2023版XX高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案第十四章空間向量 第2課

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第2課__空間向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積____1.了解空間向量基本定理，把握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2.理解空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、運算律及兩向量的夾角公式、兩點間距離公式、把握空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式．3.能用向量的數(shù)量積判斷兩非零向量是否垂直.1.閱讀：選修21第87～95頁．2.解悟：①平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別；②空間向量的正交分解主要有什么作用；③空間向量的坐標(biāo)運算法則與平面向量的區(qū)別與聯(lián)系，二維向三維轉(zhuǎn)化；④數(shù)量積最終結(jié)果是數(shù)，數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，如何合理選擇使用；⑤重解第88頁例1，第90頁例2，第92頁例2，第94頁例3，體會解題方法和規(guī)范.3.踐習(xí)：在教材空白處，完成第89頁練習(xí)第3、4、5題，第91頁練習(xí)第3、4、6題，第95頁練習(xí)第5、8、10題.基礎(chǔ)診斷

1.若向量a＝(4，2，－4)，b＝(6，－3，2)，則(2a－3b)·(a＋2b)＝________．

→→

2.已知空間三點P(－2，0，2)，Q(－1，1，2)，R(－3，0，3)，則PQ與PR的夾角為________．

3.已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b垂直，則k的值為________．

4.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中點，點O為底面ABCD的中心，點P為棱A1B1上任意一點，則異面直線OP與AM所成角的大小為________．

范例導(dǎo)航考向利用數(shù)量積求夾角例1如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC

1

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＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC所成角的余弦值．

→→

如圖，已知E是正方體ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中點，試求向量A1C1與DE的夾角的余弦值.

考向利用向量求線段的長例2如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1.M∈AC，N∈C1D，且MN⊥AC，MN⊥C1D，試求MN的長．

已知空間三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).

2

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→→

(1)求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；

→→

(2)若|a|＝3，且a與AB，AC均垂直，求向量a的坐標(biāo).考向利用向量證明平行、垂直例3在如下圖的長方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB1＝2，M是線段B1D1的中點．求證：(1)BM∥平面D1AC;(2)D1O⊥平面AB1C.

如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G是CC1的中點．求證：A1O⊥平面GBD.

自測反饋

1.已知a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6且a⊥b，則x＋y的值為________．2.已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為________．

3.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三個向量共面，則實數(shù)λ＝________．

1.由基底表示空間任意一向量時，要明確基底是哪三個向量．分解主要看相加，相減與數(shù)乘．

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2.用坐標(biāo)表示向量的關(guān)鍵是找到三條兩兩垂直的直線．

3.靈活選用數(shù)量積定義(有時需要用已知量表示所求量，轉(zhuǎn)化成已知向量間的運算—常選擇空間向量已知的一組基底)及坐標(biāo)法來解決求角，證明垂直，求長度等問題．

4.你還有哪些體悟，寫下來：

4

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第2課空間向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積

基礎(chǔ)診斷

1.－212解析：(2a－3b)·(a＋2b)＝[(8，4，－8)－(18，－9，6)]·[(4，2，－4)＋(12，－6，4)]＝(－10，13，－14)·(16，－4，0)＝－160－52＋0＝－212.

→→→→

2.120°解析：由題意得PQ＝(1，1，0)，PR＝(－1，0，1)，所以PQ·PR＝－1＋0＋0→→→→→→＝－1.又|PQ|＝12＋12＋02＝2，|PR|＝（－1）2＋02＋12＝2，PQ·PR＝|PQ||PR|cos∠QPR，所以cos∠QPR＝－11→→

＝－，所以PQ與PR的夾角為120°.

22×2

7

3.解析：ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝(2，2，0)－(－1，50，2)＝(3，2，－2)．又ka＋b與2a－b垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝5k－77＝0，解得k＝.

5

4.90°解析：以點D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，A1P＝t(0≤t≤2)，則A(2，0，0)，M(0，0，→→→→

1)，O(1，1，0)，P(2，t，2)，AM＝(－2，0，1)，OP＝(1，t－1，2)，所以AM·OP＝－2＋0＋2＝0，則異面直線OP與AM所成的角的大小為90°.

范例導(dǎo)航

→→→

例1解析：由于BC＝AC－AB，→→→→→所以O(shè)A·BC＝OA·(AC－AB)→→→→＝OA·AC－OA·AB

→→→→→→→→＝|OA||AC|cos〈OA，AC〉－|OA||AB|cos〈OA，AB〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162，

→→

OA·BC24－1623－22→→

所以cos〈OA，BC〉＝＝＝，

5→→8×5

|OA||BC|3－22→→

故OA與BC夾角的余弦值為，

53－22

即直線OA與BC所成角的余弦值為