8328126-吳想-從海涅原理看數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系

從海涅原理看數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系摘要：本文主要運(yùn)用文獻(xiàn)研究法、例題分析法、矛盾分析法等方法，首先從海涅定理及其推廣形式出發(fā)，給出了數(shù)學(xué)分析中變量的連續(xù)與離散的概念，闡述了數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是：離散是連續(xù)的形成背景，連續(xù)是離散的積累結(jié)果，連續(xù)與離散在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.其次，在閱讀文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，歸納了連續(xù)與離散的兩個(gè)重要原理，然后論述了正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想及方法.再次，基于正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的指導(dǎo)思想與方法，結(jié)合大量具體的實(shí)例深刻探討了連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過(guò)程中的實(shí)踐運(yùn)用，其中關(guān)于連續(xù)與離散的辯證關(guān)系和運(yùn)用矛盾分析法分析討論連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過(guò)程中的實(shí)踐運(yùn)用是本文的創(chuàng)新點(diǎn).最后，針對(duì)本文進(jìn)行了系統(tǒng)地總結(jié)，并在發(fā)現(xiàn)一些不足之處后對(duì)下一步的研究作了一定的啟示.關(guān)鍵詞：海涅定理；連續(xù)；離散；辯證關(guān)系；辯證否定TheDialecticalRelationshipBetweenContinuityandDiscretenessinMathematicalAnalysisBasedonHeineTheoremAbstract:Inthispaper,wemainlyusemethodsofliteratureresearch,sampleanalysis,contradictionanalysis.Firstofall,fromtheperspectiveofHeinetheoremanditsextendedform,thispaperpresentstheconceptofcontinuityanddiscretenessofvariablesinmathematicalanalysis,andexpoundsthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscretenessinmathematicalanalysisthatis:discretenessistheformativebackgroundofcontinuity,continuityistheaccumulatedresultofdiscreteness,continuityanddiscretenesscantransformeachotherundercertainconditions.Secondly,onthebasisofreadingliterature,thispapersummarizestwoimportantprinciplesofcontinuityanddiscreteness,andthendiscussestheguidingideologyandmethodofcorrectlyhandlingthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscreteness.Thirdly,basedontheguidingideologyandmethodofcorrectlydealingwiththedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscreteness,combinedwithalargenumberofspecificexamples,thispaperdeeplydiscussestheapplicationofthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscretenessinproblem-solvingpractice,amongwhichthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscretenessandtheapplicationofcontradictionanalysistoanalyzeanddiscusstheapplicationofthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscretenessinproblem-solvingpracticearetheinnovationofthispaper.Intheend,thispapermakesasystematicsummaryandprovidessomeenlightenmentforthenextresearchafterfindingsomeshortcomings.Keywords:Heinetheorem;Continuity;Discreteness;Dialecticalrelation;Dialecticalnegation目錄TOC\o"1-3"\h\u21273摘要 I13699Abstract II15365第一章緒論 186291.1選題背景及研究意義 1157931.1.1選題背景 162771.1.2研究意義 2311961.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及述評(píng) 3178701.2.1國(guó)外研究現(xiàn)狀 34481.2.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀 3244531.3研究目的、研究?jī)?nèi)容、研究方法及論文的創(chuàng)新點(diǎn) 5324101.3.1研究目的 5288321.3.2研究?jī)?nèi)容 58771.3.3研究方法 6195471.3.4論文的創(chuàng)新點(diǎn) 631167第二章數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵和辯證關(guān)系 7298112.1海涅定理及其推廣的發(fā)展 7269852.1.1函數(shù)極限與數(shù)列極限中的海涅定理 7210612.1.2積分與級(jí)數(shù)中的海涅定理 970832.2數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵 12250862.2.1離散的概念 12235892.2.2連續(xù)的概念 13103052.3數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系 13282662.3.1連續(xù)與離散的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系 13199402.3.2連續(xù)與離散的兩個(gè)重要原理 1417730第三章正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系 15232253.1正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的意義 15124973.1.1正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是馬克思主義認(rèn)識(shí)論的必然要求 1539663.1.2正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是發(fā)展數(shù)學(xué)方法論的重要途徑 1690333.2正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想和方法 1682933.2.1正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想 16265703.2.2正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的方法 1623771第四章數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過(guò)程中的實(shí)踐運(yùn)用 18178204.1連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在極限解題實(shí)踐中的運(yùn)用 18303184.1.1極限的計(jì)算與證明 1866364.1.2函數(shù)極限性質(zhì)的證明 19266294.1.3連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 2011964.1.4一元函數(shù)的連續(xù)性與可微性的證明 21183834.1.5多元函數(shù)連續(xù)性的證明 22269594.1.6無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限與數(shù)列極限統(tǒng)一性問(wèn)題的討論 23249664.2連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在反常積分解題實(shí)踐中的運(yùn)用 25190534.2.1反常積分的計(jì)算與斂散性的判別 2592174.2.2反常積分收斂性與無(wú)窮遠(yuǎn)處極限之間的聯(lián)系的討論 26326704.3連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分解題實(shí)踐中的運(yùn)用 2710674.3.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分的一致收斂性的判別 27325194.3.2Dini定理的證明 2818647第五章結(jié)論與啟示 311095.1結(jié)論 3135925.2啟示 3111727參考文獻(xiàn) 32935致謝 33第一章緒論1.1選題背景及研究意義1.1.1選題背景數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的基礎(chǔ)課程，它在整個(gè)高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位是十分重要的.陳華喜陳華喜,安徽蚌埠,蚌埠學(xué)院,數(shù)學(xué)與物理系.曾指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是哲學(xué)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間是一個(gè)相互依存的關(guān)系[1].”因此，從哲學(xué)的視野來(lái)看待數(shù)學(xué)分析，這不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的需要，而且也是教學(xué)與研究數(shù)學(xué)分析、發(fā)展數(shù)學(xué)分析的需要[2].陳華喜,安徽蚌埠,蚌埠學(xué)院,數(shù)學(xué)與物理系.我國(guó)自2016年局部性省市高考改革實(shí)施文理不分科以來(lái)，至2020年已形成全國(guó)性的改革.因此，現(xiàn)在的高中畢業(yè)生在進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)生活之前，已普遍接受高中思想政治課程教育部普通高中思想政治課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教材編寫(xiě)組編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《思想政治必修4生活與哲學(xué)》[教育部普通高中思想政治課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教材編寫(xiě)組編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《思想政治必修4生活與哲學(xué)》[M].第一版.北京:人民教育出版社,2004.教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:39.在數(shù)學(xué)分析的領(lǐng)域，從解題方法到數(shù)學(xué)思想本身，無(wú)不有著辯證法尤其是對(duì)立統(tǒng)一[6]，而在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，能否能深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)分析中的矛盾現(xiàn)象，能否深入研究各個(gè)矛盾中的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，就成為領(lǐng)會(huì)和掌握數(shù)學(xué)分析的精髓的關(guān)鍵[7][8][9].然而，當(dāng)前學(xué)者們對(duì)數(shù)學(xué)分析中的矛盾的辯證關(guān)系研究的特點(diǎn)主要表現(xiàn)為范圍廣但缺乏深度，比如，他們雖然歸納出數(shù)學(xué)分析中有著常量與變量、連續(xù)與離散、整體與局部等大量矛盾，但對(duì)于它們的辯證關(guān)系的研究大多數(shù)僅運(yùn)用淺顯的數(shù)學(xué)概念或計(jì)算作為論據(jù).因此，本文試圖彌補(bǔ)這一缺陷，只以連續(xù)與離散這一對(duì)數(shù)學(xué)分析中涉及領(lǐng)域廣泛的矛盾為研究對(duì)象，深度研究它們的辯證關(guān)系，并運(yùn)用更多更有力的實(shí)例作為論據(jù)來(lái)闡述這種辯證關(guān)系.在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)與離散的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，最經(jīng)典的體現(xiàn)是數(shù)列與函數(shù)、級(jí)數(shù)與積分的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，而溝通這種聯(lián)系的橋梁便是海涅定理[8][9][10][11][12].海涅定理是數(shù)學(xué)分析中重要的定理之一，它最先溝通了連續(xù)性的函數(shù)極限與離散性的數(shù)列極限之間的聯(lián)系，隨著微積分的發(fā)展，海涅定理的推廣與應(yīng)用更加廣泛，連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的運(yùn)用得也更加廣泛，比如，連續(xù)函數(shù)用離散的函數(shù)來(lái)近似逼近，而離散的類型又常用連續(xù)函數(shù)來(lái)描述[12][13]，它們往往成對(duì)出現(xiàn)[10][11]；連續(xù)的積分一般要用離散的級(jí)數(shù)求和取極限值得到，反之，離散的級(jí)數(shù)求和也可以通過(guò)連續(xù)的積分微分法得到[14].因此，從海涅定理及其在數(shù)學(xué)分析中的推廣的發(fā)展的方面入手，是研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的一個(gè)重要途徑.對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)本科生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系思想的啟迪不僅有利于他們?cè)跀?shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過(guò)程中形成辯證思維，還能引導(dǎo)他們運(yùn)用唯物辯證法獨(dú)立思考、分析數(shù)學(xué)分析中其他矛盾的辯證關(guān)系，使其達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)分析理論知識(shí)與實(shí)踐和數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的全面而深刻的理解.鑒于上述分析，本文主要從海涅定理出發(fā)研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，以及如何更好地將數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題實(shí)踐中體現(xiàn)出來(lái).1.1.2研究意義理論意義在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)與研究中滲透辯證唯物主義的觀點(diǎn)，是由馬克思主義的本質(zhì)決定的.馬克思主義認(rèn)為，世界是普遍聯(lián)系、永恒發(fā)展的，事物的聯(lián)系與發(fā)展是有規(guī)律的，規(guī)律就是事物聯(lián)系和發(fā)展過(guò)程中所固有的本質(zhì)的、必然的穩(wěn)定的聯(lián)系教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:36.第一，深化了馬克思主義哲學(xué)和數(shù)學(xué)理論之間的聯(lián)系.自誕生以來(lái)的絕大部分時(shí)期，馬克思主義主要是作為無(wú)產(chǎn)階級(jí)大眾武裝思想，形成批判的、革命的世界觀，反對(duì)剝削階級(jí)的統(tǒng)治的銳利武器的形式存在.但是，由于時(shí)代的局限性，馬克思主義哲學(xué)與自然科學(xué)理論的聯(lián)系的研究極少，熟為人知的有馬克思和恩格斯運(yùn)用了大量數(shù)學(xué)概念批判黑格爾的唯心主義辯證法.二戰(zhàn)結(jié)束至今，世界迎來(lái)了自然科學(xué)飛速發(fā)展的新時(shí)期，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，中外學(xué)者們對(duì)馬克思主義和數(shù)學(xué)的聯(lián)系進(jìn)行了大量的研究，逐步深化了馬克思主義哲學(xué)和數(shù)學(xué)理論的聯(lián)系.第二，豐富和發(fā)展了數(shù)學(xué)分析的思想理論.數(shù)學(xué)分析中數(shù)學(xué)思想的傳播不僅有利于學(xué)生解題實(shí)踐中辯證思維的形成，更利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析理論知識(shí)之間的聯(lián)系有了更全面的理解.對(duì)數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系研究，豐富和發(fā)展了數(shù)學(xué)分析中的辯證思想.第三，為數(shù)學(xué)分析中其他矛盾的辯證關(guān)系的研究提供了典范.馬克思主義認(rèn)為，世界是充滿矛盾的，矛盾的運(yùn)動(dòng)發(fā)展推動(dòng)著世界的發(fā)展教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:.2現(xiàn)實(shí)意義理論指導(dǎo)實(shí)踐，實(shí)踐反過(guò)來(lái)推動(dòng)理論研究的發(fā)展.研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的現(xiàn)實(shí)意義主要有以下幾個(gè)方面：第一，提高學(xué)生的辯證思維能力.數(shù)學(xué)專業(yè)本科生在大一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)，若能充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)分析知識(shí)體系中蘊(yùn)含的辯證思想，既有利于彌補(bǔ)高中時(shí)只將辯證唯物主義觀點(diǎn)運(yùn)用于社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域的不足，又能促使學(xué)生獨(dú)立思考形成適合自己的全新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，從而提高其辯證思維能力，為以后從事科研創(chuàng)新活動(dòng)作了思想上的鋪墊.第二，促進(jìn)解題方法論研究.學(xué)生在以往的解題實(shí)踐中只注重公式的生搬硬套，一旦遇到難題便不知所措，容易產(chǎn)生放棄甚至厭學(xué)的心理.數(shù)學(xué)分析連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的研究，促使數(shù)學(xué)分析中連續(xù)性問(wèn)題與離散性問(wèn)題可以相互轉(zhuǎn)化，既有利于學(xué)生解題轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)，又利于解題方法論的研究，從而提高其解題實(shí)踐能力.第三，有利于促進(jìn)人的全面發(fā)展.我國(guó)教育的任務(wù)是培養(yǎng)社會(huì)主義接班人，服務(wù)社會(huì)，為實(shí)現(xiàn)共產(chǎn)主義而奮斗.實(shí)現(xiàn)共產(chǎn)主義的條件之一是精神文明高度發(fā)達(dá)，為此，必須用馬克思主義武裝人們的思想，形成科學(xué)、正確的世界觀，無(wú)論是社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域還是自然科學(xué)領(lǐng)域，都要以辯證的眼光看待.數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的研究，雖然只是數(shù)學(xué)哲學(xué)發(fā)展過(guò)程中的一小步，但量變引起質(zhì)變，它對(duì)整個(gè)人類精神財(cái)富的積累是必不可少的.1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及述評(píng)1.2.1國(guó)外研究現(xiàn)狀國(guó)外的研究主要側(cè)重于對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)方面的研究，恩格斯是19世紀(jì)偉大的思想家之一，他對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行深入地學(xué)習(xí)和思考，在《自然辯證法》中指出：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變量，有了它，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，因而，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)[15].”他在該著作中運(yùn)用唯物辯證法深刻地分析了微分與積分、整數(shù)與分?jǐn)?shù)、直線和曲線等數(shù)學(xué)中的大量實(shí)例，并且通過(guò)微積分中無(wú)限大和無(wú)限小的實(shí)例分析闡述了質(zhì)與量的辯證統(tǒng)一.這些關(guān)于數(shù)學(xué)與唯物辯證法深刻的聯(lián)系的論述，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與唯物辯證法之間本質(zhì)的聯(lián)系，而且徹底地批判了形而上學(xué)的世界觀，從而建立了辯證唯物主義堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).他所討論的數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系的實(shí)例，大多數(shù)是從數(shù)學(xué)概念本身出發(fā)，并沒(méi)有體現(xiàn)更深層次的辯證關(guān)系.1984年AndyBlunden（安迪·布倫登）發(fā)表期刊論文DialecticsandMathematics《辯證法與數(shù)學(xué)》[16]，文章主要討論了五個(gè)方面：數(shù)學(xué)實(shí)體的二重性、數(shù)學(xué)概念的起源、方法的倒置、等價(jià)關(guān)系和數(shù)學(xué)的危機(jī)，作者從馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》出發(fā)，深刻研究其學(xué)習(xí)方法，以加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.文中指出：“唯物辯證法既是一種辯證邏輯，又是一種對(duì)新的、更具體的真理進(jìn)行演繹的指南.”最后得出結(jié)論：“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不是直接的感官體驗(yàn)，甚至不是‘加工過(guò)的’體驗(yàn)，而是基于社會(huì)實(shí)踐的長(zhǎng)期的、歷史性的概念積累，這些概念通過(guò)生產(chǎn)體現(xiàn)我們的事物概念的物體，即勞動(dòng)過(guò)程，成功地改變了世界.”而本文的主要目的是要說(shuō)明辯證唯物主義指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的重要性.但是，僅從宏觀方面論述數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系過(guò)于抽象、含蓄，不足以解決當(dāng)前我國(guó)教育方面素質(zhì)教育和應(yīng)試教育之間的矛盾，因此，必須以數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系為指導(dǎo)、以數(shù)學(xué)中的矛盾為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，從而能夠在教學(xué)與學(xué)習(xí)中滲透辯證唯物主義的觀點(diǎn).1.2.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀國(guó)內(nèi)學(xué)者自解放思想、改革開(kāi)放以來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系的研究不斷深入拓展，撰作了不少經(jīng)典著作.1995年李浙生先生所著的《數(shù)學(xué)科學(xué)與辯證法》，全書(shū)共八章：數(shù)學(xué)科學(xué)與一分為二；數(shù)學(xué)學(xué)科與質(zhì)、量、度；數(shù)學(xué)學(xué)科與黑格爾的三段式；形式與內(nèi)容；抽象與具體；無(wú)限與有限；原因與結(jié)果；偶然性與必然性[17]，書(shū)中主要論述了數(shù)學(xué)學(xué)科與唯物辯證法的基本規(guī)律、基本環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，加深了人們對(duì)數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系的理解.隨著國(guó)內(nèi)教育水平的提高，為順應(yīng)時(shí)代發(fā)展、深化素質(zhì)教育的趨勢(shì)，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)中矛盾的辯證關(guān)系進(jìn)行大量研究，其中運(yùn)用數(shù)學(xué)概念分析法研究的主要有：2010年馬翠萍在其碩士學(xué)位論文《數(shù)學(xué)概念中的辯證關(guān)系及其教學(xué)研究》中以數(shù)學(xué)方法論為理論基礎(chǔ)知識(shí)，從辯證法的角度出發(fā)，以一些重要且具有典型意義的數(shù)學(xué)概念，如數(shù)、函數(shù)、無(wú)窮為實(shí)例分析了數(shù)學(xué)概念中的辯證關(guān)系，并通過(guò)具體的案例表明如何在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中貫徹唯物辯證法思想；2011年郭艷慧的《數(shù)學(xué)分析中的辯證法》、2008年賈朝勇、潘玉榮、陳華喜、鮑宏偉的《淺談數(shù)學(xué)分析中的哲學(xué)思想》、2014年趙冬、丁黎明的《哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用》深入發(fā)掘從低等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的大量數(shù)學(xué)概念，闡述了實(shí)踐第一、運(yùn)動(dòng)變化和發(fā)展、對(duì)立統(tǒng)一、質(zhì)量互變、否定之否定、聯(lián)系的普遍性和多樣性、從具體到抽象、從個(gè)別到一般、現(xiàn)象與本質(zhì)、相對(duì)性與絕對(duì)性等大量辯證思想，最后得出結(jié)論，從哲學(xué)的視野來(lái)看待數(shù)學(xué)分析，這不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的需要，而且也是教學(xué)與研究數(shù)學(xué)分析、發(fā)展數(shù)學(xué)分析的需要；2007年蔡霖的《辯證思想在微積分中的體現(xiàn)》、2012年董治強(qiáng)的《淺析數(shù)學(xué)分析中的若干矛盾》、2013年梁江波的《數(shù)學(xué)分析中的矛盾問(wèn)題研究》、2015年張榮芳的《對(duì)微積分中主要矛盾的認(rèn)識(shí)》、2016年李培、王震的《數(shù)學(xué)分析中的矛盾問(wèn)題研究》運(yùn)用概念分析法，結(jié)合數(shù)學(xué)分析中的一些運(yùn)算法則，著重闡述了數(shù)學(xué)分析中常量與變量、離散與連續(xù)、一與多、直與曲、整體與局部、微分與積分、有限與無(wú)限、近似與準(zhǔn)確、特殊與一般等主要矛盾，并在此基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)要分析了數(shù)學(xué)分析中矛盾問(wèn)題的學(xué)習(xí)方法，這對(duì)教學(xué)中滲透辯證唯物主義思想以及提高學(xué)生綜合素質(zhì)有著極其重要的指導(dǎo)作用；2012年陳華喜在《挖掘哲學(xué)思想,提高教學(xué)效果——談級(jí)數(shù)中對(duì)立與統(tǒng)一的辯證觀點(diǎn)》中以高等數(shù)學(xué)中的級(jí)數(shù)及其相關(guān)概念為例，剖析了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)體現(xiàn)的常量與變量的對(duì)立統(tǒng)一、級(jí)數(shù)本身斂散性體現(xiàn)的收斂與發(fā)散的對(duì)立統(tǒng)一、數(shù)列與級(jí)數(shù)體現(xiàn)的有限和無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一、冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分體現(xiàn)的微分與積分的對(duì)立統(tǒng)一、級(jí)數(shù)的部分和體現(xiàn)的過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一.這里對(duì)級(jí)數(shù)體現(xiàn)的辯證關(guān)系研究并不全面，比如級(jí)數(shù)和反常積分的聯(lián)系體現(xiàn)的離散與連續(xù)的辯證統(tǒng)一需進(jìn)一步研究.教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握，還要求提高學(xué)生的解題實(shí)踐能力，因此，有必要在上述研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究解題實(shí)踐過(guò)程中唯物辯證法思想的滲透，使學(xué)生在解題實(shí)踐過(guò)程中體會(huì)矛盾的辯證運(yùn)動(dòng).運(yùn)用例題分析法對(duì)數(shù)學(xué)中的矛盾的辯證關(guān)系研究的成果主要有：2011年崔信的《淺論<數(shù)學(xué)分析>中的若干矛盾》、2016年周明琦的《淺論<數(shù)學(xué)分析>中的若干矛盾》、2018年李彥的《例論微積分學(xué)中幾類矛盾的對(duì)立統(tǒng)一》、2018年敖登的《談高等數(shù)學(xué)中的唯物辯證法》、1996年宋天鑒、張玲的《數(shù)學(xué)分析中的若干矛盾》引用數(shù)學(xué)分析中各類計(jì)算的實(shí)例，闡述了常量與變量、連續(xù)與離散、整體與局部等矛盾的辯證關(guān)系；1998年傅湧在《數(shù)學(xué)中幾對(duì)重要矛盾的辯證關(guān)系》中從偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則論述了常量與變量的對(duì)立統(tǒng)一，而對(duì)與連續(xù)有關(guān)的矛盾有更深層次的見(jiàn)解，文中首先將數(shù)學(xué)中連續(xù)與不連續(xù)這對(duì)矛盾概括為描述數(shù)量的靜止?fàn)顟B(tài)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)過(guò)程的范疇，再根據(jù)矛盾的形式具體地分為：連續(xù)與間斷、連續(xù)與離散.在研究連續(xù)與離散這對(duì)矛盾的對(duì)立時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系的可分性與不可分性的描述，得出結(jié)論：數(shù)學(xué)研究離散量與連續(xù)量，是對(duì)客觀事物的深入分析所致，是事物的不可分性與可分性的反映.上述文獻(xiàn)中的實(shí)例大多是計(jì)算題，能簡(jiǎn)單直觀地表現(xiàn)出矛盾的辯證關(guān)系，然而數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，證明題更能鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力.極限理論和連續(xù)性理論是數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)內(nèi)容，與之相關(guān)的證明的過(guò)程抽象、深?yuàn)W，能更深程度地體現(xiàn)連續(xù)與離散的辯證關(guān)系.海涅定理建立了連續(xù)性的函數(shù)極限與離散性的數(shù)列極限之間的聯(lián)系，近幾年，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)海涅定理和連續(xù)與離散的辯證關(guān)系研究主要有：2016年郭金生、王愛(ài)斌的《海涅定理的一些應(yīng)用》、2015年吳修竹、廖祖華、朱曉英的《海涅定理的推廣形式與應(yīng)用》、2010年朱國(guó)衛(wèi)的《以海涅定理為例談數(shù)學(xué)分析中的直覺(jué)、證明與感悟》、2017年龐幫艷、孫勝利的《Heine定理及其擴(kuò)展》、2003年王秀紅的《含參變量廣義積分一致收斂的Heine定理》均從海涅定理出發(fā)，分別給出了海涅定理在不同方面的擴(kuò)展及其應(yīng)用，這對(duì)本文所要探討的數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系起著重要的指導(dǎo)作用；2005年劉秀麗在《Henie定理的啟發(fā)——連續(xù)量與離散量的聯(lián)系》主要采取例題分析法，通過(guò)對(duì)海涅定理的一系列應(yīng)用研究：研究函數(shù)極限的存在性、研究函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性與一致連續(xù)性、研究函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性以及研究區(qū)間上的恒值問(wèn)題，指明了數(shù)學(xué)分析解（證）題時(shí)，正確處理離散量與連續(xù)量轉(zhuǎn)化的方法——“點(diǎn)列（數(shù)列）法”；2005年于勇《數(shù)學(xué)分析中“連續(xù)”和“離散”兩類問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化》采取例題分析法，首先給出連續(xù)性問(wèn)題和離散性問(wèn)題在理論上是相互對(duì)應(yīng)、相互聯(lián)系的，具體表現(xiàn)有：連續(xù)性問(wèn)題的函數(shù)、積分與離散性問(wèn)題的數(shù)列、級(jí)數(shù)；連續(xù)性問(wèn)題的定積分與離散性問(wèn)題的有限和；連續(xù)性問(wèn)題的廣義積分、含參變量積分的收斂理論與離散性問(wèn)題的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂理論；求連續(xù)變量未定式極限的洛比達(dá)法則與求離散變量未定式極限的施篤茲定理等.文章最后總結(jié)，在進(jìn)行連續(xù)與離散兩類問(wèn)題的研究時(shí)，需從研究對(duì)象處于相對(duì)靜止或運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)的角度把握其本質(zhì)的差別和內(nèi)在的聯(lián)系.這也對(duì)本文的研究作了一定的啟示.1.3研究目的、研究?jī)?nèi)容、研究方法及論文的創(chuàng)新點(diǎn)1.3.1研究目的本文的研究目的是從海涅定理及其推廣的發(fā)展的角度出發(fā)，研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系；運(yùn)用唯物辯證法的矛盾分析法分析數(shù)學(xué)分析中連續(xù)性和離散性的問(wèn)題，并從連續(xù)與離散這對(duì)矛盾的辯證運(yùn)動(dòng)規(guī)律入手，給出解決問(wèn)題的辯證思維方式，豐富數(shù)學(xué)解題方法論.1.3.2研究?jī)?nèi)容第一，研究海涅定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用與推廣的發(fā)展.第二，研究海涅定理體現(xiàn)的數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵與辯證關(guān)系.第三，研究正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的指導(dǎo)思想及方法.第四，基于唯物辯證法的矛盾分析法，結(jié)合實(shí)例闡述數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題實(shí)踐中的運(yùn)用.1.3.3研究方法文獻(xiàn)研究法通過(guò)中國(guó)知網(wǎng)和圖書(shū)館資源等多種方式檢索大量文獻(xiàn)，了解數(shù)學(xué)矛盾、海涅定理、連續(xù)與離散的關(guān)系等相關(guān)理論與實(shí)踐.文獻(xiàn)主要包括中文期刊、英文期刊、學(xué)位論文、教材等.例題分析法數(shù)學(xué)解題是一種實(shí)踐活動(dòng)，實(shí)踐是認(rèn)識(shí)的來(lái)源，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系作為認(rèn)識(shí)，需要接受實(shí)踐的檢驗(yàn).例題分析法是指以數(shù)學(xué)分析中大量典型例題為研究對(duì)象，以連續(xù)與離散的辯證關(guān)系為指導(dǎo)，分析問(wèn)題解決過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證運(yùn)動(dòng)規(guī)律.例題的來(lái)源主要包括教材、期刊、考研試題等.矛盾分析法矛盾分析法是對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在方法上的體現(xiàn)，在唯物辯證法的方法論體系中居于核心的地位，是我們認(rèn)識(shí)事物的根本方法教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:論文的創(chuàng)新點(diǎn)從研究?jī)?nèi)容看，本文主要從哲學(xué)的角度深度研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，而不局限于國(guó)內(nèi)學(xué)者們簡(jiǎn)潔明了地直述連續(xù)與離散是辯證統(tǒng)一的，然后便運(yùn)用簡(jiǎn)單的概念或例題作為論據(jù).從研究方法看，本文在探究連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題實(shí)踐中的運(yùn)用時(shí)，運(yùn)用矛盾分析法分析了問(wèn)題中連續(xù)與離散這對(duì)矛盾的辯證運(yùn)動(dòng)發(fā)展，這一點(diǎn)在國(guó)內(nèi)研究數(shù)學(xué)分析中矛盾的辯證關(guān)系極少，具有一定的開(kāi)創(chuàng)性. 第二章數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵和辯證關(guān)系數(shù)學(xué)分析中的矛盾現(xiàn)象是普遍存在的[7][9]，而數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，最經(jīng)典的體現(xiàn)是數(shù)列與函數(shù)、級(jí)數(shù)與積分的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系[8][9][10].海涅定理是數(shù)學(xué)分析中的重要定理，它在函數(shù)極限與數(shù)列極限之間架起了橋梁，在變量的連續(xù)狀態(tài)和離散狀態(tài)之間建立了聯(lián)系[18].本章首先探索了數(shù)學(xué)分析中的海涅定理及其推廣的發(fā)展，然后分析了數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵和辯證關(guān)系.2.1海涅定理及其推廣的發(fā)展2.1.1函數(shù)極限與數(shù)列極限中的海涅定理普通極限中的海涅定理函數(shù)極限與數(shù)列極限有著本質(zhì)的區(qū)別,它們的定義分別為：定義1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:46.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù).若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:46.，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作.定義2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:23-24.設(shè)為數(shù)列，為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:23-24.，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，記作.從定義1來(lái)看，在內(nèi)必須是連續(xù)不斷地趨近于，若有數(shù)列，它的所有項(xiàng)均在內(nèi)，那么數(shù)列的項(xiàng)均在內(nèi)，從而初步建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的聯(lián)系，即函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限.另一方面，若只有一個(gè)數(shù)列，盡管它的任意項(xiàng)都落在內(nèi)，但卻無(wú)法將填滿，即數(shù)列是離散地趨近于[19]，這顯得函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系具有一定的偶然性.馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為，事物的發(fā)展既包含著必然的方面，也包含著偶然的方面，必然總是伴隨著偶然，必然要通過(guò)偶然表現(xiàn)出來(lái)，并為自己開(kāi)辟道路教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:35..因此，只要對(duì)數(shù)列施加以量變，使其能夠填滿區(qū)間，而隨著量變的積累，數(shù)列的極限就會(huì)產(chǎn)生質(zhì)變，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，從而加深了函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系.這種聯(lián)系最終形成了海涅定理，海涅定理的內(nèi)容及證明如下：教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:35.定理1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:54-55.設(shè)在上有定義.存在的充要條件是：對(duì)任意含于內(nèi)且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:54-55.證明[必要性]設(shè)，則對(duì)任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.設(shè)為任意含于內(nèi)的數(shù)列，且，則對(duì)上述正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，從而，即.[充分性]反證法.假設(shè)不存在，不妨設(shè)，則存在正數(shù)，對(duì)任意的正數(shù)，總存在，使得，.于是存在含于內(nèi)數(shù)列，滿足，但不存在，矛盾.證畢.定理2[20]設(shè)在（或）上有定義.（或）存在的充要條件是：對(duì)任意含于（或）內(nèi)且以為極限的遞減（或遞增）數(shù)列，極限都存在且相等.定理3設(shè)在（或）上有定義.（或）存在的充要條件是：對(duì)任意含于（或）內(nèi)且以（或）為極限的遞增（或遞減）數(shù)列，極限都存在且相等.多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，它保留了一元函數(shù)的許多性質(zhì).在多元函數(shù)極限理論中，海涅定理溝通了多元函數(shù)極限與函數(shù)序列極限之間的聯(lián)系，它的內(nèi)容如下：定理4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:101-102.設(shè)是定義在上的多元函數(shù)，是的一個(gè)聚點(diǎn).的充要條件是：對(duì)于的任一子集，只要是的聚點(diǎn)，就有華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:101-102..一致極限中的海涅定理一致極限是普通極限的特殊形式，因?yàn)椤耙恢隆钡拇嬖?，所以該極限主要作用于多元函數(shù)極限理論.下面以二元函數(shù)為例，給出一致極限的定義以及一致極限中的海涅定理.定義3[21]是函數(shù)當(dāng)時(shí)關(guān)于的一致極限，如果對(duì)任意給定的，總存在，使得當(dāng)時(shí)，有.若，只要把相應(yīng)地?fù)Q成.定理5[21]當(dāng)時(shí)關(guān)于一致收斂于的充要條件是：對(duì)任意以為極限的數(shù)列，，函數(shù)列關(guān)于一致收斂于.2.1.2積分與級(jí)數(shù)中的海涅定理無(wú)窮限反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的海涅定理無(wú)窮限反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)分別是函數(shù)極限和數(shù)列極限的推廣，它們的有關(guān)定義分別是：定義4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:272.設(shè)函數(shù)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:272.，則稱此極限為函數(shù)在上的無(wú)窮限反常積分，記作，并稱收斂.反之，發(fā)散.定義5華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:1-2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:1-2.稱為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記為.記它的前項(xiàng)和為，如果極限存在，則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.反之，發(fā)散.從定義4和定義5可以看出，反常積分是連續(xù)性的求和，級(jí)數(shù)是離散性的求和.而在反常積分與級(jí)數(shù)理論中，收斂性的研究的重要性往往大于計(jì)算方法的研究.為了能夠?qū)⑺鼈兟?lián)系起來(lái)，可以從反常積分的積分域出發(fā)，用極限為的遞增數(shù)列（其中）將積分域劃分，使得被積函數(shù)在數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的積分成為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一項(xiàng)，達(dá)到連續(xù)與離散轉(zhuǎn)換的目的.建立無(wú)窮限反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性的聯(lián)系的海涅定理如下，它與定理3本質(zhì)上是一樣的.定理6設(shè)函數(shù)定義在無(wú)窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積，則收斂的充要條件是：對(duì)任意以為極限的遞增數(shù)列（其中），設(shè)，則數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也收斂.函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分中的海涅定理（1）一致收斂理論中的海涅定理因?yàn)楹瘮?shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分均有兩個(gè)變量，因此，與它們相關(guān)的一致收斂理論本質(zhì)上是多元函數(shù)一致極限理論.它們的關(guān)于一致收斂理論的海涅定理內(nèi)容與證明如下：定理7設(shè)函數(shù)列在上收斂于.時(shí),一致收斂于的充要條件是：對(duì)任意數(shù)列，有（其中為函數(shù)列的第個(gè)余項(xiàng)）.證明[必要性]由于一致收斂于，所以，對(duì)任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.于是對(duì)任意的數(shù)列，有，即.[充分性]反證法.假設(shè)不一致收斂于，則存在正數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，總存在以及，使得.于是，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，總存在正整數(shù)以及，使得.取一個(gè)數(shù)列，使得它的第項(xiàng)為，于是，矛盾.證畢.定理8裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:486.[21]設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上收斂于.時(shí)，一致收斂于的充要條件是：對(duì)任意數(shù)列，記的第個(gè)余和為，則.裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:486.定理9設(shè)含參量反常積分關(guān)于上收斂于，則關(guān)于一致收斂于的充要條件是：對(duì)任意數(shù)列,記為該含參量反常積分的余項(xiàng)，則.（2）含參量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的海涅定理含參量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣，因此，在一致收斂理論中，建立含參量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的聯(lián)系的海涅定理為：定理10[22]設(shè)在任何有窮區(qū)間上可積.含參量反常積分關(guān)于一致收斂的充要條件是：對(duì)任意單調(diào)遞增趨于的數(shù)列，記，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)均關(guān)于一致收斂.上述十種形式的海涅定理，將函數(shù)極限與數(shù)列極限、積分與級(jí)數(shù)中大部分體現(xiàn)連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的因素聯(lián)系了起來(lái).定理1、定理2、定理3、定理4、定理6、定理10分別建立了連續(xù)性的函數(shù)極限與離散性的數(shù)列極限、連續(xù)性的積分求和或（一致）收斂性與離散性的級(jí)數(shù)求和或（一致）收斂性之間的聯(lián)系；定理5建立了多元函數(shù)連續(xù)性的一致極限與離散性的函數(shù)列極限之間的聯(lián)系；定理7、定理8、定理9分別建立了多元函數(shù)極限、函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、含參量反常積分中連續(xù)性的一致收斂與離散性的余項(xiàng)點(diǎn)列極限之間的聯(lián)系.2.2數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)與離散是完全不同的兩個(gè)概念，但它們之間又有著密切的聯(lián)系.本節(jié)在分析海涅定理及其推廣的十種形式所體現(xiàn)的連續(xù)與離散的變量運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上，總結(jié)出數(shù)學(xué)中連續(xù)與離散的概念.2.2.1離散的概念離散是指數(shù)學(xué)中描述處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的數(shù)量變化形態(tài)，是客觀事物不可分性的反映[23].數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)的離散性可以描述為：給定實(shí)數(shù)集的一個(gè)子集，它的一個(gè)元素在中是離散的，如果存在正數(shù)，使得.即實(shí)數(shù)的某個(gè)鄰域除外，沒(méi)有數(shù)集中其他任何元素.稱數(shù)集是離散數(shù)集，如果中任意元素都是離散的.在一個(gè)離散數(shù)集中，實(shí)數(shù)處于一種獨(dú)立狀態(tài)，即在數(shù)集中，無(wú)論是由一個(gè)數(shù)運(yùn)動(dòng)到，還是由運(yùn)動(dòng)到一個(gè)數(shù)，其過(guò)程必定是“跳躍”的.因此，實(shí)數(shù)在離散數(shù)集中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是相對(duì)靜止的.倘若離散數(shù)集中的數(shù)按某特定規(guī)則進(jìn)行排序，那么相鄰兩個(gè)數(shù)之間將沒(méi)有離散數(shù)集中的任何其他的數(shù)，因此，在離散數(shù)集依特定規(guī)則排序后，相鄰數(shù)之間不可再分.由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以有關(guān)數(shù)的離散性可以推廣到點(diǎn)的離散性.從海涅定理及其推廣的十種形式可以看出，無(wú)論是數(shù)列、點(diǎn)列、函數(shù)列、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的，還是無(wú)窮限反常積分、含參量反常積分中的分段積分限，其數(shù)量變化均是離散的.2.2.2連續(xù)的概念連續(xù)是指數(shù)學(xué)中描述處于絕對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)量變化形態(tài)，是客觀事物可分性的反映[23].數(shù)學(xué)中數(shù)的連續(xù)性過(guò)于抽象，常常通過(guò)數(shù)的離散性的對(duì)立面加以闡述：給定實(shí)數(shù)集的一個(gè)子集，它的一個(gè)元素在中是連續(xù)的，如果對(duì)任意給定的正數(shù)，恒成立.即實(shí)數(shù)的任意鄰域除外，必定還存在數(shù)集中其他元素.稱數(shù)集是連續(xù)數(shù)集，如果中任意元素都連續(xù)的.在一個(gè)連續(xù)數(shù)集中，實(shí)數(shù)處于一種聚集狀態(tài)，即在數(shù)集中，無(wú)論是由一個(gè)數(shù)運(yùn)動(dòng)到，還是由運(yùn)動(dòng)到一個(gè)數(shù)，其過(guò)程必定是緊密的.因此，實(shí)數(shù)在連續(xù)數(shù)集中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的.如果連續(xù)數(shù)集中的數(shù)按某特定規(guī)則進(jìn)行排序，那么任意兩個(gè)數(shù)之間必然仍有連續(xù)數(shù)集中的其他的數(shù)，因此，在連續(xù)數(shù)集依特定規(guī)則排序后，任意數(shù)之間是可再分的.由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以有關(guān)數(shù)的連續(xù)性可以推廣到點(diǎn)的連續(xù)性.從海涅定理及其推廣的十種形式可以看出，無(wú)論是函數(shù)、函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的，還是無(wú)窮限反常積分、含參量反常積分中的整體積分限，其數(shù)量變化均是連續(xù)的.2.3數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)與離散是貫穿其始終的一對(duì)矛盾，它們既對(duì)立又統(tǒng)一，它們的辯證運(yùn)動(dòng)推動(dòng)著數(shù)學(xué)分析中極限、積分、級(jí)數(shù)等理論的發(fā)展.本節(jié)主要闡述連續(xù)與離散的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，并在充分分析海涅定理及其推廣的十種形式的基礎(chǔ)上，給出連續(xù)與離散幾個(gè)重要的哲學(xué)原理.2.3.1連續(xù)與離散的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系連續(xù)與離散的對(duì)立性連續(xù)與離散在本質(zhì)上是對(duì)立的，主要表現(xiàn)為：第一，它們是內(nèi)容不同的兩個(gè)概念.連續(xù)是指數(shù)學(xué)中描述處于絕對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)量變化形態(tài)，是客觀事物可分性的反映；離散是指數(shù)學(xué)中描述處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的數(shù)量變化形態(tài)，是客觀事物不可分性的反映.連續(xù)不是離散，離散也不是連續(xù).第二，它們的表現(xiàn)形式不同.在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)表現(xiàn)在變量運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的稠密狀態(tài)，比如,表示在的某鄰域內(nèi)連綿不斷、“無(wú)縫隙”地運(yùn)動(dòng)、靠近；連續(xù)則表現(xiàn)為變量運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的相對(duì)獨(dú)立狀態(tài)，比如，時(shí)，表示數(shù)列的項(xiàng)在的某鄰域內(nèi)隨正整數(shù)的增大而呈現(xiàn)“跳躍式”地運(yùn)動(dòng)、靠近.連續(xù)與離散的統(tǒng)一性連續(xù)與離散之間也并不存在不可逾越的鴻溝，它們是統(tǒng)一的[24]，主要表現(xiàn)為：第一，離散是連續(xù)的形成背景.首先，數(shù)或點(diǎn)的連續(xù)性是以數(shù)或點(diǎn)的離散性為基礎(chǔ)得出的；其次，在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)性的結(jié)論通常是以離散性的結(jié)論作為鋪墊的.第二，連續(xù)是離散的積累結(jié)果.在數(shù)學(xué)分析中，數(shù)或點(diǎn)的連續(xù)是由其鄰域內(nèi)離散的數(shù)或點(diǎn)的無(wú)間斷、無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)定義的，這種運(yùn)動(dòng)只有離散的數(shù)或點(diǎn)在隨量變積累到一定程度引起質(zhì)變的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn).第三，連續(xù)與離散在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)分析解題實(shí)踐的過(guò)程中，處理較為復(fù)雜的連續(xù)性的問(wèn)題時(shí)，可以運(yùn)用海涅定理將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的離散性問(wèn)題.反之亦然.2.3.2連續(xù)與離散的兩個(gè)重要原理連續(xù)與離散的普遍性與特殊性原理普遍性與特殊性是每一對(duì)矛盾都具有的性質(zhì)，矛盾的普遍性即矛盾的共性，矛盾的特殊性即矛盾的個(gè)性教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M]教材編寫(xiě)組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:37-38.連續(xù)與離散的普遍性與特殊性原理告訴我們，在分析、解決連續(xù)性問(wèn)題或離散性問(wèn)題時(shí)，要始終以辯證的眼光去看待，并合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系.連續(xù)與離散的絕對(duì)性與相對(duì)性原理/p-7149630358805.html/p-7149630358805.html連續(xù)與離散的絕對(duì)性是指連續(xù)與離散是矛盾的兩個(gè)方面，它們具有統(tǒng)一性，兩者共生互補(bǔ)，缺一不可；連續(xù)與離散的相對(duì)性是指連續(xù)與離散作為矛盾的兩個(gè)方面，從某一個(gè)方面考察是連續(xù)的量，從另一個(gè)方面考察則是離散的量，在某些情況下連續(xù)表現(xiàn)為決定性的，有時(shí)離散表現(xiàn)為決定性的.連續(xù)與離散的相對(duì)性與絕對(duì)性原理告訴我們，在分析、解決連續(xù)與離散作為主要矛盾的問(wèn)題時(shí)，善于抓住矛盾中表現(xiàn)決定性的一面，便可達(dá)到對(duì)問(wèn)題的全面理解.第三章正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析相關(guān)概念或定理之中，更重要的體現(xiàn)是在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中的實(shí)踐運(yùn)用.學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要目的，是通過(guò)理論知識(shí)分析、解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.因此，如何正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是本章研究的重點(diǎn)內(nèi)容.本章首先從馬克思主義哲學(xué)和數(shù)學(xué)的角度分別闡述了正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的意義，其次從馬克思主義哲學(xué)的角度分析了正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想及方法.3.1正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的意義3.1.1正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是馬克思主義認(rèn)識(shí)論的必然要求在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中，正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是馬克思主義認(rèn)識(shí)論的必然要求，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：從實(shí)踐的角度看，第一，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是在對(duì)海涅定理及其推廣發(fā)展的十種形式進(jìn)行學(xué)習(xí)與研究的基礎(chǔ)上通過(guò)分析、歸納得出的，因此，連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是在實(shí)踐中形成的一種認(rèn)識(shí)，它也必須在實(shí)踐中得到發(fā)展；第二，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過(guò)程中的實(shí)踐改造了數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者和研究者的主觀世界，鍛煉和提高了他們對(duì)連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的理解與認(rèn)識(shí)的能力，因此，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過(guò)程中的實(shí)踐是連續(xù)與離散的辯證關(guān)系發(fā)展的動(dòng)力；第三，數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)性問(wèn)題和離散性問(wèn)題的順利解決離不開(kāi)連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的正確、有效的指導(dǎo)，因此，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過(guò)程中的實(shí)踐是檢驗(yàn)正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系得當(dāng)與否的最佳方式.從認(rèn)識(shí)的角度看，正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是在連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)的辯證過(guò)程中實(shí)現(xiàn)從認(rèn)識(shí)到實(shí)踐的飛躍的重要條件.首先，通過(guò)閱讀大量有關(guān)數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的理論和實(shí)踐的文獻(xiàn)，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者和研究者獲得了對(duì)數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)，而在對(duì)海涅定理的學(xué)習(xí)與研究的實(shí)踐過(guò)程中，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者和研究者通過(guò)概念、推理使得這種感性認(rèn)識(shí)能動(dòng)地過(guò)渡到理性認(rèn)識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)過(guò)程中從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)的飛躍；其次，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者和研究者通過(guò)形成正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想、運(yùn)用正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的科學(xué)方法等中間環(huán)節(jié)，使得數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系和解題過(guò)程相結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)過(guò)程中從認(rèn)識(shí)到實(shí)踐的飛躍.經(jīng)歷了認(rèn)識(shí)過(guò)程的兩次飛躍，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過(guò)程的實(shí)踐中達(dá)到預(yù)期的結(jié)果，正如習(xí)近平所指出：“理論思維的起點(diǎn)決定著理論創(chuàng)新的結(jié)果.謝伏瞻.書(shū)寫(xiě)當(dāng)代中國(guó)學(xué)術(shù)史謝伏瞻.書(shū)寫(xiě)當(dāng)代中國(guó)學(xué)術(shù)史,加快構(gòu)建中國(guó)特色哲學(xué)社會(huì)科學(xué)[N].光明日?qǐng)?bào),2019-12-31(6).3.1.2正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是發(fā)展數(shù)學(xué)方法論的重要途徑在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中，正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是發(fā)展數(shù)學(xué)方法論的重要途徑，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：從數(shù)學(xué)宏觀方法論的角度看，在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中運(yùn)用連續(xù)與離散的辯證關(guān)系深刻地體現(xiàn)了馬克思主義哲學(xué)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系.馬克思主義哲學(xué)帶給我們科學(xué)的世界觀、方法論，是推動(dòng)其他所有學(xué)科、科學(xué)向前發(fā)展的強(qiáng)大的精神力量.正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是馬克思主義哲學(xué)指導(dǎo)數(shù)學(xué)理論體系的構(gòu)造與發(fā)展的重要體現(xiàn).從數(shù)學(xué)微觀方法論的角度看，在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中，正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系推動(dòng)了數(shù)學(xué)分析解題轉(zhuǎn)化思想的發(fā)展.連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中的實(shí)踐運(yùn)用主要表現(xiàn)在連續(xù)性問(wèn)題與離散性問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，從問(wèn)題的對(duì)立面把握對(duì)原問(wèn)題的充分理解，因此，正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，豐富和發(fā)展了數(shù)學(xué)分析解題思想理論與解題方法理論.3.2正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想和方法3.2.1正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想馬克思主義哲學(xué)告訴我們，事物的發(fā)展體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一、質(zhì)量互變、否定之否定的規(guī)律.因此，在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中，以聯(lián)系、辯證、發(fā)展的眼光看待問(wèn)題，是正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想.在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中，必然存在著種種矛盾，該思想的主要內(nèi)容是：第一，以聯(lián)系的眼光看待問(wèn)題，就是要善于將問(wèn)題中包括連續(xù)與離散在內(nèi)的每對(duì)內(nèi)在的矛盾運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)的相應(yīng)環(huán)節(jié)銜接起來(lái)，每個(gè)環(huán)節(jié)都是問(wèn)題發(fā)展過(guò)程中的量，而各個(gè)環(huán)節(jié)的銜接是量變的積累，最后形成了直觀、縝密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算或證明過(guò)程，問(wèn)題得到質(zhì)的飛躍.第二，以辯證的眼光看待問(wèn)題，就是要時(shí)刻牢記連續(xù)與離散的對(duì)立性與統(tǒng)一性，善于在合理時(shí)機(jī)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系.第三，以發(fā)展的眼光看待問(wèn)題，就是要在連續(xù)與離散的辯證運(yùn)動(dòng)過(guò)程，善于尋找否定因素，善于適時(shí)、合理地進(jìn)行辯證否定，造成問(wèn)題的性質(zhì)轉(zhuǎn)變，使問(wèn)題朝著更佳的方向發(fā)展.3.2.2正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的方法正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想不僅明確了在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的科學(xué)態(tài)度，還給出了正確處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的方法——矛盾分析法.本小節(jié)主要闡述運(yùn)用矛盾分析法處理數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的具體觀點(diǎn).堅(jiān)持聯(lián)系與發(fā)展的統(tǒng)一堅(jiān)持聯(lián)系與發(fā)展的統(tǒng)一，就是要在數(shù)學(xué)分析解題過(guò)程中，從發(fā)展中建立聯(lián)系，從聯(lián)系中謀求發(fā)展.具體表現(xiàn)為：第一，在問(wèn)題的發(fā)展解決過(guò)程中建立起各對(duì)矛盾之間的聯(lián)系，使得矛盾的地位能夠發(fā)生變化；第二，問(wèn)題中每對(duì)矛盾的辯證運(yùn)動(dòng)之間相互聯(lián)系，否定因素逐漸增強(qiáng)，推動(dòng)著問(wèn)題的發(fā)展解決.堅(jiān)持連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一堅(jiān)持連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一主要有兩個(gè)方面的內(nèi)容，在堅(jiān)持普遍性的原則下，第一，在離散性問(wèn)題中，尋找各離散的變量的共性，將它們歸結(jié)到一個(gè)連續(xù)的變量中；第二，在連續(xù)性問(wèn)題中，要具體分析問(wèn)題，重點(diǎn)突出連續(xù)的變量的個(gè)性，將連續(xù)的變量轉(zhuǎn)化為系列離散的變量.堅(jiān)持連續(xù)與離散的絕對(duì)性與相對(duì)性的統(tǒng)一堅(jiān)持連續(xù)與離散的絕對(duì)性與相對(duì)性的統(tǒng)一也有兩個(gè)方面的內(nèi)容，第一，分析問(wèn)題的主要矛盾和次要矛盾，統(tǒng)籌每對(duì)矛盾以及矛盾表現(xiàn)出的主要方面；第二，在以連續(xù)與離散為主要矛盾的問(wèn)題中，合理地對(duì)原本的矛盾因素辯證否定，使問(wèn)題的性質(zhì)發(fā)生轉(zhuǎn)化，連續(xù)與離散的起決定性的一面成為矛盾的主要方面.第四章數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過(guò)程中的實(shí)踐運(yùn)用在數(shù)學(xué)分析中，海涅定理所體現(xiàn)的連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)解題實(shí)踐具有重要的指導(dǎo)作用，并隨著實(shí)踐的發(fā)展而發(fā)展.本章主要運(yùn)用矛盾分析法，結(jié)合具體的例題闡述連續(xù)與離散的辯證關(guān)系對(duì)例題的分析、解決過(guò)程的指導(dǎo)作用，其中心思想是：將問(wèn)題求解的過(guò)程視為問(wèn)題從已知向未知的辯證發(fā)展的過(guò)程，在此過(guò)程中深入貫徹正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的指導(dǎo)思想及方法.4.1連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在極限解題實(shí)踐中的運(yùn)用4.1.1極限的計(jì)算與證明例1計(jì)算極限.分析本例所求數(shù)列極限，顯然是以連續(xù)與離散作為問(wèn)題的主要矛盾，離散作為矛盾的主要方面，我們首先可以根據(jù)定理1的必要性，將離散性的變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)性的變量，再通過(guò)函數(shù)極限的求解方法求出結(jié)果，而離散性的變量作為連續(xù)性的變量的一種特殊形式，這體現(xiàn)了離散是連續(xù)的形成背景的辯證關(guān)系和連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.解例2[25]證明極限不存在.分析本例中連續(xù)與離散為主要矛盾，連續(xù)作為矛盾的主要方面，但是由于當(dāng)時(shí)值上下波動(dòng)的復(fù)雜性，我們無(wú)法直接判斷極限的存在性，而根據(jù)定理1的逆否命題，我們可以取連續(xù)性的的兩種特殊的積累形式，即離散的形式和，使得對(duì)應(yīng)的數(shù)列極限不相等，便可得到原來(lái)的函數(shù)極限不存在.這體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系和連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.證明取及，，則，，但，，于是極限不存在.例3證明極限不存在.分析本例討論多元函數(shù)極限的存在性，是一個(gè)典型的體現(xiàn)連續(xù)與離散辯證運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題.連續(xù)與離散為主要矛盾，連續(xù)是問(wèn)題中矛盾的主要方面，但是由于函數(shù)的變量是沿除直線方向外及其他任意方向運(yùn)動(dòng)到，所以從連續(xù)的角度出發(fā)不易解決問(wèn)題.為此，根據(jù)定理4，我們可以選取兩組離散的點(diǎn)列，從離散的角度分析問(wèn)題，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化并解決.這體現(xiàn)了離散是連續(xù)的形成背景的辯證關(guān)系及連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.證明取，則，.再取，則，.于是極限不存在.4.1.2函數(shù)極限性質(zhì)的證明例4[26]設(shè)，且在某內(nèi)有，證明.分析函數(shù)極限與數(shù)列極限的性質(zhì)具有較高的相似性.本例在于證明函數(shù)單側(cè)極限的迫斂性，因此，連續(xù)與離散作為問(wèn)題的主要矛盾，連續(xù)作為矛盾的主要方面.我們?cè)谝阎獢?shù)列極限的迫斂性的前提下，自然而然地可以選擇對(duì)連續(xù)性的函數(shù)極限進(jìn)行辯證否定，將函數(shù)極限離散化，轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限，再對(duì)數(shù)列極限施加以量變，隨著量變的積累，離散性的數(shù)列極限再次自我否定，質(zhì)變?yōu)楹瘮?shù)極限，從而數(shù)列極限的迫斂性辯證發(fā)展為函數(shù)數(shù)列的迫斂性.上述過(guò)程體現(xiàn)了連續(xù)與離散在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系和質(zhì)量互變與否定之否定的規(guī)律.證明由于，則由定理2的必要性，對(duì)于任意含于內(nèi)且以為極限的遞減數(shù)列，有.而顯然有，于是由數(shù)列極限的迫斂性，.再由數(shù)列的任意性及定理2的充分性，.證畢.4.1.3連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明例5證明函數(shù)在和上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù).分析本例旨在判斷連續(xù)函數(shù)的一致收斂性.在開(kāi)區(qū)間中，只要連續(xù)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的單側(cè)極限都存在，那么連續(xù)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上就是一致連續(xù)的.若開(kāi)區(qū)間中間有一個(gè)奇點(diǎn)，那么這個(gè)奇點(diǎn)便是影響連續(xù)函數(shù)在整體區(qū)間上一致連續(xù)性的重要因素，此時(shí)，以連續(xù)與離散為問(wèn)題的主要矛盾，連續(xù)是矛盾的主要方面，但是按一致連續(xù)的定義，因?yàn)槠纥c(diǎn)的存在，點(diǎn)是無(wú)法任意地在奇點(diǎn)左右連續(xù)地運(yùn)動(dòng)，所以絕對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的連續(xù)無(wú)法解決問(wèn)題.因此需要運(yùn)用定理2，將連續(xù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的問(wèn)題，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.這體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系和連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.證明顯然在和上連續(xù)，且，，，，所以在和上一致連續(xù).另一方面，取，由在處的左右連續(xù)性，取遞減數(shù)列，遞增數(shù)列，使得，，.于是，但.由一致連續(xù)性的證明過(guò)程知,在上不一致連續(xù).證畢.4.1.4一元函數(shù)的連續(xù)性與可微性的證明一元函數(shù)的連續(xù)性與可微性的證明，是典型的連續(xù)與離散作為主要矛盾的問(wèn)題，通常問(wèn)題是以連續(xù)為矛盾的主要方面.Dirichlet函數(shù)是較為特殊的一元函數(shù)，它的定義域可分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，因此，與之相關(guān)的連續(xù)性與可微性問(wèn)題必須以離散為矛盾的主要方面，必須分別討論其在有理數(shù)點(diǎn)與無(wú)理數(shù)點(diǎn)處的有關(guān)性質(zhì)，從而可以達(dá)到對(duì)離散的對(duì)立面——連續(xù)的充分認(rèn)識(shí)，這體現(xiàn)了離散是連續(xù)的形成背景和連續(xù)與離散的絕對(duì)性與相對(duì)性的統(tǒng)一.具體實(shí)例見(jiàn)例6、例7.例6裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:157.證明裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:157.證明對(duì)任意的，若，則對(duì)任意的正數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)的稠密性，內(nèi)既有無(wú)理數(shù)點(diǎn)又有有理數(shù)點(diǎn)，取無(wú)理數(shù)點(diǎn)列，則對(duì)，有.從而在有理點(diǎn)處不連續(xù).類似地，可證得在無(wú)理點(diǎn)處也不連續(xù)，于是在上處處不連續(xù).證畢.例7[26]判斷在上的可微性.解首先，由，知在點(diǎn)處可導(dǎo).其次，當(dāng)時(shí)，若為有理數(shù)，取有理點(diǎn)列，滿足，則.再取大于且趨于的無(wú)理點(diǎn)列，則.根據(jù)定理1，知在點(diǎn)處不可導(dǎo)，即在非零有理點(diǎn)處不可導(dǎo).類似地，可以證得在無(wú)理點(diǎn)處不可導(dǎo).證畢.4.1.5多元函數(shù)連續(xù)性的證明例8選自浙江大學(xué)2019年研究生入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)分析,第6題.設(shè)定義在上.并且滿足：（1）分別關(guān)于是連續(xù)函數(shù)；（2）若為中的緊集，則是中的緊集.證明是上的連續(xù)函數(shù).選自浙江大學(xué)2019年研究生入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)分析,第6題.分析本例多元函數(shù)連續(xù)性的證明，以連續(xù)與離散為主要矛盾，連續(xù)本應(yīng)是矛盾的主要方面，但緊集的條件給了我們關(guān)于解題方法的重要提示，即構(gòu)造緊集，因此，必須以離散作為矛盾的主要方面.反證法是本例的主要方法，根據(jù)連續(xù)與離散的相對(duì)性與絕對(duì)性原理，可以從離散作為決定性的一面解決問(wèn)題，達(dá)到對(duì)連續(xù)乃至整個(gè)問(wèn)題的全面理解與認(rèn)識(shí).根據(jù)定理4，將連續(xù)性的轉(zhuǎn)化為離散性的，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的有關(guān)定理以及條件（1）中函數(shù)關(guān)于單變量連續(xù)的性質(zhì)，在的某鄰域內(nèi)構(gòu)造緊集，再運(yùn)用條件（2）得出矛盾的結(jié)果.上述過(guò)程體現(xiàn)了連續(xù)與離散在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系.證明反證法.不妨設(shè)在點(diǎn)不連續(xù)，且.則存在正數(shù)以及遞減數(shù)列，，其中，，使得.由條件（1），是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，于是對(duì)上述正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.因此，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，從而.由條件（1），對(duì)任意的，是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，于是根據(jù)中值定理，存在，使得.由于，故，故點(diǎn)集是緊集.由條件（2）知是緊集，故是的極限點(diǎn)，而，矛盾.證畢.4.1.6無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限與數(shù)列極限統(tǒng)一性問(wèn)題的討論無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限與數(shù)列極限統(tǒng)一性問(wèn)題，是連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的重要體現(xiàn).例9告訴我們，僅函數(shù)存在定義的前提下，無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限與數(shù)列極限不一定能夠統(tǒng)一；而例10告訴我們，函數(shù)加強(qiáng)有一致連續(xù)的性質(zhì)后，無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限與數(shù)列極限便可以統(tǒng)一起來(lái).僅函數(shù)存在定義的前提下，我們?nèi)菀渍业揭粋€(gè)反例論證，而函數(shù)一致連續(xù)時(shí)，連續(xù)與離散是問(wèn)題的主要矛盾，矛盾的主要方面則根據(jù)問(wèn)題的辯證運(yùn)動(dòng)發(fā)展有所不同.例10所證函數(shù)無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限的存在性，因此，連續(xù)作為矛盾的主要方面.根據(jù)函數(shù)一致連續(xù)的定義，可以將連續(xù)辯證否定、轉(zhuǎn)化為離散，此時(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)處離散的點(diǎn)成為主要研究對(duì)象.根據(jù)題給條件“對(duì)任意的，序列的極限存在”，無(wú)窮遠(yuǎn)處離散的點(diǎn)的特性通過(guò)數(shù)列極限的柯西收斂準(zhǔn)則得到強(qiáng)化，使函數(shù)極限徹底地轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限，離散成為矛盾的主要方面.最后，在函數(shù)一致連續(xù)的理論基礎(chǔ)上，數(shù)列極限辯證運(yùn)動(dòng)發(fā)展，離散進(jìn)行了辯證否定、轉(zhuǎn)化為連續(xù)，數(shù)列極限重新轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，上述過(guò)程體現(xiàn)了連續(xù)與離散在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系和否定之否定的規(guī)律.例9李成章,黃玉民編.南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)叢書(shū):數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第二版.北京:科學(xué)出版社,2007:80.設(shè)函數(shù)在中有定義，且對(duì)任何，都有李成章,黃玉民編.南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)叢書(shū):數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].第二版.北京:科學(xué)出版社,2007:80.解不一定.比如函數(shù).若為有理數(shù)，則對(duì)任意的，也為有理數(shù)，從而，于是，但.若為無(wú)理數(shù)，分兩種情況.（1）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在正整數(shù)，，使得，顯然，那么為有理數(shù)，矛盾.于是對(duì)任意的，，從而，但.（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在正整數(shù)，，，(，)，使得，，那么為有理數(shù)，矛盾，所以最多只有一個(gè)，使得，記為.于是對(duì)任意的，，從而，但.于是，對(duì)任何，都有，但.例10選自浙江大學(xué)2014年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析，第8題.設(shè)在上一致連續(xù).若對(duì)任意的，序列的極限存在，證明存在.選自浙江大學(xué)2014年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析，第8題.證明因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，所以對(duì)任意的正數(shù)，存在正數(shù)，使得當(dāng)且時(shí)，有.又對(duì)任意的，序列的極限存在.由柯西收斂準(zhǔn)則，對(duì)上述正數(shù)，，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.現(xiàn)取，則時(shí)，，且.于是當(dāng)時(shí)，有由函數(shù)極限的的柯西收斂準(zhǔn)則，存在.證畢.4.2連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在反常積分解題實(shí)踐中的運(yùn)用4.2.1反常積分的計(jì)算與斂散性的判別例112019年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(一)試題,第172019年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(一)試題,第17題改編.分析連續(xù)性的反常積分求和與離散性的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和是統(tǒng)一的，因此本例中連續(xù)與離散是主要矛盾.本例存在著的因素，所以被積函數(shù)在是沒(méi)有原函數(shù)的，因此，無(wú)法通過(guò)連續(xù)的方面解決問(wèn)題.考慮到的周期性，可以將積分區(qū)間劃分為，運(yùn)用定理6將連續(xù)性的積分求轉(zhuǎn)化為離散性的級(jí)數(shù)求和，離散作為矛盾的主要方面，同時(shí)也是決定性的一面，從而問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.上述過(guò)程體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系及連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.解例12裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:469.分析本例由于在無(wú)窮遠(yuǎn)處極限不確定性的因素，使得無(wú)窮限反常積分?jǐn)可⑿耘袆e定理在不同程度上“失靈”.此時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為離散性的級(jí)數(shù)和形式，運(yùn)用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別定理，是最佳的解決方式.連續(xù)與離散是問(wèn)題的主要矛盾，離散作為矛盾的主要方面，首先，通過(guò)的周期性，將積分區(qū)間劃分為，其次，將得到的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)依的單調(diào)性分段討論其斂散性，結(jié)合運(yùn)用定理6達(dá)到對(duì)原數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的認(rèn)識(shí).上述過(guò)程體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系及連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.解記，由于時(shí)，，所以由比較判別法知收斂.同理可知收斂，于是原級(jí)數(shù)收斂.4.2.2反常積分收斂性與無(wú)窮遠(yuǎn)處極限之間的聯(lián)系的討論通常情況下，無(wú)窮限反常積分收斂與被積函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限為零沒(méi)有必然的聯(lián)系，但函數(shù)通過(guò)一定條件加強(qiáng)后，這種聯(lián)系就成為必然了，這體現(xiàn)了事物發(fā)展過(guò)程中聯(lián)系的必然性與偶然性的統(tǒng)一.在證明無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限為零的過(guò)程中，除了海涅定理外，無(wú)窮限反常積分收斂的柯西收斂準(zhǔn)則也起著重要的作用.例13的證明無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)極限為零的過(guò)程體現(xiàn)了否定之否定的規(guī)律和連續(xù)與離散在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，連續(xù)與離散作為問(wèn)題的主要矛盾，連續(xù)作為矛盾的主要方面無(wú)法直接為問(wèn)題的解決提供動(dòng)力，因此，在無(wú)窮限反常積分收斂的柯西收斂準(zhǔn)則的作用下，連續(xù)進(jìn)行辯證否定轉(zhuǎn)化為離散，定理3的必要性將離散的程度進(jìn)行加強(qiáng)，使離散成為矛盾的主要方面.而在定理3的充分性的作用下，離散辯證否定，使得數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，問(wèn)題在矛盾的兩次辯證否定的運(yùn)動(dòng)發(fā)展中得到解決.例13裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:416.若函數(shù)連續(xù)可微，反常積分和裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:416.證明因?yàn)槭諗?，所以由柯西收斂?zhǔn)則，對(duì)任意給定的正數(shù)，存在，使得對(duì)任意的時(shí)，有.如此對(duì)任意單調(diào)遞增趨于的數(shù)列，存在正整數(shù)，使得當(dāng)正整數(shù)時(shí)，有，從而.故收斂.由定理3，存在.下證.若，由函數(shù)極限的保號(hào)性，存在，使得當(dāng)時(shí)，有，從而時(shí)，.這與收斂矛盾.同理可知，也不可能.故.證畢.4.3連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分解題實(shí)踐中的運(yùn)用4.3.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分的一致收斂性的判別具體的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分的一致收斂性的判別，主要是通過(guò)定理8與定理9，將連續(xù)性的一致收斂問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的余項(xiàng)點(diǎn)列極限問(wèn)題.在一個(gè)判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參量反常積分一致收斂性的問(wèn)題中，連續(xù)與離散為問(wèn)題的主要矛盾，連續(xù)是矛盾的主要方面，運(yùn)用定理8或定理9將問(wèn)題轉(zhuǎn)化后，離散成為矛盾的主要方面，也是問(wèn)題辯證運(yùn)動(dòng)發(fā)展起決定性作用的一面.上述過(guò)程體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系和連續(xù)與離散的絕對(duì)性與相對(duì)性的統(tǒng)一.例14判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的一致收斂性.證明記，，.則.取，則，而.于是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上不一致收斂.例15判斷含參量反常積分在上的一致收斂性.證明，.取，則，而于是原含參量反常積分不一致收斂.4.3.2Dini定理的證明Dini定理是數(shù)學(xué)分析中極其重要的一個(gè)定理.它主要有三種形式，分別作為函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和含參量反常積分一致收斂的一種判別方法.歷來(lái)教材或輔導(dǎo)資料上呈現(xiàn)的是它的正面證法，這里將運(yùn)用定理7從反面進(jìn)行證明，三種形式在本質(zhì)上是統(tǒng)一的，因此，本節(jié)主要討論函數(shù)列一致收斂的Dini定理的證明.Dini定理的證明過(guò)程中，除了連續(xù)與離散作為主要矛盾外，還存在著連續(xù)函數(shù)列與其收斂的連續(xù)函數(shù)所體現(xiàn)的過(guò)程與結(jié)果的矛盾、函數(shù)列單調(diào)過(guò)程中整體與局部的矛盾；首先，連續(xù)作為主要矛盾的主要方面，一開(kāi)始就將其辯證否定轉(zhuǎn)化為離散，運(yùn)用定理7將離散程度強(qiáng)化，連續(xù)性的一致收斂問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散性的余項(xiàng)點(diǎn)列極限問(wèn)題，離散作為主要矛盾的主要方面，其次，通過(guò)致密性定理選取合適的點(diǎn)列，貫徹到過(guò)程與結(jié)果的矛盾運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，最后，將結(jié)果作用于整體與局部的矛盾運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，找出悖論，使得離散辯證否定，問(wèn)題再次轉(zhuǎn)化成為連續(xù)性的一致收斂問(wèn)題.上述否定之否定的辯證發(fā)展過(guò)程