10招降服變力做功

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功是高中物理的重要概念，對(duì)力做功的求解也是高考物理的重要考點(diǎn)，恒力的功可以用公式直接求解，但變力做功就不能直接求解了，需要通過(guò)一些特別的方法，本文結(jié)合具體的例題，介紹十種解決變力做功的方法。

一.動(dòng)能定理法

例1.如圖1所示，質(zhì)量為m的物體從A點(diǎn)沿半徑為R的粗糙半球內(nèi)表面以vA的速度開(kāi)始下滑，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度變?yōu)関B，求物體從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，摩擦力所做的功是多少？

圖1

分析與解：物體由A滑到B的過(guò)程中，受重力G、彈力

FN和摩擦力Ff三個(gè)力的作用，因而有

mv2v2Ff??FN，F(xiàn)N?mgcos???mgcos?，式中?為動(dòng)摩擦因數(shù)，v為物體在某點(diǎn)的速度，?，即FN?mRR為物塊與球心的連線與豎直方向的夾角。分析上式可知，物體由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，摩擦力Ff是變力，是變力做功問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理有W外??Ek，在物體由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，彈力FN不做功；重力在物體由A運(yùn)動(dòng)

到C的過(guò)程中對(duì)物體所做的正功與物體從C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中對(duì)物體所做的負(fù)功相等，其代數(shù)和為零。因此，物

體所受的三個(gè)力中摩擦力在物體由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中對(duì)物體所做的功，就等于物體動(dòng)能的變化量，則有：

W外?Wf??Ek

即Wf11?mvB2?mvA222可見(jiàn)，假使所研究的物體同時(shí)受幾個(gè)力的作用，而這幾個(gè)力中只有一個(gè)力是變力，其余均為恒力，且這些恒力

所做的功和物體動(dòng)能的變化量簡(jiǎn)單計(jì)算時(shí)，此類方法解決問(wèn)題是行之有效的。

小結(jié)：利用動(dòng)能定理可以求變力做功，但不能用功的定義式直接求變力功，并且用動(dòng)能定理只要求始末狀態(tài)，不要求中間過(guò)程。這是動(dòng)能定理比牛頓運(yùn)動(dòng)定律優(yōu)越的一個(gè)方面。

二.微元求和法

例2.如圖2所示，某人用力F轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R的轉(zhuǎn)盤，力F的大小不變，但方向始終與過(guò)力的作用點(diǎn)的轉(zhuǎn)盤的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一周該力做多少功。

圖2

分析與解：在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一周過(guò)程中，力F的方向時(shí)刻變化，但每一瞬時(shí)力F總是與該瞬時(shí)的速度同向（切線方向），即F在每瞬時(shí)與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)過(guò)的微小位移?s1、?s2、?s3……?sn都與當(dāng)時(shí)的F方向同向，因而在轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中，力F做的功應(yīng)等于在各微小位移段所做功的代數(shù)和，即：

W?(F?s1?F?s2?F?s3?…?F?sn)?F(?s1??s2??s3?…??sn)?F·2?R小結(jié)：變力始終與速度在同一直線上或成某一固定角度時(shí)，可把曲線運(yùn)動(dòng)或往復(fù)運(yùn)動(dòng)的路線拉直考慮，在各小段位移上將變力轉(zhuǎn)化為恒力用W?Fscos?計(jì)算功，而且變力所做功應(yīng)等于變力在各小段所做功之和，化曲為直的思想在物理學(xué)研究中有很重要的應(yīng)用，研究平拋運(yùn)動(dòng)和單擺的運(yùn)動(dòng)時(shí)，都用到了這種思想。

三.功能原理法

假使除重力和彈力之外的其他力對(duì)物體也做功，系統(tǒng)的機(jī)械能將不再守恒，而且這些力做了多少功、系統(tǒng)就有多少機(jī)械能發(fā)生轉(zhuǎn)化，這就是功能原理。假使這些力是變力或只有一個(gè)變力做功，而其他力對(duì)物體做的功和系統(tǒng)機(jī)械能的變化量簡(jiǎn)單求得，就可以用功能原理求解變力做功問(wèn)題。

例題同例1，求物體從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中產(chǎn)生了多少熱量。

分析與解：以AB為零勢(shì)能點(diǎn)，則由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中機(jī)械能變化為?E理，有能的轉(zhuǎn)化過(guò)程，由機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能?Q??E11?mvB2?mvA2，則由功能原2211?mvB2?mvA2。22小結(jié)：在涉及重力、彈力之外的變力做功問(wèn)題時(shí)，只要系統(tǒng)的機(jī)械能的變化簡(jiǎn)單求得，用功能原理求解該變力

所做的功比較便利。

四.平均力法

例3.用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)木塊對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘釘入木塊內(nèi)的深度成正比。在鐵錘擊第一次時(shí)，能把鐵釘擊入木塊內(nèi)1cm，問(wèn)擊其次次時(shí)，能擊入多深？（設(shè)鐵錘每次做功都相等）

分析與解：鐵錘每次做功都是戰(zhàn)勝鐵釘阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比。F?kx，可用平均阻力來(lái)代替。

如圖3所示，第一次擊入深度為x1，平均阻力為F11?kx1，做功為：2

圖3

1W1?F1x1?kx12

2其次次擊入深度為x1到x2，平均阻力為：

1F2?k(x2?x1)

2位移為x2?x1做功為：

1W2?F2(x2?x1)?k(x22?x12)

2兩次做功相等：W1解后有：x2?W2

?2x1?141.cm

?x?x2?x1?041.cm

小結(jié)：當(dāng)已知力為線性變化的力時(shí)，我們可以求平均力，然后再利用功的公式進(jìn)行求解。類似的例子還有好多，像求彈簧彈力做功時(shí)，就可以用這種方法。

五.圖象法例題同例3

分析與解：由于阻力F?kx，以F為縱坐標(biāo)，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標(biāo)，作出F?x圖象，如圖4所示，函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對(duì)鐵釘做的功。

圖4

由于兩次做功相等，故有：

S1?S2（面積）

即

121kx?k(x2?x1)(x2?x1)212?x?x2?x1?041.cm

小結(jié)：一個(gè)看似繁雜的變力做功問(wèn)題，用常規(guī)方法無(wú)從下手，但通過(guò)圖象變換，就使得解題過(guò)程簡(jiǎn)單、明白。

可見(jiàn)，圖象法是一個(gè)很好的解題方法，值得把握。

六.用公式W=Pt求解

例4.質(zhì)量為m的機(jī)車，以恒定功率從靜止開(kāi)始起動(dòng)，所受阻力是車重的k倍，機(jī)車經(jīng)過(guò)時(shí)間t速度達(dá)到最大值v，求機(jī)車的功率和機(jī)車所受阻力在這段時(shí)間內(nèi)所做的功。

分析與解：機(jī)車的功率恒定，從靜止開(kāi)始達(dá)到最大速度的過(guò)程中，牽引力不斷減小，當(dāng)速度達(dá)到最大值時(shí)，機(jī)車所受牽引力達(dá)到最小值，與阻力相等。在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)車所受阻力可認(rèn)為是恒力，牽引力是變力，因此，機(jī)車做功不能直接用W?Fscos?來(lái)求解，但可用公式W?Pt來(lái)計(jì)算。

根據(jù)題意，機(jī)車所受阻力

f?kmg，當(dāng)機(jī)車速度達(dá)到最大值時(shí)，機(jī)車功率為：

P?Fv?fv?kmgv

根據(jù)P?W，該時(shí)間內(nèi)機(jī)車牽引力做功為：W?Ptt根據(jù)動(dòng)能定理W外??Ek，得牽引力戰(zhàn)勝阻力做功為：

1Wf?W??Ek?kmgvt?mv2

2故阻力做功為：

1W'f??Wf?mv2?kmgvt

2小結(jié)：對(duì)于交通工具以恒定功率運(yùn)動(dòng)時(shí)，都可以根據(jù)W

七.能量守恒法

例5.如圖5所示，一勁度系數(shù)k=800N/m的輕彈簧兩端各焊接著一個(gè)質(zhì)量為m=12kg的物體。A、B樹(shù)立靜止在水平地面上，現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)0.4s，B剛要離開(kāi)地面。設(shè)整個(gè)過(guò)程彈簧都處于彈性限度內(nèi)（g取10m/s）求：

（1）此過(guò)程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此過(guò)程中力F所做的功。

2?Pt來(lái)求牽引力這個(gè)變力所做的功。

圖5

分析與解：（1）設(shè)A上升前，彈簧的壓縮量為x1，B剛要離開(kāi)地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x2，A上升的加速度為a。A原來(lái)靜止時(shí)，因受力平衡，有：

kx1?mg①

設(shè)施加向上的力，使A剛做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的最小拉力為F1，有：

F1?kx1?mg?ma②

B恰好離開(kāi)地面時(shí)，所需的拉力最大，設(shè)為F2，對(duì)A有：

F2?kx2?mg?ma對(duì)B有：kx2③④

?mg由位移公式，對(duì)A有：

at2x1?x2?2由①④式，得：

⑤

x1?x2?mg?015.mk⑥

2由⑤⑥式，解得a?375.m/s分別解②③得：

⑦

F1?45NF2?285N⑧⑨?x2，彈性勢(shì)能相等，由能量守恒知，外力做了功，將其他形式的能轉(zhuǎn)

（2）力作用的0.4s內(nèi)，在末狀態(tài)有x1

化為系統(tǒng)的重力勢(shì)能和動(dòng)能，即：

m(at)2WF?mg?x1?x2???495.J

2小結(jié)：當(dāng)我們分析一個(gè)物理過(guò)程時(shí)，不僅要看速度、加速度，還要分析能量轉(zhuǎn)化狀況。

八.機(jī)械能守恒法

例6.如圖6所示，質(zhì)量m為2kg的物體，從光滑斜面的頂端A點(diǎn)以v0?5m/s的初速度滑下，在D點(diǎn)與彈簧

接觸并將彈簧壓縮到B點(diǎn)時(shí)的速度為零，已知從A到B的豎直高度h?5m，求彈簧的彈力對(duì)物體所做的功。

圖6

分析與解：由于斜面光滑，故機(jī)械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力對(duì)物體做負(fù)功，彈簧的彈性勢(shì)能增加，且彈力做功的數(shù)值與彈性勢(shì)能的增加量相等。取B所在水平面為零參考面，彈簧原優(yōu)點(diǎn)D點(diǎn)為彈性勢(shì)能的零參考點(diǎn)，則

mv02對(duì)狀態(tài)A：EA?mgh?

2對(duì)狀態(tài)B：EB?W彈簧?0

由機(jī)械能守恒定律得：

W彈簧mv02?mgh??125J

2小結(jié)：對(duì)于涉及彈簧彈力做功的試題，一般我們都可以用機(jī)械能守恒定律求功。

九.轉(zhuǎn)變研究對(duì)象法

例7.如圖7所示，質(zhì)量為m的滑塊可以在光滑水平面上滑動(dòng)，滑塊與一不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，繩跨過(guò)一光滑的定滑輪（滑輪大小不計(jì)），另一端被人拉著，人的拉力大小、方向均不變，大小為F?50N，已知滑輪到水平面的高度為b?3m，AB的長(zhǎng)度a?4m，求滑塊從A被拉到B的過(guò)程中，外力對(duì)它所做的功。

圖7

分析與解：在此題中，只有繩子拉力對(duì)滑塊做功，該拉力大小雖然不變，但方向時(shí)刻改變（與水平方向的夾角逐漸增大），故屬于變力做功，不能直接求解。但假使將研究對(duì)象由滑塊轉(zhuǎn)變?yōu)槔K的另一端，由于人的拉力為恒力，所以是恒力做功，顯然這個(gè)恒力做功與繩子對(duì)滑塊拉力做功是相等的，故可以用人對(duì)繩子做的功代換繩子拉力對(duì)滑塊的功。則有W?Fs。由幾何關(guān)系可求得s，聯(lián)馬上得W?100J。

小結(jié)：把變力做功巧妙轉(zhuǎn)化為恒力做功也是一種很有效的求解方法。

十.利用W=qU

在勻強(qiáng)電場(chǎng)中移動(dòng)電荷的時(shí)候，可以直接根據(jù)恒力做功的公式求解。假使是在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中，由于電場(chǎng)力是變力，不能用功的定義式求解，但若已知電荷的電量和電場(chǎng)中兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，我們就可以用公式W?qU進(jìn)行求解。

例8.電場(chǎng)中有A、B兩點(diǎn)，它們的電勢(shì)分別為?A??100V，?B?200V，把電量q??20.?10?7C的電荷

從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，是