2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標）

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2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ）

一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．

1．（5分）設集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，則A∪B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣iB．1+3iC．3+iD．3+3i3．（5分）函數(shù)f（x）=sin（2x+A．4πB．2πC．π

D．

）的最小正周期為（）

4．（5分）設非零向量，滿足|+|=|﹣|則（）A．⊥

B．||=||

C．∥

D．||＞||

5．（5分）若a＞1，則雙曲線A．（

，+∞）B．（

﹣y2=1的離心率的取值范圍是（）

）D．（1，2）

，2）C．（1，

6．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）

A．90πB．63πC．42πD．36π

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7．（5分）設x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最小值是（）

A．﹣15B．﹣9C．1D．9

8．（5分）函數(shù)f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的單調遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）

9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同學一起去問老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則（）

A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績

C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績

10．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，假使輸入的a=﹣1，則輸出的S=（）

A．2B．3C．4D．5

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11．（5分）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為（）A．

B．C．

D．

的直線交C于點M（M在

12．（5分）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為

x軸上方），l為C的準線，點N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A．

二、填空題，此題共4小題，每題5分，共20分13．（5分）函數(shù)f（x）=2cosx+sinx的最大值為．

14．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=2x3+x2，則f（2）=．

15．（5分）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為．

16．（5分）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=．

三、解答題：共70分．解允許寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17至21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．

17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．

（1）若a3+b3=5，求{bn}的通項公式；（2）若T3=21，求S3．

18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）證明：直線BC∥平面PAD；（2）若△PCD面積為2

，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

B．2

C．2

D．3

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19．（12分）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg〞，估計A的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較．附：P（K2≥K）KK2=

0.0503.841．

+y2=1上，過M作x軸的

0.0106.6350.00110.82820．（12分）設O為坐標原點，動點M在橢圓C：垂線，垂足為N，點P滿足（1）求點P的軌跡方程；

第4頁（共22頁）

=．

（2）設點Q在直線x=﹣3上，且過C的左焦點F．

?=1．證明：過點P且垂直于OQ的直線l

21．（12分）設函數(shù)f（x）=（1﹣x2）ex．（1）探討f（x）的單調性；

（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假使多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

22．（10分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4．

（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|?|OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；（2）設點A的極坐標為（2，

[選修4-5：不等式選講]

23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．證明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．

），點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．

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A．2B．3C．4D．5

執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，K值，當K=7時，程序終止即可得到結論．

解：執(zhí)行程序框圖，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循環(huán)，第一次滿足循環(huán)，S=﹣1，a=1，K=2；

滿足條件，其次次滿足循環(huán)，S=1，a=﹣1，K=3；滿足條件，第三次滿足循環(huán)，S=﹣2，a=1，K=4；滿足條件，第四次滿足循環(huán)，S=2，a=﹣1，K=5；滿足條件，第五次滿足循環(huán)，S=﹣3，a=1，K=6；滿足條件，第六次滿足循環(huán)，S=3，a=﹣1，K=7；K≤6不成立，退出循環(huán)輸出S的值為3．應選：B．

此題主要考察了程序框圖和算法，屬于基本知識的考察，比較基礎．

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11．（5分）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為（）A．

B．C．

D．

先求出基才能件總數(shù)n=5×5=25，再用列舉法求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)包含的基才能件個數(shù)，由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率．

解：從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，

基才能件總數(shù)n=5×5=25，

抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)包含的基才能件有：

（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），

共有m=10個基才能件，

∴抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率p=應選：D．

此題考察概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．

12．（5分）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為

的直線交C于點M（M在

=．

x軸上方），l為C的準線，點N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A．

B．2

C．2

D．3

利用已知條件求出M的坐標，求出N的坐標，利用點到直線的距離公式求解即可．

解：拋物線C：y2=4x的焦點F（1，0），且斜率為﹣1），

過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為l

的直線交C于點M（M在x軸上方），

的直線：y=

（x

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可知：可得N（﹣1，2

，解得M（3，2）．

（x﹣1），即=2

．

，

），NF的方程為：y=﹣

則M到直線NF的距離為：應選：C．

此題考察直線與拋物線的位置關系的應用，考察計算能力．

二、填空題，此題共4小題，每題5分，共20分13．（5分）函數(shù)f（x）=2cosx+sinx的最大值為．

利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，通過正弦函數(shù)的有界性求解即可．解：函數(shù)f（x）=2cosx+sinx=中tanθ=2，

可知函數(shù)的最大值為：故答案為：

．

．

（

cosx+

sinx）=

sin（x+θ），其

此題考察三角函數(shù)的化簡求值，正弦函數(shù)的有界性的應用，考察計算能力．

14．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=2x3+x2，則f（2）=12．

由已知中當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），進而根據(jù)奇函數(shù)的性質，可得答案．

解：∵當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=2x3+x2，∴f（﹣2）=﹣12，

又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（2）=12，故答案為：12

此題考察的知識點是函數(shù)奇偶性的性質，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎題．

第13頁（共22頁）

15．（5分）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為14π．

求出球的半徑，然后求解球的表面積．

解：長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，可知長方體的對角線的長就是球的直徑，所以球的半徑為：則球O的表面積為：4×故答案為：14π．

此題考察長方體的外接球的表面積的求法，考察空間想象能力以及計算能力．

16．（5分）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=

．

=

．=14π．

根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導公式計算即可解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=

，

故答案為：

此題考察了正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導公式，屬于基礎題

三、解答題：共70分．解允許寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17至21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．

17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，

第14頁（共22頁）

a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．

（1）若a3+b3=5，求{bn}的通項公式；（2）若T3=21，求S3．

（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通項公式；（2）運用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，再由等差數(shù)列的通項公式和求和，計算即可得到所求和．

解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），則{bn}的通項公式為bn=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，

當q=4時，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，

d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；當q=﹣5時，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．

此題考察等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，求出公差和公比是解題的關鍵，考察方程思想和化簡整理的運算能力，屬于基礎題．

18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）證明：直線BC∥平面PAD；（2）若△PCD面積為2

，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

第15頁（共22頁）

（1）利用直線與平面平行的判定定理證明即可．

（2）利用已知條件轉化求解幾何體的線段長，然后求解幾何體的體積即可．（1）證明：四棱錐P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴直線BC∥平面PAD；

（2）解：四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．設AD=2x，則AB=BC=x，CD=

，O是AD的中點，

連接PO，OC，CD的中點為：E，連接OE，則OE=

，PO=

，PE=，可得：

=2=，

．

=4

．

，

△PCD面積為2即：

，解得x=2，PO=2

則VP﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PO=

此題考察直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考察空間想象能力以及計算能力．

19．（12分）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布

第16頁（共22頁）

直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg〞，估計A的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較．附：P（K2≥K）KK2=

0.0503.841．

0.0106.6350.00110.828（1）根據(jù)題意，由舊養(yǎng)殖法的頻率分布直方圖計算可得答案；（2）由頻率分布直方圖可以將列聯(lián)表補全，進而計算可得K2=

≈15.705＞6.635，與附表比較即可得答案；

（3）由頻率分布直方圖計算新舊養(yǎng)殖法產(chǎn)量的平均數(shù)，比較即可得答案．解：（1）根據(jù)題意，由舊養(yǎng)殖法的頻率分布直方圖可得：P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；（2）根據(jù)題意，補全列聯(lián)表可得：

箱產(chǎn)量＜50kg6234箱產(chǎn)量≥50kg3866總計100100舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

第17頁（共22頁）

總計則有K2=

96104≈15.705＞6.635，

200故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關；（3）由頻率分布直方圖可得：舊養(yǎng)殖法100個網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)

1=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×

0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；

新養(yǎng)殖法100個網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)

2=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×

0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35；比較可得：1＜2，

故新養(yǎng)殖法更加優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．

此題考察頻率分布直方圖、獨立性檢驗的應用，涉及數(shù)據(jù)平均數(shù)、方差的計算，關鍵認真分析頻率分布直方圖．

20．（12分）設O為坐標原點，動點M在橢圓C：垂線，垂足為N，點P滿足（1）求點P的軌跡方程；（2）設點Q在直線x=﹣3上，且過C的左焦點F．

（1）設M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設P（x，y），運用向量的坐標運算，結合M滿足橢圓方程，化簡整理可得P的軌跡方程；（2）設Q（﹣3，m），P（

cosα，

sinα），（0≤α＜2π），運用向量的數(shù)量積?

=1．證明：過點P且垂直于OQ的直線l

=

．

+y2=1上，過M作x軸的

的坐標表示，可得m，即有Q的坐標，求得橢圓的左焦點坐標，求得OQ，PF的斜率，由兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0，即可得證．解：（1）設M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設P（x，y），由點P滿足可得（x﹣x0，y）=可得x﹣x0=0，y=

=．

（0，y0），y0，

第18頁（共22頁）

即有x0=x，y0=代入橢圓方程

，

+y2=1，可得

+

=1，

即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2；（2）證明：設Q（﹣3，m），P（?

=1，可得（

cosα，

cosα，

sinα），（0≤α＜2π），cosα，m﹣

sinα）=1，

sinα）?（﹣3﹣msinα﹣2sin2α=1，

即為﹣3

cosα﹣2cos2α+

當α=0時，上式不成立，則0＜α＜2π，解得m=即有Q（﹣3，橢圓由=3+3

?

，

），

+y2=1的左焦點F（﹣1，0），=（﹣1﹣cosα﹣3（1+

cosα，﹣

sinα）?（﹣3，

）

cosα）=0．

可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．另解：設Q（﹣3，t），P（m，n），由

?

=1，

可得（m，n）?（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，又P在圓x2+y2=2上，可得m2+n2=2，即有nt=3+3m，

又橢圓的左焦點F（﹣1，0），?

=（﹣1﹣m，﹣n）?（﹣3，t）=3+3m﹣nt

=3+3m﹣3﹣3m=0，則

⊥

，

可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．

此題考察軌跡方程的求法，注意運用坐標轉移法和向量的加減運算，考察圓的參數(shù)方程的運用和直線的斜率公式，以及向量的數(shù)量積的坐標表示和兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0，考察化簡整理的運