二合一〞問(wèn)題：假使ａ件甲產(chǎn)品和ｂ件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的ｂ倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的ａ倍，即

甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)?ab；

（2）“三合一〞問(wèn)題：假使甲產(chǎn)品ａ件，乙產(chǎn)

品ｂ件，丙產(chǎn)品ｃ件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的相等關(guān)系式是：

四、行程問(wèn)題

例4在某條高速馬路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，A到B

-3-

甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)丙產(chǎn)品數(shù)??abc．

的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以一致的速度駕車(chē)沿高速馬路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車(chē)接到指揮中心的命令后馬上以一致的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)ィY(jié)果往B站駛來(lái)的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車(chē)堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過(guò)3小時(shí)后才被另一輛巡邏車(chē)追趕上．問(wèn)巡邏車(chē)和犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度各是多少？

設(shè)巡邏車(chē)、犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度分別為x、y千米/時(shí)，則

??x?y?40?x?80?3?x?y??120?，整理，得?x?y?120，解得?y?40，x?y?120????因此，巡邏車(chē)的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度是40千米/時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：“相向而遇〞和“同向追及〞是行程問(wèn)題中最常見(jiàn)的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個(gè)相等關(guān)系，這個(gè)關(guān)系涉及到兩者的速度、原來(lái)的距離以及行走的時(shí)間，具體表現(xiàn)在：

“相向而遇〞時(shí)，兩者所走的路程之和等于它們?cè)瓉?lái)的距離；“同向追及〞時(shí)，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們?cè)瓉?lái)的距離．

五、貨運(yùn)問(wèn)題

典例5某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝多少?lài)崳?/p>

-4-

分析：“充分利用這艘船的載重和容積〞的意思是“貨物的總重量等于船的載重量〞且“貨物的體積等于船的容積〞．設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則

?x?y?300?x?y?300?x?150?，整理，得?3x?y?600，解得?y?150，?6x?2y?1200??因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸．

點(diǎn)評(píng)：由實(shí)際問(wèn)題列出的方程組一般都可以再化簡(jiǎn)，因此，解實(shí)際問(wèn)題的方程組時(shí)要注意先化簡(jiǎn)，再考慮消元和解法，這樣可以減少計(jì)算量，增加確鑿度．化簡(jiǎn)時(shí)一般是去分母或兩邊同時(shí)除以各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)或移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等．

六、工程問(wèn)題

例6某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，依照這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150

4套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶(hù)要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的5；現(xiàn)在

工廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？

分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得

4?150y?x?x?3375?5?，解得?y?18.

??200?y?1??x?25?點(diǎn)評(píng)：工程問(wèn)題與行程問(wèn)題相類(lèi)似，關(guān)鍵要抓好三個(gè)基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時(shí)間×工作效率〞以及它們的變式“工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間〞．其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無(wú)關(guān)時(shí)，尋常用“1〞表示總工作量．

-5-

《二元一次方程組實(shí)際問(wèn)題》賞析

列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答〞五步，即：

（1）審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；

（2）找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；

（3）列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；

（4）解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；

（5）答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出答案.

例1（2023年南京市）某停車(chē)場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車(chē)的停車(chē)費(fèi)為6元/輛，小型汽車(chē)的停車(chē)費(fèi)為4元/輛.現(xiàn)在停車(chē)場(chǎng)有50輛中、小型汽車(chē)，這些車(chē)共繳納停車(chē)費(fèi)230元，問(wèn)中、小型汽車(chē)各有多少輛？

解析：設(shè)中型汽車(chē)有x輛，小型汽車(chē)有y輛.由題意，得

?x?y?50,?6x?4y?230.?解得，??x?15,?y?35.

-6-

故中型汽車(chē)有15輛，小型汽車(chē)有35輛.

例2（2023年四川省眉山市）某蔬菜公司收購(gòu)蔬菜進(jìn)行銷(xiāo)售的獲利狀況如下表所示：銷(xiāo)售方式直接銷(xiāo)售每噸獲利（元）現(xiàn)在該公司收購(gòu)了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時(shí)進(jìn)行）．

（1）假使要求在18天內(nèi)全部銷(xiāo)售完這140噸蔬菜，請(qǐng)完成以下表格：

銷(xiāo)售方式全部直接銷(xiāo)售獲利（元）全部粗加工盡量精加工，剩余部后銷(xiāo)售分直接銷(xiāo)售100250粗加工后銷(xiāo)售精加工后銷(xiāo)售450（2）假使先進(jìn)行精加工，然后進(jìn)行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應(yīng)如何分派加工時(shí)間？

解：（1）全部直接銷(xiāo)售獲利為：100×140=14000（元）；全部粗加工后銷(xiāo)售獲利為：250×140=35000（元）；

盡量精加工，剩余部分直接銷(xiāo)售獲利為：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.

（2）設(shè)應(yīng)安排x天進(jìn)行精加工，y天進(jìn)行粗加工.

?x?y?15,由題意，得?

6x?16y?140.?-7-

?x?10,解得，?

y?5.?故應(yīng)安排10天進(jìn)行精加工，5天進(jìn)行粗加工.

為滿(mǎn)足市民對(duì)優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學(xué)決定改變辦學(xué)條件，計(jì)劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.計(jì)劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實(shí)施中為擴(kuò)大綠