高二數(shù)學期中測試卷03(人教A2019)(選擇性必修第一冊第一章第二章第三章)(詳細解析)

高二數(shù)學期中測試卷03(人教A版2019)(選擇性必修第一冊第一章第二章第三章)(詳盡剖析版)高二數(shù)學期中測試卷03(人教A版2019)(選擇性必修第一冊第一章第二章第三章)(詳盡剖析版)高二數(shù)學期中測試卷03(人教A版2019)(選擇性必修第一冊第一章第二章第三章)(詳盡剖析版)期中測試卷03（本卷滿分150分,考試時間120分鐘）測試范圍:選擇性必修第一冊RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章一、單項選擇題:此題共8小題,每題5分,共40分．在每題給出的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的.1．已知兩個非零向量a(x1，y1，z1),b(x2，y2，z2),則這兩個向量在一條直線上的充要條件是()。A、a：|a|b：|b|B、x1x2y1y2z1z2C、x1x2y1y2z1z20D、存在非零實數(shù)k,使akb【正確答案】D【詳盡剖析】A選項,a：|a|表示a的單位向量e1,b：|b|表示b的單位向量e2,則e1e2a//b,但a//b不用然有e1e2,錯,B選項、C選項不能夠推出a//b,應選D。2．已知焦點在x軸上的雙曲線的焦距為23焦點到漸近線的距離為2則雙曲線的方程為()。,,x2y21B、x2y21C、y2x21D、y2x21A、2222【正確答案】B【詳盡剖析】c3,焦點到漸近線的距離為2,則b2,則a1,∴雙曲線方程為x2y21,應選B。23．若直線xmy2m與圓x2y22x2y10訂交,則實數(shù)m的取值范圍為()。A、(，)B、(，0)、(0，)D、(，0)(0，)C【正確答案】D【詳盡剖析】圓的標準方程為(x1)2(y1)21圓心C(1，1),半徑r1。,∵直線與圓訂交,∴|1m2m|1dr,解得m0或m應選D。1m20,4．點P(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡方程是()。A、(x2)2(y1)21B、(x2)2(y1)24C、(x2)2(y1)21D、(x4)2(y2)24【正確答案】A【詳盡剖析】設中點坐標為A(x，y),那么圓上一點設為B(x，y),知足x42x,x2x4,y22yy2y2依照條件x2y24,代入后獲得(2x4)2(2y2)24,化簡為:(x2)2(y1)21,應選A。5．若P、Q分別為直線3x4y120與6x8y50上隨意一點,則|PQ|的最小值為()。A、9B、29C、18D、2951055【正確答案】B【詳盡剖析】∵34120化為6x8y240,68,∴兩直線平行,將直線3x4y125由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離24529,即82,6210|PQ|的最小值為29,應選B。10x2y21(ab0)的左焦點F1,過點F1作傾斜角為30的直線與圓x2y226．已知橢圓C:2b2b訂交的弦a長為3b,則橢圓的離心率為()。1B、23D、3A、2C、224【正確答案】BF1傾斜角為30的直線方程為:y3c),即x3yc0,【詳盡剖析】過點(x3則圓心(0，0)到直線的距離:d|c|3c,由弦長公式可得:2b2c23b,124整理可得:b22,∴a2c22a22c221,e2,應選B。cc,,則:e227．已知點F是拋物線C:x22py的焦點,點F為拋物線C的對稱軸與其準線的交點,過F作拋物線C的切122線,切點為A,若點A恰幸虧以F1、F2為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()。A、21B、62C、62D、2122【正確答案】D【詳盡剖析】由題意,得F1(0，p)、F2(0，p),設過F2的拋物線C的切線方程為:ykxp,222x22pyp得x2p2聯(lián)立ykx2pkx0,2令422420222pkp得k1,即x2pxp0,,不如設A(p，p),由雙曲線的定義得2a|AF2||AF1|(21)p,2c|F1F2|p,2則該雙曲線的離心率為ep21,應選D。(21)p8．以以下列圖,ABCDA1B1C1D1是棱長為6的正方體,E、F分別是棱AB、BC上的動點,且AEBF。當A1、E、F、C1共面時,平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為()。A、1B、1523D、26C、25【正確答案】B【詳盡剖析】以點D為原點如圖建系,則A1(6，0，6)、D(0，0，0)、C1(0，6，6),由題意知:當E(6，3，0)、F(3，6，0)時,A1、E、F、C1共面,設平面A1DE的法向量為n1(x1，y1，z1),DA,DE(6，3，0),則n1DA16x16z10，，,1(606)n1DE6x13y10取x1,解得n(1，2，1),1設平面C1DF的法向量為n2(x2，y2，z2),DC1，，,DF(3，6，0),則n2DC16y26z20,(066)n2DF3x26y20取x22解得n2，，,,(211)設平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角為,則cos|cosn1，n2||n1n2|316,|n1||n2|62∴平面A1DE與平面C1DF所成銳二面角的余弦值為1,應選B。2二、多項選擇題:此題共4小題,每題5分,共20分.在每題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9．已知經過點A(2，0)和點B(1，3a)的直線l1與經過點P(0，1)和點Q(a，2a)的直線l2互相垂直,則實數(shù)()。A、1B、0C、1D、2【正確答案】BC【詳盡剖析】l1的斜率k13a0a,1(2)當a0時,l的斜率k22a(1)12a,∵l1l,∴kk21,2a0a21即a12a1,解得a1,a當a0時,P(0，1)、Q(0，0),直線l2為y軸,A(2，0),B(1，0),直線l1為x軸,顯然l1l2,∴實數(shù)a的值為0或1,應選BC。x2y21(ab0)的左右焦點分別F1、F2,過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩10．已知橢圓C:2b2a點,若PF1F2為直角三角形,則該橢圓C的離心率e()。A、21B、3C、52D、533【正確答案】CD【詳盡剖析】當PF2F1時,設PF22,則由于tanPF1F22,∴F1F21,PF15,2∵2aPF1PF252,2cF1F21,∴橢圓C的離心率為ec2c152,a2a52當F1PF2時,設PF22,則由于tanPF1F22,∴PF11,F1F25,2∵2PF1PF232cFF5∴橢圓C的離心率為ec2c5,,a2a3應選CD。11．以下命題中不正確的選項是()。A、若A、B、C、D是空間隨意四點則有ABBCCDDA0,B、若|a||b|,則a、b的長度相等而方向相同或相反C|a||b||ab|是a、b共線的充分條件、D、對空間隨意一點P與不共線的三點A、B、C,若OPxOAyOBzOC(x，y，zR),則P、A、B、C四點共面【正確答案】ABD【詳盡剖析】A選項,ABBCCDDA0而不是0,故A錯,B選項,|a||b|僅表示a與b的模相等,與方向沒關,故B錯,C選項,|a||b||ab||a|22|a||b||b|222a2abb,即2|a||b|2ab2|a||b|cosa，b,即cosa，b1,a與b方向相反,故C對,D選項,空間隨意一個向量OP都能夠用不共面的三個向量OA、OB、OC表示,∴P、A、B、C四點不用然共面,故D錯,應選ABD。12．已知F1、F2x2y21(a0,b0)的左、右焦點,過F2作雙曲線一條漸近線的垂線,垂足為是雙曲線b2a2點A,交另一條漸近線于點B,且AF21F2B,則該雙曲線的離心率為()。36B、2C、3D、5A、2【正確答案】AC【詳盡剖析】(1)當AF1FB時,設F2OA,則AOB2,設a1,232由題意可知OAa1,OF2ce,AF2b,BF23b,則AB4b,tanbb,tan24b4b,aa代入得tan22tan2b4b,1tan21b2即244b2,解得b2,則eca2b2116,222(2)當FA1FB時,設F2OA,AOB,設a1,232則F2OB,F1OB(),由題意可知OAa1,OF2ce,AF2b,BF23b,則AB2b,tanbb,tan2b2b,aa則tanF1OBtan[()]tan()tan,則tan()tantantan,tantan1代入得b2bb222,即32b1,b2,則ecab3,1b2b解得應選AC。三、填空題:此題共4小題,每題5分,共20分.13．動點P與定點A(1，0)、B(1，0)的連線的斜率之積為1,則點P的軌跡方程是?！菊_答案】x2y21(x1)【詳盡剖析】設P(x，y),則kPAy0,kPBy0x1x,1∵動點P與定點A(1，0)、B(1，0)的連線的斜率之積為1,∴y222kPAkPB1∴即x且x1,,x211,y1,綜上點P的軌跡方程是x2y21(x1)。14．過雙曲線x2y21的右支上一點P,分別向圓C1:(x5)2y24和圓C2:(x5)2y2r2(r0)916作切線,切點分別為M、N,若|PM|2|PN|2的最小值為58,則r。【正確答案】2【詳盡剖析】設F1、F2是雙曲線的左、右焦點,也是題中圓的圓心,∴|PM|2|PN|2|PF1|24(|PF2|2r2)(|PF1||PF2|)(|PF1||PF2|)r246(|PF||PF|)r24,12顯然其最小值為6(25)r2458,r2。15．以以下列圖,PABCD是正四棱錐,ABCDA1B1C1D1是正方體,其中AB2,PA6,則點B1到平面PAD的距離為?！菊_答案】655【詳盡剖析】方法一:利用等體積法求點到平面距離:VB1PADVABDP,1又VB1PAD1SPADhB1PAD1152hB1PAD5hPAD,3323B1VAB1DP1SBDPhABDP11612hABDP222,311321即5hB1PAD2,解得hB1PAD65;35方法二:利用建系求點到平面距離:以D1為原點,D1A1、D1C1、D1D為x、y、z軸建系,則B1(2，2，0),P(1，1，4),A(2，0，2),D(0，0，2),B1D(2，2，2),PD(1，1，2),AD(2，0，0),nPD0xy20設平面PAD的法向量為n(x，y，z),則,即,nAD02x0設y2,解得x0,z1,則n(0，2，1),又點B1到平面PAD的距離d|B1Dn||6|65|n|5。516．以以下列圖,已知拋物線y282x的焦點為F直線l過點F且依次交拋物線及圓(x22)2y22于,A、B、C、D四點,則|AB|4|CD|的最小值為?！菊_答案】132【詳盡剖析】∵y282x焦點F(22，0)準線l0:x22,,,由圓:22)222圓心（22，0）半徑為xy2,,,由拋物線的定義得:|AF|xA22又∵|AF||AB|∴|AB|xA2,,2,同理:|CD|xD2,當ABx軸時,則xDxA22∴|AB|4|CD|152,,當AB的斜率存在且不為0時,設AB:yk(x22),代入拋物線方程,得:22(42282)820kxkx,k∴xAxD8,xAxD42k282k2,∴|AB|4|CD|(xA2)4(xD2)52xA4xD5224xAxD132,當且僅當xA4xD,即xA2,x1時取等號,D2綜上所述|AB|4|CD|的最小值為132。四、解答題:此題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知兩圓C:x2y22x6y10和C:x2y210x12y450。12求證:圓C1和圓C2訂交;求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長。【詳盡剖析】(1)證明:圓C1的圓心C，,半徑r111圓C2的圓心C2，,半徑r24,2分1(13),(56)兩圓圓心距d|C1C2|5,411|r1r2|dr1r2114,∴圓C1和C2訂交;4分(2)圓C1和圓C2的方程左、右分別相減,得4x3y230,6分∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x3y230,7分圓心C2(5，6)到直線4x3y230的距離d|201823|3,9分169故公共弦長為216927。10分18．（本小題滿分12分）如圖,已知ABC的邊AB所在直線的方程為x3y60,M(2,0)知足BMMC,點T(1,1)在AC邊所在直線上且知足ATAB0。求AC邊所在直線的方程;求ABC外接圓的方程;若動圓P過點N(2,0),且與ABC的外接圓外切,求動圓P的圓心的軌跡方程?！驹敱M剖析】(1)∵ATAB0,∴ATAB,又T在AC上,∴ACAB,∴ABC為RtABC,1分又AB邊所在直線的方程為x3y60,∴直線AC的斜率為3,2分又∵點T(1，1)在直線AC上,∴AC邊所在直線的方程為y13(x1),即3xy20;4分AC與ABA,x3y60A的坐標為(0，2),5分(2)的交點為解得點∴由3xy20∵BMMC,∴M(2,0)為RtABC斜邊上的中點,即為RtABC外接圓的圓心,6分又r|AM|(20)2(02)222,進而ABC外接圓的方程為(x2)2y28;7分∵動圓P過點N,∴|PN|是該圓的半徑,又∵動圓P與圓M外切,∴|PM||PN|22,即|PM||PN|22,9分故點P的軌跡是以M、N為焦點,實軸長為22的雙曲線的左支,10分∵實半軸長a2,半焦距c2,∴虛半軸長bc2a22,11分進而動圓P的圓心的軌跡方程為x2y22)。12分21(x219．（本小題滿分12分）以以下列圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC為正三角形,A1在底面ABC上的射影是棱BC的中點O,OEAA1于E點。證明:OE平面BB1C1C;(2)若AA13AB,求AC與平面AA1B1B所成角的正弦值?！驹敱M剖析】(1)證明:連結AO,∵ABC為正三角形,O為BC中點,∴AOBC,∵A1OBC,A1OAOO,∴BC平面A1OA,∴BCEO,2分又OEAA1,AA1//B1B,∴OEB1B,又B1BBCB,∴OE平面BBCC,4分11(2)解:由(1)可知,A1OBC,A1OOA,OABC,故分別以OA、OB、OA為坐標軸成立以以下列圖的空間直角坐標系,6分1設AB2,則AA123,OA3,OA13,A(3，0，0),則AB(3，1，0),AA1(3，0，3),AC(3，1，0),8分設平面AA1B1B的法向量為nnAB03xy0(x，y，z),則AA1即,n03x3z0設x3,則y3、z1,則n(3，3，1),10分設AC與平面AA1B1B所成角為,則sin|cosn，AC|，，(，，313,|(331)310)|13213∴AC與平面AA1B1B所成角的正弦值為313。12分1320．（本小題滿分12分）221。直線l1和l2是橢圓C1:x2y21(ab0)的長軸長等于圓C2:x2y24的直徑,且C1的離心率等于ab2過點M(1，0)且互相垂直的兩條直線,l1交C1于A、B兩點,l2交C2于C、D兩點。求C1的標準方程;(2)當四邊形ABCD的面積為1214時,求直線l1的斜率k(k0)。7【詳盡剖析】(1)由題意得2a4,∴a2,∵ec1,∴c1,∴b3,2分a2x2y2;3分∴橢圓C1的標準方程為143(2)直線AB:yk(x1),則直線CD:y1(x1),由yk(x1)5分3x24y2,k12得(34k2)x282x4k2120,0恒成立,6分k設A(x1，y1)、B(x2，y2),則x1x28k22,x1x24k2127分34k34k2,∴|AB|1k2|xx|12(k21),8分1234k2∵圓心(0，0)到直線CD:xky10的距離d1,9分k21又|CD|2d24,∴|CD|24k23,10分4k21∵ABCD,∴S1|CD|12k21,11分|AB|四邊形ABCD24k23由12k211214,解得k1或k1,由k0,得k1。12分4k23721．（本小題滿分12分）以以下列圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,四邊形ABB1A1為菱形,AA1B13,平面ABB1A1平面ABC,ABBC,AC2AA122,E為AC的中點。求證:B1C1平面ABB1A1;求平面EB1C1與平面BB1C1C所成角的大小?！驹敱M剖析】(1)∵四邊形ABB1A1為菱形,ABBC,AC2AA122,1分∴AC2AB2BC2,∴ABBC,2分又平面ABB1A1平面ABC,平面ABB1A1平面ABCAB,∴BC平面ABB1A1,3分又B1C1//BC,∴B1C1平面ABB1A1;4分取A1B1的中點O,A1C1的中點N,連結OA、ON,∵B1C1平面ABB1A1,∴ON平面ABB1A1,∴ONOA1、ONOA,又四邊形ABB1A1是菱形,AA1B1,O是A1B1的中點,∴OAA1B1,3故OA1、ON、OA兩兩互相垂直,6分以O為坐標原點,OA1、ON、OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸,成立以以下列圖的空間直角坐標系,∴B1(1，0，0)、C1(1，2，0)、E1(1，1，3)、B(2，0，3),7分由圖可知,平面EB1C1的一個法向量為m(1，0，0),8分設平面BB1C1C的法向量為n(x，y，z)