8328126-吳想-從海涅原理看數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系

從海涅原理看數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系摘要：本文主要運用文獻研究法、例題分析法、矛盾分析法等方法，首先從海涅定理及其推廣形式出發(fā)，給出了數(shù)學(xué)分析中變量的連續(xù)與離散的概念，闡述了數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是：離散是連續(xù)的形成背景，連續(xù)是離散的積累結(jié)果，連續(xù)與離散在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.其次，在閱讀文獻的基礎(chǔ)上，歸納了連續(xù)與離散的兩個重要原理，然后論述了正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想及方法.再次，基于正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的指導(dǎo)思想與方法，結(jié)合大量具體的實例深刻探討了連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過程中的實踐運用，其中關(guān)于連續(xù)與離散的辯證關(guān)系和運用矛盾分析法分析討論連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過程中的實踐運用是本文的創(chuàng)新點.最后，針對本文進行了系統(tǒng)地總結(jié)，并在發(fā)現(xiàn)一些不足之處后對下一步的研究作了一定的啟示.關(guān)鍵詞：海涅定理；連續(xù)；離散；辯證關(guān)系；辯證否定TheDialecticalRelationshipBetweenContinuityandDiscretenessinMathematicalAnalysisBasedonHeineTheoremAbstract:Inthispaper,wemainlyusemethodsofliteratureresearch,sampleanalysis,contradictionanalysis.Firstofall,fromtheperspectiveofHeinetheoremanditsextendedform,thispaperpresentstheconceptofcontinuityanddiscretenessofvariablesinmathematicalanalysis,andexpoundsthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscretenessinmathematicalanalysisthatis:discretenessistheformativebackgroundofcontinuity,continuityistheaccumulatedresultofdiscreteness,continuityanddiscretenesscantransformeachotherundercertainconditions.Secondly,onthebasisofreadingliterature,thispapersummarizestwoimportantprinciplesofcontinuityanddiscreteness,andthendiscussestheguidingideologyandmethodofcorrectlyhandlingthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscreteness.Thirdly,basedontheguidingideologyandmethodofcorrectlydealingwiththedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscreteness,combinedwithalargenumberofspecificexamples,thispaperdeeplydiscussestheapplicationofthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscretenessinproblem-solvingpractice,amongwhichthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscretenessandtheapplicationofcontradictionanalysistoanalyzeanddiscusstheapplicationofthedialecticalrelationshipbetweencontinuityanddiscretenessinproblem-solvingpracticearetheinnovationofthispaper.Intheend,thispapermakesasystematicsummaryandprovidessomeenlightenmentforthenextresearchafterfindingsomeshortcomings.Keywords:Heinetheorem;Continuity;Discreteness;Dialecticalrelation;Dialecticalnegation目錄TOC\o"1-3"\h\u21273摘要 I13699Abstract II15365第一章緒論 186291.1選題背景及研究意義 1157931.1.1選題背景 162771.1.2研究意義 2311961.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及述評 3178701.2.1國外研究現(xiàn)狀 34481.2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀 3244531.3研究目的、研究內(nèi)容、研究方法及論文的創(chuàng)新點 5324101.3.1研究目的 5288321.3.2研究內(nèi)容 58771.3.3研究方法 6195471.3.4論文的創(chuàng)新點 631167第二章數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵和辯證關(guān)系 7298112.1海涅定理及其推廣的發(fā)展 7269852.1.1函數(shù)極限與數(shù)列極限中的海涅定理 7210612.1.2積分與級數(shù)中的海涅定理 970832.2數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵 12250862.2.1離散的概念 12235892.2.2連續(xù)的概念 13103052.3數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系 13282662.3.1連續(xù)與離散的對立統(tǒng)一關(guān)系 13199402.3.2連續(xù)與離散的兩個重要原理 1417730第三章正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系 15232253.1正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的意義 15124973.1.1正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是馬克思主義認識論的必然要求 1539663.1.2正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是發(fā)展數(shù)學(xué)方法論的重要途徑 1690333.2正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想和方法 1682933.2.1正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想 16265703.2.2正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的方法 1623771第四章數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過程中的實踐運用 18178204.1連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在極限解題實踐中的運用 18303184.1.1極限的計算與證明 1866364.1.2函數(shù)極限性質(zhì)的證明 19266294.1.3連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 2011964.1.4一元函數(shù)的連續(xù)性與可微性的證明 21183834.1.5多元函數(shù)連續(xù)性的證明 22269594.1.6無窮遠處函數(shù)極限與數(shù)列極限統(tǒng)一性問題的討論 23249664.2連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在反常積分解題實踐中的運用 25190534.2.1反常積分的計算與斂散性的判別 2592174.2.2反常積分收斂性與無窮遠處極限之間的聯(lián)系的討論 26326704.3連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分解題實踐中的運用 2710674.3.1函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分的一致收斂性的判別 27325194.3.2Dini定理的證明 2818647第五章結(jié)論與啟示 311095.1結(jié)論 3135925.2啟示 3111727參考文獻 32935致謝 33第一章緒論1.1選題背景及研究意義1.1.1選題背景數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的基礎(chǔ)課程，它在整個高等數(shù)學(xué)知識體系中的地位是十分重要的.陳華喜陳華喜,安徽蚌埠,蚌埠學(xué)院,數(shù)學(xué)與物理系.曾指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是哲學(xué)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間是一個相互依存的關(guān)系[1].”因此，從哲學(xué)的視野來看待數(shù)學(xué)分析，這不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的需要，而且也是教學(xué)與研究數(shù)學(xué)分析、發(fā)展數(shù)學(xué)分析的需要[2].陳華喜,安徽蚌埠,蚌埠學(xué)院,數(shù)學(xué)與物理系.我國自2016年局部性省市高考改革實施文理不分科以來，至2020年已形成全國性的改革.因此，現(xiàn)在的高中畢業(yè)生在進入大學(xué)學(xué)習(xí)生活之前，已普遍接受高中思想政治課程教育部普通高中思想政治課程標準試驗教材編寫組編.普通高中課程標準實驗教科書《思想政治必修4生活與哲學(xué)》[教育部普通高中思想政治課程標準試驗教材編寫組編.普通高中課程標準實驗教科書《思想政治必修4生活與哲學(xué)》[M].第一版.北京:人民教育出版社,2004.教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:39.在數(shù)學(xué)分析的領(lǐng)域，從解題方法到數(shù)學(xué)思想本身，無不有著辯證法尤其是對立統(tǒng)一[6]，而在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，能否能深刻認識數(shù)學(xué)分析中的矛盾現(xiàn)象，能否深入研究各個矛盾中的對立統(tǒng)一關(guān)系，就成為領(lǐng)會和掌握數(shù)學(xué)分析的精髓的關(guān)鍵[7][8][9].然而，當前學(xué)者們對數(shù)學(xué)分析中的矛盾的辯證關(guān)系研究的特點主要表現(xiàn)為范圍廣但缺乏深度，比如，他們雖然歸納出數(shù)學(xué)分析中有著常量與變量、連續(xù)與離散、整體與局部等大量矛盾，但對于它們的辯證關(guān)系的研究大多數(shù)僅運用淺顯的數(shù)學(xué)概念或計算作為論據(jù).因此，本文試圖彌補這一缺陷，只以連續(xù)與離散這一對數(shù)學(xué)分析中涉及領(lǐng)域廣泛的矛盾為研究對象，深度研究它們的辯證關(guān)系，并運用更多更有力的實例作為論據(jù)來闡述這種辯證關(guān)系.在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)與離散的對立統(tǒng)一關(guān)系，最經(jīng)典的體現(xiàn)是數(shù)列與函數(shù)、級數(shù)與積分的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，而溝通這種聯(lián)系的橋梁便是海涅定理[8][9][10][11][12].海涅定理是數(shù)學(xué)分析中重要的定理之一，它最先溝通了連續(xù)性的函數(shù)極限與離散性的數(shù)列極限之間的聯(lián)系，隨著微積分的發(fā)展，海涅定理的推廣與應(yīng)用更加廣泛，連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的運用得也更加廣泛，比如，連續(xù)函數(shù)用離散的函數(shù)來近似逼近，而離散的類型又常用連續(xù)函數(shù)來描述[12][13]，它們往往成對出現(xiàn)[10][11]；連續(xù)的積分一般要用離散的級數(shù)求和取極限值得到，反之，離散的級數(shù)求和也可以通過連續(xù)的積分微分法得到[14].因此，從海涅定理及其在數(shù)學(xué)分析中的推廣的發(fā)展的方面入手，是研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的一個重要途徑.對于數(shù)學(xué)專業(yè)本科生來說，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系思想的啟迪不僅有利于他們在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過程中形成辯證思維，還能引導(dǎo)他們運用唯物辯證法獨立思考、分析數(shù)學(xué)分析中其他矛盾的辯證關(guān)系，使其達到對數(shù)學(xué)分析理論知識與實踐和數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的全面而深刻的理解.鑒于上述分析，本文主要從海涅定理出發(fā)研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，以及如何更好地將數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題實踐中體現(xiàn)出來.1.1.2研究意義理論意義在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)與研究中滲透辯證唯物主義的觀點，是由馬克思主義的本質(zhì)決定的.馬克思主義認為，世界是普遍聯(lián)系、永恒發(fā)展的，事物的聯(lián)系與發(fā)展是有規(guī)律的，規(guī)律就是事物聯(lián)系和發(fā)展過程中所固有的本質(zhì)的、必然的穩(wěn)定的聯(lián)系教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:36.第一，深化了馬克思主義哲學(xué)和數(shù)學(xué)理論之間的聯(lián)系.自誕生以來的絕大部分時期，馬克思主義主要是作為無產(chǎn)階級大眾武裝思想，形成批判的、革命的世界觀，反對剝削階級的統(tǒng)治的銳利武器的形式存在.但是，由于時代的局限性，馬克思主義哲學(xué)與自然科學(xué)理論的聯(lián)系的研究極少，熟為人知的有馬克思和恩格斯運用了大量數(shù)學(xué)概念批判黑格爾的唯心主義辯證法.二戰(zhàn)結(jié)束至今，世界迎來了自然科學(xué)飛速發(fā)展的新時期，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，中外學(xué)者們對馬克思主義和數(shù)學(xué)的聯(lián)系進行了大量的研究，逐步深化了馬克思主義哲學(xué)和數(shù)學(xué)理論的聯(lián)系.第二，豐富和發(fā)展了數(shù)學(xué)分析的思想理論.數(shù)學(xué)分析中數(shù)學(xué)思想的傳播不僅有利于學(xué)生解題實踐中辯證思維的形成，更利于學(xué)生對數(shù)學(xué)分析理論知識之間的聯(lián)系有了更全面的理解.對數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系研究，豐富和發(fā)展了數(shù)學(xué)分析中的辯證思想.第三，為數(shù)學(xué)分析中其他矛盾的辯證關(guān)系的研究提供了典范.馬克思主義認為，世界是充滿矛盾的，矛盾的運動發(fā)展推動著世界的發(fā)展教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:.2現(xiàn)實意義理論指導(dǎo)實踐，實踐反過來推動理論研究的發(fā)展.研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的現(xiàn)實意義主要有以下幾個方面：第一，提高學(xué)生的辯證思維能力.數(shù)學(xué)專業(yè)本科生在大一年級學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時，若能充分認識到數(shù)學(xué)分析知識體系中蘊含的辯證思想，既有利于彌補高中時只將辯證唯物主義觀點運用于社會科學(xué)領(lǐng)域的不足，又能促使學(xué)生獨立思考形成適合自己的全新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，從而提高其辯證思維能力，為以后從事科研創(chuàng)新活動作了思想上的鋪墊.第二，促進解題方法論研究.學(xué)生在以往的解題實踐中只注重公式的生搬硬套，一旦遇到難題便不知所措，容易產(chǎn)生放棄甚至厭學(xué)的心理.數(shù)學(xué)分析連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的研究，促使數(shù)學(xué)分析中連續(xù)性問題與離散性問題可以相互轉(zhuǎn)化，既有利于學(xué)生解題轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)，又利于解題方法論的研究，從而提高其解題實踐能力.第三，有利于促進人的全面發(fā)展.我國教育的任務(wù)是培養(yǎng)社會主義接班人，服務(wù)社會，為實現(xiàn)共產(chǎn)主義而奮斗.實現(xiàn)共產(chǎn)主義的條件之一是精神文明高度發(fā)達，為此，必須用馬克思主義武裝人們的思想，形成科學(xué)、正確的世界觀，無論是社會科學(xué)領(lǐng)域還是自然科學(xué)領(lǐng)域，都要以辯證的眼光看待.數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的研究，雖然只是數(shù)學(xué)哲學(xué)發(fā)展過程中的一小步，但量變引起質(zhì)變，它對整個人類精神財富的積累是必不可少的.1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及述評1.2.1國外研究現(xiàn)狀國外的研究主要側(cè)重于對數(shù)學(xué)哲學(xué)方面的研究，恩格斯是19世紀偉大的思想家之一，他對數(shù)學(xué)進行深入地學(xué)習(xí)和思考，在《自然辯證法》中指出：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變量，有了它，運動進入了數(shù)學(xué)，因而，辯證法進入了數(shù)學(xué)[15].”他在該著作中運用唯物辯證法深刻地分析了微分與積分、整數(shù)與分數(shù)、直線和曲線等數(shù)學(xué)中的大量實例，并且通過微積分中無限大和無限小的實例分析闡述了質(zhì)與量的辯證統(tǒng)一.這些關(guān)于數(shù)學(xué)與唯物辯證法深刻的聯(lián)系的論述，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與唯物辯證法之間本質(zhì)的聯(lián)系，而且徹底地批判了形而上學(xué)的世界觀，從而建立了辯證唯物主義堅實的基礎(chǔ).他所討論的數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系的實例，大多數(shù)是從數(shù)學(xué)概念本身出發(fā)，并沒有體現(xiàn)更深層次的辯證關(guān)系.1984年AndyBlunden（安迪·布倫登）發(fā)表期刊論文DialecticsandMathematics《辯證法與數(shù)學(xué)》[16]，文章主要討論了五個方面：數(shù)學(xué)實體的二重性、數(shù)學(xué)概念的起源、方法的倒置、等價關(guān)系和數(shù)學(xué)的危機，作者從馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》出發(fā)，深刻研究其學(xué)習(xí)方法，以加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.文中指出：“唯物辯證法既是一種辯證邏輯，又是一種對新的、更具體的真理進行演繹的指南.”最后得出結(jié)論：“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不是直接的感官體驗，甚至不是‘加工過的’體驗，而是基于社會實踐的長期的、歷史性的概念積累，這些概念通過生產(chǎn)體現(xiàn)我們的事物概念的物體，即勞動過程，成功地改變了世界.”而本文的主要目的是要說明辯證唯物主義指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的重要性.但是，僅從宏觀方面論述數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系過于抽象、含蓄，不足以解決當前我國教育方面素質(zhì)教育和應(yīng)試教育之間的矛盾，因此，必須以數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系為指導(dǎo)、以數(shù)學(xué)中的矛盾為基礎(chǔ)進行研究，從而能夠在教學(xué)與學(xué)習(xí)中滲透辯證唯物主義的觀點.1.2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀國內(nèi)學(xué)者自解放思想、改革開放以來，對數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系的研究不斷深入拓展，撰作了不少經(jīng)典著作.1995年李浙生先生所著的《數(shù)學(xué)科學(xué)與辯證法》，全書共八章：數(shù)學(xué)科學(xué)與一分為二；數(shù)學(xué)學(xué)科與質(zhì)、量、度；數(shù)學(xué)學(xué)科與黑格爾的三段式；形式與內(nèi)容；抽象與具體；無限與有限；原因與結(jié)果；偶然性與必然性[17]，書中主要論述了數(shù)學(xué)學(xué)科與唯物辯證法的基本規(guī)律、基本環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，加深了人們對數(shù)學(xué)與唯物辯證法的聯(lián)系的理解.隨著國內(nèi)教育水平的提高，為順應(yīng)時代發(fā)展、深化素質(zhì)教育的趨勢，國內(nèi)學(xué)者對數(shù)學(xué)中矛盾的辯證關(guān)系進行大量研究，其中運用數(shù)學(xué)概念分析法研究的主要有：2010年馬翠萍在其碩士學(xué)位論文《數(shù)學(xué)概念中的辯證關(guān)系及其教學(xué)研究》中以數(shù)學(xué)方法論為理論基礎(chǔ)知識，從辯證法的角度出發(fā)，以一些重要且具有典型意義的數(shù)學(xué)概念，如數(shù)、函數(shù)、無窮為實例分析了數(shù)學(xué)概念中的辯證關(guān)系，并通過具體的案例表明如何在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中貫徹唯物辯證法思想；2011年郭艷慧的《數(shù)學(xué)分析中的辯證法》、2008年賈朝勇、潘玉榮、陳華喜、鮑宏偉的《淺談數(shù)學(xué)分析中的哲學(xué)思想》、2014年趙冬、丁黎明的《哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用》深入發(fā)掘從低等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的大量數(shù)學(xué)概念，闡述了實踐第一、運動變化和發(fā)展、對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變、否定之否定、聯(lián)系的普遍性和多樣性、從具體到抽象、從個別到一般、現(xiàn)象與本質(zhì)、相對性與絕對性等大量辯證思想，最后得出結(jié)論，從哲學(xué)的視野來看待數(shù)學(xué)分析，這不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的需要，而且也是教學(xué)與研究數(shù)學(xué)分析、發(fā)展數(shù)學(xué)分析的需要；2007年蔡霖的《辯證思想在微積分中的體現(xiàn)》、2012年董治強的《淺析數(shù)學(xué)分析中的若干矛盾》、2013年梁江波的《數(shù)學(xué)分析中的矛盾問題研究》、2015年張榮芳的《對微積分中主要矛盾的認識》、2016年李培、王震的《數(shù)學(xué)分析中的矛盾問題研究》運用概念分析法，結(jié)合數(shù)學(xué)分析中的一些運算法則，著重闡述了數(shù)學(xué)分析中常量與變量、離散與連續(xù)、一與多、直與曲、整體與局部、微分與積分、有限與無限、近似與準確、特殊與一般等主要矛盾，并在此基礎(chǔ)上，簡要分析了數(shù)學(xué)分析中矛盾問題的學(xué)習(xí)方法，這對教學(xué)中滲透辯證唯物主義思想以及提高學(xué)生綜合素質(zhì)有著極其重要的指導(dǎo)作用；2012年陳華喜在《挖掘哲學(xué)思想,提高教學(xué)效果——談級數(shù)中對立與統(tǒng)一的辯證觀點》中以高等數(shù)學(xué)中的級數(shù)及其相關(guān)概念為例，剖析了數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)體現(xiàn)的常量與變量的對立統(tǒng)一、級數(shù)本身斂散性體現(xiàn)的收斂與發(fā)散的對立統(tǒng)一、數(shù)列與級數(shù)體現(xiàn)的有限和無限的對立統(tǒng)一、冪級數(shù)逐項求導(dǎo)和逐項積分體現(xiàn)的微分與積分的對立統(tǒng)一、級數(shù)的部分和體現(xiàn)的過程與結(jié)果的對立統(tǒng)一.這里對級數(shù)體現(xiàn)的辯證關(guān)系研究并不全面，比如級數(shù)和反常積分的聯(lián)系體現(xiàn)的離散與連續(xù)的辯證統(tǒng)一需進一步研究.教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，還要求提高學(xué)生的解題實踐能力，因此，有必要在上述研究基礎(chǔ)上，進一步研究解題實踐過程中唯物辯證法思想的滲透，使學(xué)生在解題實踐過程中體會矛盾的辯證運動.運用例題分析法對數(shù)學(xué)中的矛盾的辯證關(guān)系研究的成果主要有：2011年崔信的《淺論<數(shù)學(xué)分析>中的若干矛盾》、2016年周明琦的《淺論<數(shù)學(xué)分析>中的若干矛盾》、2018年李彥的《例論微積分學(xué)中幾類矛盾的對立統(tǒng)一》、2018年敖登的《談高等數(shù)學(xué)中的唯物辯證法》、1996年宋天鑒、張玲的《數(shù)學(xué)分析中的若干矛盾》引用數(shù)學(xué)分析中各類計算的實例，闡述了常量與變量、連續(xù)與離散、整體與局部等矛盾的辯證關(guān)系；1998年傅湧在《數(shù)學(xué)中幾對重要矛盾的辯證關(guān)系》中從偏導(dǎo)數(shù)的計算法則論述了常量與變量的對立統(tǒng)一，而對與連續(xù)有關(guān)的矛盾有更深層次的見解，文中首先將數(shù)學(xué)中連續(xù)與不連續(xù)這對矛盾概括為描述數(shù)量的靜止狀態(tài)和運動狀態(tài)過程的范疇，再根據(jù)矛盾的形式具體地分為：連續(xù)與間斷、連續(xù)與離散.在研究連續(xù)與離散這對矛盾的對立時，根據(jù)數(shù)量關(guān)系的可分性與不可分性的描述，得出結(jié)論：數(shù)學(xué)研究離散量與連續(xù)量，是對客觀事物的深入分析所致，是事物的不可分性與可分性的反映.上述文獻中的實例大多是計算題，能簡單直觀地表現(xiàn)出矛盾的辯證關(guān)系，然而數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，證明題更能鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力.極限理論和連續(xù)性理論是數(shù)學(xué)分析的重點內(nèi)容，與之相關(guān)的證明的過程抽象、深奧，能更深程度地體現(xiàn)連續(xù)與離散的辯證關(guān)系.海涅定理建立了連續(xù)性的函數(shù)極限與離散性的數(shù)列極限之間的聯(lián)系，近幾年，國內(nèi)學(xué)者對海涅定理和連續(xù)與離散的辯證關(guān)系研究主要有：2016年郭金生、王愛斌的《海涅定理的一些應(yīng)用》、2015年吳修竹、廖祖華、朱曉英的《海涅定理的推廣形式與應(yīng)用》、2010年朱國衛(wèi)的《以海涅定理為例談數(shù)學(xué)分析中的直覺、證明與感悟》、2017年龐幫艷、孫勝利的《Heine定理及其擴展》、2003年王秀紅的《含參變量廣義積分一致收斂的Heine定理》均從海涅定理出發(fā)，分別給出了海涅定理在不同方面的擴展及其應(yīng)用，這對本文所要探討的數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系起著重要的指導(dǎo)作用；2005年劉秀麗在《Henie定理的啟發(fā)——連續(xù)量與離散量的聯(lián)系》主要采取例題分析法，通過對海涅定理的一系列應(yīng)用研究：研究函數(shù)極限的存在性、研究函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性與一致連續(xù)性、研究函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性以及研究區(qū)間上的恒值問題，指明了數(shù)學(xué)分析解（證）題時，正確處理離散量與連續(xù)量轉(zhuǎn)化的方法——“點列（數(shù)列）法”；2005年于勇《數(shù)學(xué)分析中“連續(xù)”和“離散”兩類問題的相互轉(zhuǎn)化》采取例題分析法，首先給出連續(xù)性問題和離散性問題在理論上是相互對應(yīng)、相互聯(lián)系的，具體表現(xiàn)有：連續(xù)性問題的函數(shù)、積分與離散性問題的數(shù)列、級數(shù)；連續(xù)性問題的定積分與離散性問題的有限和；連續(xù)性問題的廣義積分、含參變量積分的收斂理論與離散性問題的數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的收斂理論；求連續(xù)變量未定式極限的洛比達法則與求離散變量未定式極限的施篤茲定理等.文章最后總結(jié)，在進行連續(xù)與離散兩類問題的研究時，需從研究對象處于相對靜止或運動變化狀態(tài)的角度把握其本質(zhì)的差別和內(nèi)在的聯(lián)系.這也對本文的研究作了一定的啟示.1.3研究目的、研究內(nèi)容、研究方法及論文的創(chuàng)新點1.3.1研究目的本文的研究目的是從海涅定理及其推廣的發(fā)展的角度出發(fā)，研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系；運用唯物辯證法的矛盾分析法分析數(shù)學(xué)分析中連續(xù)性和離散性的問題，并從連續(xù)與離散這對矛盾的辯證運動規(guī)律入手，給出解決問題的辯證思維方式，豐富數(shù)學(xué)解題方法論.1.3.2研究內(nèi)容第一，研究海涅定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用與推廣的發(fā)展.第二，研究海涅定理體現(xiàn)的數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵與辯證關(guān)系.第三，研究正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的指導(dǎo)思想及方法.第四，基于唯物辯證法的矛盾分析法，結(jié)合實例闡述數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題實踐中的運用.1.3.3研究方法文獻研究法通過中國知網(wǎng)和圖書館資源等多種方式檢索大量文獻，了解數(shù)學(xué)矛盾、海涅定理、連續(xù)與離散的關(guān)系等相關(guān)理論與實踐.文獻主要包括中文期刊、英文期刊、學(xué)位論文、教材等.例題分析法數(shù)學(xué)解題是一種實踐活動，實踐是認識的來源，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系作為認識，需要接受實踐的檢驗.例題分析法是指以數(shù)學(xué)分析中大量典型例題為研究對象，以連續(xù)與離散的辯證關(guān)系為指導(dǎo)，分析問題解決過程中連續(xù)與離散的辯證運動規(guī)律.例題的來源主要包括教材、期刊、考研試題等.矛盾分析法矛盾分析法是對立統(tǒng)一規(guī)律在方法上的體現(xiàn)，在唯物辯證法的方法論體系中居于核心的地位，是我們認識事物的根本方法教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:論文的創(chuàng)新點從研究內(nèi)容看，本文主要從哲學(xué)的角度深度研究數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，而不局限于國內(nèi)學(xué)者們簡潔明了地直述連續(xù)與離散是辯證統(tǒng)一的，然后便運用簡單的概念或例題作為論據(jù).從研究方法看，本文在探究連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題實踐中的運用時，運用矛盾分析法分析了問題中連續(xù)與離散這對矛盾的辯證運動發(fā)展，這一點在國內(nèi)研究數(shù)學(xué)分析中矛盾的辯證關(guān)系極少，具有一定的開創(chuàng)性. 第二章數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵和辯證關(guān)系數(shù)學(xué)分析中的矛盾現(xiàn)象是普遍存在的[7][9]，而數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的對立統(tǒng)一關(guān)系，最經(jīng)典的體現(xiàn)是數(shù)列與函數(shù)、級數(shù)與積分的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系[8][9][10].海涅定理是數(shù)學(xué)分析中的重要定理，它在函數(shù)極限與數(shù)列極限之間架起了橋梁，在變量的連續(xù)狀態(tài)和離散狀態(tài)之間建立了聯(lián)系[18].本章首先探索了數(shù)學(xué)分析中的海涅定理及其推廣的發(fā)展，然后分析了數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵和辯證關(guān)系.2.1海涅定理及其推廣的發(fā)展2.1.1函數(shù)極限與數(shù)列極限中的海涅定理普通極限中的海涅定理函數(shù)極限與數(shù)列極限有著本質(zhì)的區(qū)別,它們的定義分別為：定義1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:46.設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù).若對任給的，存在正數(shù)，使得當時有華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:46.，則稱函數(shù)當趨于時以為極限，記作.定義2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:23-24.設(shè)為數(shù)列，為定數(shù).若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:23-24.，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，記作.從定義1來看，在內(nèi)必須是連續(xù)不斷地趨近于，若有數(shù)列，它的所有項均在內(nèi)，那么數(shù)列的項均在內(nèi)，從而初步建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的聯(lián)系，即函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限.另一方面，若只有一個數(shù)列，盡管它的任意項都落在內(nèi)，但卻無法將填滿，即數(shù)列是離散地趨近于[19]，這顯得函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系具有一定的偶然性.馬克思主義哲學(xué)認為，事物的發(fā)展既包含著必然的方面，也包含著偶然的方面，必然總是伴隨著偶然，必然要通過偶然表現(xiàn)出來，并為自己開辟道路教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:35..因此，只要對數(shù)列施加以量變，使其能夠填滿區(qū)間，而隨著量變的積累，數(shù)列的極限就會產(chǎn)生質(zhì)變，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，從而加深了函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系.這種聯(lián)系最終形成了海涅定理，海涅定理的內(nèi)容及證明如下：教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:35.定理1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:54-55.設(shè)在上有定義.存在的充要條件是：對任意含于內(nèi)且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:54-55.證明[必要性]設(shè)，則對任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，使得當時，有.設(shè)為任意含于內(nèi)的數(shù)列，且，則對上述正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當時，有，從而，即.[充分性]反證法.假設(shè)不存在，不妨設(shè)，則存在正數(shù)，對任意的正數(shù)，總存在，使得，.于是存在含于內(nèi)數(shù)列，滿足，但不存在，矛盾.證畢.定理2[20]設(shè)在（或）上有定義.（或）存在的充要條件是：對任意含于（或）內(nèi)且以為極限的遞減（或遞增）數(shù)列，極限都存在且相等.定理3設(shè)在（或）上有定義.（或）存在的充要條件是：對任意含于（或）內(nèi)且以（或）為極限的遞增（或遞減）數(shù)列，極限都存在且相等.多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，它保留了一元函數(shù)的許多性質(zhì).在多元函數(shù)極限理論中，海涅定理溝通了多元函數(shù)極限與函數(shù)序列極限之間的聯(lián)系，它的內(nèi)容如下：定理4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:101-102.設(shè)是定義在上的多元函數(shù)，是的一個聚點.的充要條件是：對于的任一子集，只要是的聚點，就有華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:101-102..一致極限中的海涅定理一致極限是普通極限的特殊形式，因為“一致”的存在，所以該極限主要作用于多元函數(shù)極限理論.下面以二元函數(shù)為例，給出一致極限的定義以及一致極限中的海涅定理.定義3[21]是函數(shù)當時關(guān)于的一致極限，如果對任意給定的，總存在，使得當時，有.若，只要把相應(yīng)地換成.定理5[21]當時關(guān)于一致收斂于的充要條件是：對任意以為極限的數(shù)列，，函數(shù)列關(guān)于一致收斂于.2.1.2積分與級數(shù)中的海涅定理無窮限反常積分與數(shù)項級數(shù)中的海涅定理無窮限反常積分與數(shù)項級數(shù)分別是函數(shù)極限和數(shù)列極限的推廣，它們的有關(guān)定義分別是：定義4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:272.設(shè)函數(shù)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:272.，則稱此極限為函數(shù)在上的無窮限反常積分，記作，并稱收斂.反之，發(fā)散.定義5華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:1-2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010:1-2.稱為常數(shù)項無窮級數(shù)或數(shù)項級數(shù)，記為.記它的前項和為，如果極限存在，則稱數(shù)項級數(shù)收斂.反之，發(fā)散.從定義4和定義5可以看出，反常積分是連續(xù)性的求和，級數(shù)是離散性的求和.而在反常積分與級數(shù)理論中，收斂性的研究的重要性往往大于計算方法的研究.為了能夠?qū)⑺鼈兟?lián)系起來，可以從反常積分的積分域出發(fā)，用極限為的遞增數(shù)列（其中）將積分域劃分，使得被積函數(shù)在數(shù)列相鄰項之間的積分成為數(shù)項級數(shù)的一項，達到連續(xù)與離散轉(zhuǎn)換的目的.建立無窮限反常積分與數(shù)項級數(shù)的收斂性的聯(lián)系的海涅定理如下，它與定理3本質(zhì)上是一樣的.定理6設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積，則收斂的充要條件是：對任意以為極限的遞增數(shù)列（其中），設(shè)，則數(shù)項級數(shù)也收斂.函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分中的海涅定理（1）一致收斂理論中的海涅定理因為函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分均有兩個變量，因此，與它們相關(guān)的一致收斂理論本質(zhì)上是多元函數(shù)一致極限理論.它們的關(guān)于一致收斂理論的海涅定理內(nèi)容與證明如下：定理7設(shè)函數(shù)列在上收斂于.時,一致收斂于的充要條件是：對任意數(shù)列，有（其中為函數(shù)列的第個余項）.證明[必要性]由于一致收斂于，所以，對任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當時，有.于是對任意的數(shù)列，有，即.[充分性]反證法.假設(shè)不一致收斂于，則存在正數(shù)，對任意的正整數(shù)，總存在以及，使得.于是，對每一個正整數(shù)，總存在正整數(shù)以及，使得.取一個數(shù)列，使得它的第項為，于是，矛盾.證畢.定理8裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:486.[21]設(shè)函數(shù)項級數(shù)在上收斂于.時，一致收斂于的充要條件是：對任意數(shù)列，記的第個余和為，則.裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:486.定理9設(shè)含參量反常積分關(guān)于上收斂于，則關(guān)于一致收斂于的充要條件是：對任意數(shù)列,記為該含參量反常積分的余項，則.（2）含參量反常積分與函數(shù)項級數(shù)中的海涅定理含參量反常積分與函數(shù)項級數(shù)是反常積分與數(shù)項級數(shù)的推廣，因此，在一致收斂理論中，建立含參量反常積分與函數(shù)項級數(shù)的聯(lián)系的海涅定理為：定理10[22]設(shè)在任何有窮區(qū)間上可積.含參量反常積分關(guān)于一致收斂的充要條件是：對任意單調(diào)遞增趨于的數(shù)列，記，則函數(shù)項級數(shù)均關(guān)于一致收斂.上述十種形式的海涅定理，將函數(shù)極限與數(shù)列極限、積分與級數(shù)中大部分體現(xiàn)連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的因素聯(lián)系了起來.定理1、定理2、定理3、定理4、定理6、定理10分別建立了連續(xù)性的函數(shù)極限與離散性的數(shù)列極限、連續(xù)性的積分求和或（一致）收斂性與離散性的級數(shù)求和或（一致）收斂性之間的聯(lián)系；定理5建立了多元函數(shù)連續(xù)性的一致極限與離散性的函數(shù)列極限之間的聯(lián)系；定理7、定理8、定理9分別建立了多元函數(shù)極限、函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)、含參量反常積分中連續(xù)性的一致收斂與離散性的余項點列極限之間的聯(lián)系.2.2數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的基本內(nèi)涵在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)與離散是完全不同的兩個概念，但它們之間又有著密切的聯(lián)系.本節(jié)在分析海涅定理及其推廣的十種形式所體現(xiàn)的連續(xù)與離散的變量運動規(guī)律的基礎(chǔ)上，總結(jié)出數(shù)學(xué)中連續(xù)與離散的概念.2.2.1離散的概念離散是指數(shù)學(xué)中描述處于相對靜止狀態(tài)的數(shù)量變化形態(tài)，是客觀事物不可分性的反映[23].數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)的離散性可以描述為：給定實數(shù)集的一個子集，它的一個元素在中是離散的，如果存在正數(shù)，使得.即實數(shù)的某個鄰域除外，沒有數(shù)集中其他任何元素.稱數(shù)集是離散數(shù)集，如果中任意元素都是離散的.在一個離散數(shù)集中，實數(shù)處于一種獨立狀態(tài)，即在數(shù)集中，無論是由一個數(shù)運動到，還是由運動到一個數(shù)，其過程必定是“跳躍”的.因此，實數(shù)在離散數(shù)集中的運動狀態(tài)是相對靜止的.倘若離散數(shù)集中的數(shù)按某特定規(guī)則進行排序，那么相鄰兩個數(shù)之間將沒有離散數(shù)集中的任何其他的數(shù)，因此，在離散數(shù)集依特定規(guī)則排序后，相鄰數(shù)之間不可再分.由于數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的，所以有關(guān)數(shù)的離散性可以推廣到點的離散性.從海涅定理及其推廣的十種形式可以看出，無論是數(shù)列、點列、函數(shù)列、數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)中的，還是無窮限反常積分、含參量反常積分中的分段積分限，其數(shù)量變化均是離散的.2.2.2連續(xù)的概念連續(xù)是指數(shù)學(xué)中描述處于絕對運動狀態(tài)的數(shù)量變化形態(tài)，是客觀事物可分性的反映[23].數(shù)學(xué)中數(shù)的連續(xù)性過于抽象，常常通過數(shù)的離散性的對立面加以闡述：給定實數(shù)集的一個子集，它的一個元素在中是連續(xù)的，如果對任意給定的正數(shù)，恒成立.即實數(shù)的任意鄰域除外，必定還存在數(shù)集中其他元素.稱數(shù)集是連續(xù)數(shù)集，如果中任意元素都連續(xù)的.在一個連續(xù)數(shù)集中，實數(shù)處于一種聚集狀態(tài)，即在數(shù)集中，無論是由一個數(shù)運動到，還是由運動到一個數(shù)，其過程必定是緊密的.因此，實數(shù)在連續(xù)數(shù)集中的運動狀態(tài)是絕對運動的.如果連續(xù)數(shù)集中的數(shù)按某特定規(guī)則進行排序，那么任意兩個數(shù)之間必然仍有連續(xù)數(shù)集中的其他的數(shù)，因此，在連續(xù)數(shù)集依特定規(guī)則排序后，任意數(shù)之間是可再分的.由于數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的，所以有關(guān)數(shù)的連續(xù)性可以推廣到點的連續(xù)性.從海涅定理及其推廣的十種形式可以看出，無論是函數(shù)、函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)中的，還是無窮限反常積分、含參量反常積分中的整體積分限，其數(shù)量變化均是連續(xù)的.2.3數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)與離散是貫穿其始終的一對矛盾，它們既對立又統(tǒng)一，它們的辯證運動推動著數(shù)學(xué)分析中極限、積分、級數(shù)等理論的發(fā)展.本節(jié)主要闡述連續(xù)與離散的對立統(tǒng)一關(guān)系，并在充分分析海涅定理及其推廣的十種形式的基礎(chǔ)上，給出連續(xù)與離散幾個重要的哲學(xué)原理.2.3.1連續(xù)與離散的對立統(tǒng)一關(guān)系連續(xù)與離散的對立性連續(xù)與離散在本質(zhì)上是對立的，主要表現(xiàn)為：第一，它們是內(nèi)容不同的兩個概念.連續(xù)是指數(shù)學(xué)中描述處于絕對運動狀態(tài)的數(shù)量變化形態(tài)，是客觀事物可分性的反映；離散是指數(shù)學(xué)中描述處于相對靜止狀態(tài)的數(shù)量變化形態(tài)，是客觀事物不可分性的反映.連續(xù)不是離散，離散也不是連續(xù).第二，它們的表現(xiàn)形式不同.在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)表現(xiàn)在變量運動過程中的稠密狀態(tài)，比如,表示在的某鄰域內(nèi)連綿不斷、“無縫隙”地運動、靠近；連續(xù)則表現(xiàn)為變量運動過程中的相對獨立狀態(tài)，比如，時，表示數(shù)列的項在的某鄰域內(nèi)隨正整數(shù)的增大而呈現(xiàn)“跳躍式”地運動、靠近.連續(xù)與離散的統(tǒng)一性連續(xù)與離散之間也并不存在不可逾越的鴻溝，它們是統(tǒng)一的[24]，主要表現(xiàn)為：第一，離散是連續(xù)的形成背景.首先，數(shù)或點的連續(xù)性是以數(shù)或點的離散性為基礎(chǔ)得出的；其次，在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)性的結(jié)論通常是以離散性的結(jié)論作為鋪墊的.第二，連續(xù)是離散的積累結(jié)果.在數(shù)學(xué)分析中，數(shù)或點的連續(xù)是由其鄰域內(nèi)離散的數(shù)或點的無間斷、無規(guī)則運動定義的，這種運動只有離散的數(shù)或點在隨量變積累到一定程度引起質(zhì)變的基礎(chǔ)上才能實現(xiàn).第三，連續(xù)與離散在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)分析解題實踐的過程中，處理較為復(fù)雜的連續(xù)性的問題時，可以運用海涅定理將其轉(zhuǎn)化為簡單的離散性問題.反之亦然.2.3.2連續(xù)與離散的兩個重要原理連續(xù)與離散的普遍性與特殊性原理普遍性與特殊性是每一對矛盾都具有的性質(zhì)，矛盾的普遍性即矛盾的共性，矛盾的特殊性即矛盾的個性教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M]教材編寫組.馬克思主義基本原理概論(2018年修訂版)[M].第七版.北京:高等教育出版社,2018:37-38.連續(xù)與離散的普遍性與特殊性原理告訴我們，在分析、解決連續(xù)性問題或離散性問題時，要始終以辯證的眼光去看待，并合理地運用數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系.連續(xù)與離散的絕對性與相對性原理/p-7149630358805.html/p-7149630358805.html連續(xù)與離散的絕對性是指連續(xù)與離散是矛盾的兩個方面，它們具有統(tǒng)一性，兩者共生互補，缺一不可；連續(xù)與離散的相對性是指連續(xù)與離散作為矛盾的兩個方面，從某一個方面考察是連續(xù)的量，從另一個方面考察則是離散的量，在某些情況下連續(xù)表現(xiàn)為決定性的，有時離散表現(xiàn)為決定性的.連續(xù)與離散的相對性與絕對性原理告訴我們，在分析、解決連續(xù)與離散作為主要矛盾的問題時，善于抓住矛盾中表現(xiàn)決定性的一面，便可達到對問題的全面理解.第三章正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析相關(guān)概念或定理之中，更重要的體現(xiàn)是在數(shù)學(xué)分析解題過程中的實踐運用.學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)分析的一個重要目的，是通過理論知識分析、解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題.因此，如何正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是本章研究的重點內(nèi)容.本章首先從馬克思主義哲學(xué)和數(shù)學(xué)的角度分別闡述了正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的意義，其次從馬克思主義哲學(xué)的角度分析了正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想及方法.3.1正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的意義3.1.1正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是馬克思主義認識論的必然要求在數(shù)學(xué)分析解題過程中，正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是馬克思主義認識論的必然要求，主要表現(xiàn)在以下兩個方面：從實踐的角度看，第一，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是在對海涅定理及其推廣發(fā)展的十種形式進行學(xué)習(xí)與研究的基礎(chǔ)上通過分析、歸納得出的，因此，連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是在實踐中形成的一種認識，它也必須在實踐中得到發(fā)展；第二，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過程中的實踐改造了數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者和研究者的主觀世界，鍛煉和提高了他們對連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的理解與認識的能力，因此，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過程中的實踐是連續(xù)與離散的辯證關(guān)系發(fā)展的動力；第三，數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)性問題和離散性問題的順利解決離不開連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的正確、有效的指導(dǎo)，因此，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過程中的實踐是檢驗正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系得當與否的最佳方式.從認識的角度看，正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是在連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的認識運動的辯證過程中實現(xiàn)從認識到實踐的飛躍的重要條件.首先，通過閱讀大量有關(guān)數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的理論和實踐的文獻，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者和研究者獲得了對數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的感性認識，而在對海涅定理的學(xué)習(xí)與研究的實踐過程中，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者和研究者通過概念、推理使得這種感性認識能動地過渡到理性認識，從而實現(xiàn)了認識過程中從實踐到認識的飛躍；其次，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者和研究者通過形成正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想、運用正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的科學(xué)方法等中間環(huán)節(jié)，使得數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系和解題過程相結(jié)合，從而實現(xiàn)了認識過程中從認識到實踐的飛躍.經(jīng)歷了認識過程的兩次飛躍，數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過程的實踐中達到預(yù)期的結(jié)果，正如習(xí)近平所指出：“理論思維的起點決定著理論創(chuàng)新的結(jié)果.謝伏瞻.書寫當代中國學(xué)術(shù)史謝伏瞻.書寫當代中國學(xué)術(shù)史,加快構(gòu)建中國特色哲學(xué)社會科學(xué)[N].光明日報,2019-12-31(6).3.1.2正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是發(fā)展數(shù)學(xué)方法論的重要途徑在數(shù)學(xué)分析解題過程中，正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是發(fā)展數(shù)學(xué)方法論的重要途徑，主要表現(xiàn)在以下兩個方面：從數(shù)學(xué)宏觀方法論的角度看，在數(shù)學(xué)分析解題過程中運用連續(xù)與離散的辯證關(guān)系深刻地體現(xiàn)了馬克思主義哲學(xué)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系.馬克思主義哲學(xué)帶給我們科學(xué)的世界觀、方法論，是推動其他所有學(xué)科、科學(xué)向前發(fā)展的強大的精神力量.正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系是馬克思主義哲學(xué)指導(dǎo)數(shù)學(xué)理論體系的構(gòu)造與發(fā)展的重要體現(xiàn).從數(shù)學(xué)微觀方法論的角度看，在數(shù)學(xué)分析解題過程中，正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系推動了數(shù)學(xué)分析解題轉(zhuǎn)化思想的發(fā)展.連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)分析解題過程中的實踐運用主要表現(xiàn)在連續(xù)性問題與離散性問題的相互轉(zhuǎn)化，從問題的對立面把握對原問題的充分理解，因此，正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，豐富和發(fā)展了數(shù)學(xué)分析解題思想理論與解題方法理論.3.2正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想和方法3.2.1正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想馬克思主義哲學(xué)告訴我們，事物的發(fā)展體現(xiàn)了對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變、否定之否定的規(guī)律.因此，在數(shù)學(xué)分析解題過程中，以聯(lián)系、辯證、發(fā)展的眼光看待問題，是正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想.在數(shù)學(xué)分析解題過程中，必然存在著種種矛盾，該思想的主要內(nèi)容是：第一，以聯(lián)系的眼光看待問題，就是要善于將問題中包括連續(xù)與離散在內(nèi)的每對內(nèi)在的矛盾運動體現(xiàn)的相應(yīng)環(huán)節(jié)銜接起來，每個環(huán)節(jié)都是問題發(fā)展過程中的量，而各個環(huán)節(jié)的銜接是量變的積累，最后形成了直觀、縝密、嚴謹?shù)挠嬎慊蜃C明過程，問題得到質(zhì)的飛躍.第二，以辯證的眼光看待問題，就是要時刻牢記連續(xù)與離散的對立性與統(tǒng)一性，善于在合理時機運用數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系.第三，以發(fā)展的眼光看待問題，就是要在連續(xù)與離散的辯證運動過程，善于尋找否定因素，善于適時、合理地進行辯證否定，造成問題的性質(zhì)轉(zhuǎn)變，使問題朝著更佳的方向發(fā)展.3.2.2正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的方法正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的主要思想不僅明確了在數(shù)學(xué)分析解題過程中正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的科學(xué)態(tài)度，還給出了正確處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的方法——矛盾分析法.本小節(jié)主要闡述運用矛盾分析法處理數(shù)學(xué)分析解題過程中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的具體觀點.堅持聯(lián)系與發(fā)展的統(tǒng)一堅持聯(lián)系與發(fā)展的統(tǒng)一，就是要在數(shù)學(xué)分析解題過程中，從發(fā)展中建立聯(lián)系，從聯(lián)系中謀求發(fā)展.具體表現(xiàn)為：第一，在問題的發(fā)展解決過程中建立起各對矛盾之間的聯(lián)系，使得矛盾的地位能夠發(fā)生變化；第二，問題中每對矛盾的辯證運動之間相互聯(lián)系，否定因素逐漸增強，推動著問題的發(fā)展解決.堅持連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一堅持連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一主要有兩個方面的內(nèi)容，在堅持普遍性的原則下，第一，在離散性問題中，尋找各離散的變量的共性，將它們歸結(jié)到一個連續(xù)的變量中；第二，在連續(xù)性問題中，要具體分析問題，重點突出連續(xù)的變量的個性，將連續(xù)的變量轉(zhuǎn)化為系列離散的變量.堅持連續(xù)與離散的絕對性與相對性的統(tǒng)一堅持連續(xù)與離散的絕對性與相對性的統(tǒng)一也有兩個方面的內(nèi)容，第一，分析問題的主要矛盾和次要矛盾，統(tǒng)籌每對矛盾以及矛盾表現(xiàn)出的主要方面；第二，在以連續(xù)與離散為主要矛盾的問題中，合理地對原本的矛盾因素辯證否定，使問題的性質(zhì)發(fā)生轉(zhuǎn)化，連續(xù)與離散的起決定性的一面成為矛盾的主要方面.第四章數(shù)學(xué)分析中連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在解題過程中的實踐運用在數(shù)學(xué)分析中，海涅定理所體現(xiàn)的連續(xù)與離散的辯證關(guān)系，對數(shù)學(xué)解題實踐具有重要的指導(dǎo)作用，并隨著實踐的發(fā)展而發(fā)展.本章主要運用矛盾分析法，結(jié)合具體的例題闡述連續(xù)與離散的辯證關(guān)系對例題的分析、解決過程的指導(dǎo)作用，其中心思想是：將問題求解的過程視為問題從已知向未知的辯證發(fā)展的過程，在此過程中深入貫徹正確處理連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的指導(dǎo)思想及方法.4.1連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在極限解題實踐中的運用4.1.1極限的計算與證明例1計算極限.分析本例所求數(shù)列極限，顯然是以連續(xù)與離散作為問題的主要矛盾，離散作為矛盾的主要方面，我們首先可以根據(jù)定理1的必要性，將離散性的變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)性的變量，再通過函數(shù)極限的求解方法求出結(jié)果，而離散性的變量作為連續(xù)性的變量的一種特殊形式，這體現(xiàn)了離散是連續(xù)的形成背景的辯證關(guān)系和連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.解例2[25]證明極限不存在.分析本例中連續(xù)與離散為主要矛盾，連續(xù)作為矛盾的主要方面，但是由于當時值上下波動的復(fù)雜性，我們無法直接判斷極限的存在性，而根據(jù)定理1的逆否命題，我們可以取連續(xù)性的的兩種特殊的積累形式，即離散的形式和，使得對應(yīng)的數(shù)列極限不相等，便可得到原來的函數(shù)極限不存在.這體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系和連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.證明取及，，則，，但，，于是極限不存在.例3證明極限不存在.分析本例討論多元函數(shù)極限的存在性，是一個典型的體現(xiàn)連續(xù)與離散辯證運動的問題.連續(xù)與離散為主要矛盾，連續(xù)是問題中矛盾的主要方面，但是由于函數(shù)的變量是沿除直線方向外及其他任意方向運動到，所以從連續(xù)的角度出發(fā)不易解決問題.為此，根據(jù)定理4，我們可以選取兩組離散的點列，從離散的角度分析問題，使問題得到簡化并解決.這體現(xiàn)了離散是連續(xù)的形成背景的辯證關(guān)系及連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.證明取，則，.再取，則，.于是極限不存在.4.1.2函數(shù)極限性質(zhì)的證明例4[26]設(shè)，且在某內(nèi)有，證明.分析函數(shù)極限與數(shù)列極限的性質(zhì)具有較高的相似性.本例在于證明函數(shù)單側(cè)極限的迫斂性，因此，連續(xù)與離散作為問題的主要矛盾，連續(xù)作為矛盾的主要方面.我們在已知數(shù)列極限的迫斂性的前提下，自然而然地可以選擇對連續(xù)性的函數(shù)極限進行辯證否定，將函數(shù)極限離散化，轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限，再對數(shù)列極限施加以量變，隨著量變的積累，離散性的數(shù)列極限再次自我否定，質(zhì)變?yōu)楹瘮?shù)極限，從而數(shù)列極限的迫斂性辯證發(fā)展為函數(shù)數(shù)列的迫斂性.上述過程體現(xiàn)了連續(xù)與離散在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系和質(zhì)量互變與否定之否定的規(guī)律.證明由于，則由定理2的必要性，對于任意含于內(nèi)且以為極限的遞減數(shù)列，有.而顯然有，于是由數(shù)列極限的迫斂性，.再由數(shù)列的任意性及定理2的充分性，.證畢.4.1.3連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明例5證明函數(shù)在和上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù).分析本例旨在判斷連續(xù)函數(shù)的一致收斂性.在開區(qū)間中，只要連續(xù)函數(shù)在區(qū)間端點的單側(cè)極限都存在，那么連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間上就是一致連續(xù)的.若開區(qū)間中間有一個奇點，那么這個奇點便是影響連續(xù)函數(shù)在整體區(qū)間上一致連續(xù)性的重要因素，此時，以連續(xù)與離散為問題的主要矛盾，連續(xù)是矛盾的主要方面，但是按一致連續(xù)的定義，因為奇點的存在，點是無法任意地在奇點左右連續(xù)地運動，所以絕對運動狀態(tài)的連續(xù)無法解決問題.因此需要運用定理2，將連續(xù)的問題轉(zhuǎn)化為離散的問題，使問題得到簡化.這體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系和連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.證明顯然在和上連續(xù)，且，，，，所以在和上一致連續(xù).另一方面，取，由在處的左右連續(xù)性，取遞減數(shù)列，遞增數(shù)列，使得，，.于是，但.由一致連續(xù)性的證明過程知,在上不一致連續(xù).證畢.4.1.4一元函數(shù)的連續(xù)性與可微性的證明一元函數(shù)的連續(xù)性與可微性的證明，是典型的連續(xù)與離散作為主要矛盾的問題，通常問題是以連續(xù)為矛盾的主要方面.Dirichlet函數(shù)是較為特殊的一元函數(shù)，它的定義域可分為有理數(shù)和無理數(shù)，因此，與之相關(guān)的連續(xù)性與可微性問題必須以離散為矛盾的主要方面，必須分別討論其在有理數(shù)點與無理數(shù)點處的有關(guān)性質(zhì)，從而可以達到對離散的對立面——連續(xù)的充分認識，這體現(xiàn)了離散是連續(xù)的形成背景和連續(xù)與離散的絕對性與相對性的統(tǒng)一.具體實例見例6、例7.例6裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:157.證明裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:157.證明對任意的，若，則對任意的正數(shù)，根據(jù)實數(shù)的稠密性，內(nèi)既有無理數(shù)點又有有理數(shù)點，取無理數(shù)點列，則對，有.從而在有理點處不連續(xù).類似地，可證得在無理點處也不連續(xù)，于是在上處處不連續(xù).證畢.例7[26]判斷在上的可微性.解首先，由，知在點處可導(dǎo).其次，當時，若為有理數(shù)，取有理點列，滿足，則.再取大于且趨于的無理點列，則.根據(jù)定理1，知在點處不可導(dǎo)，即在非零有理點處不可導(dǎo).類似地，可以證得在無理點處不可導(dǎo).證畢.4.1.5多元函數(shù)連續(xù)性的證明例8選自浙江大學(xué)2019年研究生入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)分析,第6題.設(shè)定義在上.并且滿足：（1）分別關(guān)于是連續(xù)函數(shù)；（2）若為中的緊集，則是中的緊集.證明是上的連續(xù)函數(shù).選自浙江大學(xué)2019年研究生入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)分析,第6題.分析本例多元函數(shù)連續(xù)性的證明，以連續(xù)與離散為主要矛盾，連續(xù)本應(yīng)是矛盾的主要方面，但緊集的條件給了我們關(guān)于解題方法的重要提示，即構(gòu)造緊集，因此，必須以離散作為矛盾的主要方面.反證法是本例的主要方法，根據(jù)連續(xù)與離散的相對性與絕對性原理，可以從離散作為決定性的一面解決問題，達到對連續(xù)乃至整個問題的全面理解與認識.根據(jù)定理4，將連續(xù)性的轉(zhuǎn)化為離散性的，充分運用數(shù)學(xué)分析中的有關(guān)定理以及條件（1）中函數(shù)關(guān)于單變量連續(xù)的性質(zhì)，在的某鄰域內(nèi)構(gòu)造緊集，再運用條件（2）得出矛盾的結(jié)果.上述過程體現(xiàn)了連續(xù)與離散在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系.證明反證法.不妨設(shè)在點不連續(xù)，且.則存在正數(shù)以及遞減數(shù)列，，其中，，使得.由條件（1），是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，于是對上述正數(shù)，存在正數(shù)，使得當時，有.因此，存在正整數(shù)，使得當時，，從而.由條件（1），對任意的，是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，于是根據(jù)中值定理，存在，使得.由于，故，故點集是緊集.由條件（2）知是緊集，故是的極限點，而，矛盾.證畢.4.1.6無窮遠處函數(shù)極限與數(shù)列極限統(tǒng)一性問題的討論無窮遠處函數(shù)極限與數(shù)列極限統(tǒng)一性問題，是連續(xù)與離散的辯證關(guān)系的重要體現(xiàn).例9告訴我們，僅函數(shù)存在定義的前提下，無窮遠處函數(shù)極限與數(shù)列極限不一定能夠統(tǒng)一；而例10告訴我們，函數(shù)加強有一致連續(xù)的性質(zhì)后，無窮遠處函數(shù)極限與數(shù)列極限便可以統(tǒng)一起來.僅函數(shù)存在定義的前提下，我們?nèi)菀渍业揭粋€反例論證，而函數(shù)一致連續(xù)時，連續(xù)與離散是問題的主要矛盾，矛盾的主要方面則根據(jù)問題的辯證運動發(fā)展有所不同.例10所證函數(shù)無窮遠處的極限的存在性，因此，連續(xù)作為矛盾的主要方面.根據(jù)函數(shù)一致連續(xù)的定義，可以將連續(xù)辯證否定、轉(zhuǎn)化為離散，此時無窮遠處離散的點成為主要研究對象.根據(jù)題給條件“對任意的，序列的極限存在”，無窮遠處離散的點的特性通過數(shù)列極限的柯西收斂準則得到強化，使函數(shù)極限徹底地轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限，離散成為矛盾的主要方面.最后，在函數(shù)一致連續(xù)的理論基礎(chǔ)上，數(shù)列極限辯證運動發(fā)展，離散進行了辯證否定、轉(zhuǎn)化為連續(xù)，數(shù)列極限重新轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，上述過程體現(xiàn)了連續(xù)與離散在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系和否定之否定的規(guī)律.例9李成章,黃玉民編.南開大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)叢書:數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第二版.北京:科學(xué)出版社,2007:80.設(shè)函數(shù)在中有定義，且對任何，都有李成章,黃玉民編.南開大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)叢書:數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第二版.北京:科學(xué)出版社,2007:80.解不一定.比如函數(shù).若為有理數(shù)，則對任意的，也為有理數(shù)，從而，于是，但.若為無理數(shù)，分兩種情況.（1）當時，假設(shè)存在正整數(shù)，，使得，顯然，那么為有理數(shù)，矛盾.于是對任意的，，從而，但.（2）當時，假設(shè)存在正整數(shù)，，，(，)，使得，，那么為有理數(shù)，矛盾，所以最多只有一個，使得，記為.于是對任意的，，從而，但.于是，對任何，都有，但.例10選自浙江大學(xué)2014年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析，第8題.設(shè)在上一致連續(xù).若對任意的，序列的極限存在，證明存在.選自浙江大學(xué)2014年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析，第8題.證明因為在上一致連續(xù)，所以對任意的正數(shù)，存在正數(shù)，使得當且時，有.又對任意的，序列的極限存在.由柯西收斂準則，對上述正數(shù)，，存在正整數(shù)，使得當時，有.現(xiàn)取，則時，，且.于是當時，有由函數(shù)極限的的柯西收斂準則，存在.證畢.4.2連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在反常積分解題實踐中的運用4.2.1反常積分的計算與斂散性的判別例112019年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(一)試題,第172019年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(一)試題,第17題改編.分析連續(xù)性的反常積分求和與離散性的數(shù)項級數(shù)求和是統(tǒng)一的，因此本例中連續(xù)與離散是主要矛盾.本例存在著的因素，所以被積函數(shù)在是沒有原函數(shù)的，因此，無法通過連續(xù)的方面解決問題.考慮到的周期性，可以將積分區(qū)間劃分為，運用定理6將連續(xù)性的積分求轉(zhuǎn)化為離散性的級數(shù)求和，離散作為矛盾的主要方面，同時也是決定性的一面，從而問題得到簡化.上述過程體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系及連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.解例12裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:469.分析本例由于在無窮遠處極限不確定性的因素，使得無窮限反常積分斂散性判別定理在不同程度上“失靈”.此時，將其轉(zhuǎn)化為離散性的級數(shù)和形式，運用數(shù)項級數(shù)斂散性判別定理，是最佳的解決方式.連續(xù)與離散是問題的主要矛盾，離散作為矛盾的主要方面，首先，通過的周期性，將積分區(qū)間劃分為，其次，將得到的數(shù)項級數(shù)依的單調(diào)性分段討論其斂散性，結(jié)合運用定理6達到對原數(shù)項級數(shù)斂散性的認識.上述過程體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系及連續(xù)與離散的普遍性與特殊性的統(tǒng)一.解記，由于時，，所以由比較判別法知收斂.同理可知收斂，于是原級數(shù)收斂.4.2.2反常積分收斂性與無窮遠處極限之間的聯(lián)系的討論通常情況下，無窮限反常積分收斂與被積函數(shù)在無窮遠處的極限為零沒有必然的聯(lián)系，但函數(shù)通過一定條件加強后，這種聯(lián)系就成為必然了，這體現(xiàn)了事物發(fā)展過程中聯(lián)系的必然性與偶然性的統(tǒng)一.在證明無窮遠處函數(shù)極限為零的過程中，除了海涅定理外，無窮限反常積分收斂的柯西收斂準則也起著重要的作用.例13的證明無窮遠處函數(shù)極限為零的過程體現(xiàn)了否定之否定的規(guī)律和連續(xù)與離散在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，連續(xù)與離散作為問題的主要矛盾，連續(xù)作為矛盾的主要方面無法直接為問題的解決提供動力，因此，在無窮限反常積分收斂的柯西收斂準則的作用下，連續(xù)進行辯證否定轉(zhuǎn)化為離散，定理3的必要性將離散的程度進行加強，使離散成為矛盾的主要方面.而在定理3的充分性的作用下，離散辯證否定，使得數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，問題在矛盾的兩次辯證否定的運動發(fā)展中得到解決.例13裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:416.若函數(shù)連續(xù)可微，反常積分和裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].第二版.北京:高等教育出版社,2006:416.證明因為收斂，所以由柯西收斂準則，對任意給定的正數(shù)，存在，使得對任意的時，有.如此對任意單調(diào)遞增趨于的數(shù)列，存在正整數(shù)，使得當正整數(shù)時，有，從而.故收斂.由定理3，存在.下證.若，由函數(shù)極限的保號性，存在，使得當時，有，從而時，.這與收斂矛盾.同理可知，也不可能.故.證畢.4.3連續(xù)與離散的辯證關(guān)系在函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分解題實踐中的運用4.3.1函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分的一致收斂性的判別具體的函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分的一致收斂性的判別，主要是通過定理8與定理9，將連續(xù)性的一致收斂問題轉(zhuǎn)化為離散的余項點列極限問題.在一個判別函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分一致收斂性的問題中，連續(xù)與離散為問題的主要矛盾，連續(xù)是矛盾的主要方面，運用定理8或定理9將問題轉(zhuǎn)化后，離散成為矛盾的主要方面，也是問題辯證運動發(fā)展起決定性作用的一面.上述過程體現(xiàn)了連續(xù)是離散的積累結(jié)果的辯證關(guān)系和連續(xù)與離散的絕對性與相對性的統(tǒng)一.例14判斷函數(shù)項級數(shù)在上的一致收斂性.證明記，，.則.取，則，而.于是函數(shù)項級數(shù)在上不一致收斂.例15判斷含參量反常積分在上的一致收斂性.證明，.取，則，而于是原含參量反常積分不一致收斂.4.3.2Dini定理的證明Dini定理是數(shù)學(xué)分析中極其重要的一個定理.它主要有三種形式，分別作為函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)和含參量反常積分一致收斂的一種判別方法.歷來教材或輔導(dǎo)資料上呈現(xiàn)的是它的正面證法，這里將運用定理7從反面進行證明，三種形式在本質(zhì)上是統(tǒng)一的，因此，本節(jié)主要討論函數(shù)列一致收斂的Dini定理的證明.Dini定理的證明過程中，除了連續(xù)與離散作為主要矛盾外，還存在著連續(xù)函數(shù)列與其收斂的連續(xù)函數(shù)所體現(xiàn)的過程與結(jié)果的矛盾、函數(shù)列單調(diào)過程中整體與局部的矛盾；首先，連續(xù)作為主要矛盾的主要方面，一開始就將其辯證否定轉(zhuǎn)化為離散，運用定理7將離散程度強化，連續(xù)性的一致收斂問題轉(zhuǎn)化為離散性的余項點列極限問題，離散作為主要矛盾的主要方面，其次，通過致密性定理選取合適的點列，貫徹到過程與結(jié)果的矛盾運動過程中，最后，將結(jié)果作用于整體與局部的矛盾運動過程中，找出悖論，使得離散辯證否定，問題再次轉(zhuǎn)化成為連續(xù)性的一致收斂問題.上述否定之否定的辯證發(fā)展過程