電磁場與微波技術第一二三章課后習題及部分答案剖析

章習題根據(jù)等值面的定義：標量場中場值相同的空間點組成的曲面稱為標量場的等值面，其方程為u(x,y,z)=c(c為常數(shù))。根據(jù)等值線的定義可知：要求解標量場與直線相切的等值線方程，即是求解兩個方程存在單解的dxdydz==AAAxyzxyzdxdydz==xy2x2yzy2===yxxzx213它們代表一簇經(jīng)過坐標原點的直線。方向導數(shù)的定義式：?l?x?y?z?xMMMMMM?yMMM編M5MM編5Muuuu?t?x?y?z55MMMM?t?x?y?z55MMMM?u?u?uVu=+?u?u?u?x?y?z?u?u?uVu=+?u?u?u?x?y?z(0,0,0)若要梯度為零，則需使得梯度中各項分量為零，即：即，在點(-2，1，1)處，標量場的梯度為零。r=(x2+y2+z2)xxyzx2+y2+z2)22rrr=rrn=nrn1rr=nrn1rf(r)=f'(r)r=f'(r)rr––rrr?x?y?x?yr–rr4)證明：xyzxyzyzxyz幾幾：?u?u?u?x?y?z?u?u?u?x?y?z旋度定義式，可得：Ax?yAyAzAxAyAz由題意及矢量的旋度運算公式：?y?z?z?xz?x?y?y?z?z?xz?x?y2)rr––BxAB =3y2z2=x20ABABz-4yzzyzxxzxyyx4πr4rqr43qq3433334πr4rqr43qq343333πrπr4πr34πr34πr34πr3134πr=134πr4π4πr34πr3–?x?y?z?x?y?z??x?y?z由–?u?u?u?x–?u?u?u?x?y?z2)由旋度定義：y解：由題意及柱坐標下梯度的計算公式：由可得：解：由題意及柱坐標下散度、旋度的計算公式： (pp) (pp)解：由題意及球坐標下梯度的計算公式：sinQsinQr3r3r2?rrrsin9?99rsin9?Qr2r4sin9r4r4vv章習題。解：由庫侖定律，得點電荷間作用力：F=1F=100F=FFFFFF=FFFFF00–q–q)q102–q)2–q)q20–q)q20–q)q20qq2幾e03–q)3–q)q30–q)q30–q)q30qq2幾e0q)qqq)qq)qq)q000F=+6F=+600幾e(36)0ll解：由庫侖定律及點電荷間作用力公式：()=1jpl(,)(-,)dl,()=14解：本題(1)、(2)、(3)中，電荷均以球心為中心對稱分布，因此，電場都只有方向的分量，即E(r)=E(r)；也就是說，在以球心為中心的任何球面上E(r)都相等，可以應用高斯定理積分形式r(1)、電量Q均勻分布在r=a的球面上。r，解之：0(2)、電量Q均勻分布在r=a的球內(nèi)。r3Q400ErQ0arErQ00ar000 vv000EE(r)r30E=Er(r)=Q4Er00ar通過計算可知，以上三種情況下，在r之a(chǎn)處，電場強度E均相同。r4、兩個無限長的r=a和r=b(b>a)的同軸圓軸表面分別帶有面電荷密度p和p,SS12rer(1)計算各處的E；rerSSSS12解：本題中，兩個圓柱同軸，場呈軸對稱、二維分布，宜選用柱坐標來求解，以同軸圓柱面的軸心線為zs底s頂s側由于場只有徑向分量，因而只有側面由通量； (1)、計算各處的場：s側0apapapap0000ssrerE=s1srer0rbErb0sss2b用球坐標系來求解：已知電場求解電荷分布，需要用到高斯定理的微分公式，球坐標系下，計算E的散度的公式為：r2?rrrsin9?99rsin9?QV.E(r)=1?(r2r2?rrrsin9?99rsin9?Qrr2?rr，rr2?rr，r2?rV.E(r)=1?(r2(r3+Arr2?rr2?r=1?(r5+r2?rr2r054(2 (54(2 (22r2?rr2?r007、長度為L的線上電荷密度為常數(shù)p，(1)計算該線的垂直平分線上任意點的電位C；(2)由庫侖ll另一根的線電荷密度為一p，求空間任意點的電位C和電場強度。l解：如右圖所示：由于兩帶電平行線無限長，若令兩平行線沿Z軸，且其中垂線過原點，則其場分布y0l9、一半徑為a、總電量為Q的導體球，其外包裹著一層厚度為b、介電常數(shù)為c=2c的電介質(zhì)球殼。0求空間的電場強度、電位移矢量、電位以及介質(zhì)球殼內(nèi)外的極化電荷密度。解：因空間媒質(zhì)以球心對稱分布，電荷Q必均勻分布在導體球面上，Q(對電場的貢獻)產(chǎn)生的S心為中心的球面。在此球面上E=E(r),D=D(r)。且r相同處D也相同。rrr 0sjjrsD(r)=D(r)=QE(=Q8 srr4幾r2E(r)=Dr)=Q40 0b+介質(zhì)表面有束縛電荷分布。 (4)求電位0(r) ))r2Er=40?0(r)=jw?220Q0Q0(r=b)=Q00((r)=jbQdr+((b)0000000(5)、求束縛電荷密度D(r)=Q0 0 rr0aa???PsrarPsrapPP與9、Q無關，所以a想r想b介質(zhì)中體束縛電荷p為：rPrPr2?rrr2?r8幾r2Pr2?rrr2?r8幾r2PPPsPsPr=a球面r=b球面r=球體內(nèi)部22pp電中性的。PsP2)、電場中的均與介質(zhì)，其內(nèi)部體束縛電荷為0；也就是說均與介質(zhì)內(nèi)部沒有束縛電荷的堆積。1)由于直導線無限長，可看成兩端在無限遠處相連而構成閉合回路。平面上的場分布，且該平面上場矢量都只有,兩個分量。012012LI,I正向與相同，B與I呈右手螺旋關系。對于I：121L11幾r是以r1為半徑的圓。對于I，同理可得：2B=山0I2L是以r為半徑的圓2為將B,B在xoy坐標系中疊加，應當求出r,r,,及,的表達式。1212121235「(d)2]「(d)2]d)2]1r2r111.=0)=011r1人==1)=111r1_y-yuu1rr2rr22r12解：這是一個軸對稱的二維磁場，B=B(r)，B只有方向分量。且B(r)只與坐標r有關。此題QQ適合在柱坐標系中求解。根據(jù)安培環(huán)路定律：0LL可用于求解空間磁場分布，其中，L是以r為半徑、垂直于z軸的圓形閉合曲線，線上任何一點B均QQQIa想r想b區(qū)域：J 山I(r2一a2)LLB=BQ=0Q,IILQ01pI1pI14、半徑為a的圓柱形直導線，它產(chǎn)生的磁感應強度為求這兩個區(qū)域的電流密度。解：在這兩個區(qū)域，用靜磁場安培定律的微分形式：0本題中，B只有B分量，因此：r?rv0?(r2)?r2r1p2rpII –0的關系式為(2-25)：AAz?AIr24a200Ir2?4a2rI0r2a2zI–J20、一根銅棒的橫截面積為20×80mm2，長為yz–Jsx2.0m，兩端電壓為50mV。已知銅的電導率為5.7107(1m)。求(1)銅棒的電阻R；(2)電流I；(3)電流密度的大小J；(4)棒內(nèi)電場強度的大小E；(5)所消耗的功率P；(6)一小時所消耗的能量W。章習題1、以銅為例，證明：在微波頻率(300MHz~3000GHz)下，良導體中的位移電流遠小于傳導電流。00DJ0Jcost00JD0JsintDt0D00D000D0D0?t?t?t?t00該區(qū)域中可以實際存在的電場，若是，則求該區(qū)域中與之相聯(lián)系的磁場。?B解：根據(jù)V根E=?t及時變電磁場中的電場和磁場相互依存并構成時變電磁場的不可分割的統(tǒng)一整體。(1)1(1)1=E0ycosOt與坐標x、y、z無關，V根E1=0)?t=0)B為與時間和空間坐標無關的常–矢量，不是時變電磁場，E可能存在，但不能形成電磁波。 20(2)=Ecos(Ot_20?z0?t?z0?tE對應的磁場為：20O 000?t00?t=cos(kz)。(1)確定A、B之間的關系；(2)確定k；(3)求同軸腔所有內(nèi)壁上的自由電荷密度。Lab短路板短路板第5題用圖(1)確定A、B間的關系：將上面結果與已知coskz比較可得：jkABjkAjkA(2)確定k。0jkA將(1)確定的B代入B，得到：00將上面求出的D,H代入：HjD，得： 0000k2k00k2200k00(3)求同軸腔所有內(nèi)壁上的自由電荷密度和傳導電流密度J。ss應用(1)(2)求出得jkA0coskzssjkAa(jkAa()?Jasa00saa00sbbjkAjkA0(z0)D(z0)0sjkAjkA0(zL)D(zL)0s應用邊界條件：BB，得HH，Hr1H1n43sin2106t2n1nr22nr11n2nHHH543sin2106tA/m，22t2n322203是，由它求出理想導電板上的電流密度。(1)因為：x=0y0"(a)x=0x=0y0"(a)x=0x=a0"(a)x=ax=0x=0xxx=0x=0xx=00" (a)x=0x= (a)x=0x=ax=axx=a0" (a)x=a (a)x=asssxzx=0zx=00sxzx=azx=a0vE=-jopH得：j3"j3"000000解：將E(r)寫成E(r)=E(r)ejpx(r)+E(r)ejpy(r)+E(r)ejpz(r)的標準形式，再對各分量乘以xmymzmejot，最后寫實部，即可得瞬時表達式：0(1)=Ee–jbz000(2)=Esin(bz)00]]"]H(r,t)ReHcos(z)ejejtReHcos(z)ej(t2)||=00|=020所以有「"11"2"]E(r,t)=Re|5ej6ejot+6ej9ejot+e–j「"11"2"]L」2-2-2L」699解：題中磁場為時諧場，滿足時諧場的Maxwell方程，且空氣中無自由傳導電流，有：jj (jOc)() (jOc)()55jOcjOcOc=Esinn爪xe-jk2-(n爪d)2z。(1)求；(2)寫出、的瞬時表示式，(3)求兩導體板上md的面電流密度。條漏Ej(?E?E)條漏Ej(?E?E)E((2)寫出、的瞬時表示式(?E?E)|(-?zy+?xy)|m"x(?E?E)|(-?zy+?xy)|m"x J(x=0)根H=-H=Emn"sin(ot-k2-(n"d)2z)dx=0zx=0o山dJ(x=d)=-根H=H=-Emn"cos(n")sin(ot-k2-(n"d)2z)dx=dzx=0o山d廷矢量；(3)計算穿過該區(qū)域任一橫截面的平均功率。yb000a(1)求J和Hd()?0? ()00()?0? ()000H=j=000(2)求S(r,t)及Syxz=-E(r,t)H(r,t)+E(r,t)H(r,t)yxyz00000(3)計算傳輸功率：取z=任意值的橫截面s002op022op0202op022op020=4op0000000–e山e山000 0 00山00014、給出無源(=0，p=0)空氣中兩個不同頻率的電磁波的電場強度為=Ee一jo1zc、220022000Ej?E