初等變換與線性方程組課件

邱啟榮第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié)矩陣的初等變換一、消元法解線性方程組二、矩陣的初等變換三、小結(jié)

本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法．內(nèi)容豐富，難度較大.解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運算，未知量并未參與運算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應(yīng)用廣泛.三、初等矩陣的概念定理1設(shè)是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣四、矩陣的等價（1）如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成B，就稱矩陣A與B行等價，記作（2）如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成B，就稱矩陣A與B列等價，記作（3）如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成B，就稱矩陣A與B等價，記作定理設(shè)是矩陣，則(1)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使得。(2)的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，使得。(3)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得。A可逆的充分必要條件是特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．例如，特點：所有與矩陣等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個等價類中最簡單的矩陣.由定理知，的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使得。將A變成行最簡型，并求相應(yīng)的可逆變換陣P的方法：例把如下矩陣化為行最簡形矩陣，并求相應(yīng)的可逆變換陣P：

定理2設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣證即利用初等變換求逆陣的方法：解例即初等行變換注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，不能作任何列變換．例２列變換列變換解例31.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是:三、小結(jié)課堂作業(yè)：求矩陣A的行階梯陣和最簡型邱啟榮華北電力大學(xué)數(shù)理系第二節(jié)矩陣的秩一、矩陣秩的概念第二節(jié)矩陣的秩二、矩陣秩的求法-----初等變換法矩陣的秩一、矩陣秩的概念例1解例2解如果逐個判別每一個子式計算量是很大的。由例2可知，如果矩陣是一個行階梯陣，那么它的秩與最高階非零子式是很容易求得。。定理：如果矩陣A中有一個r階子式不為零，而包含該子式的所有r+1階子式全為零，則該矩陣的秩為r。例3解計算A的3階子式，另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？證二、矩陣秩的求法-----初等變換法自己看書。經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．證畢初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解由階梯形矩陣有三個非零行可知則這個子式便是的一個最高階非零子式.例5解分析：例已知解1：由于A的秩是2，因此故解2：由于A的秩是2，因此故解3：由于A的秩是2，因此故(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));三、小結(jié)邱啟榮華北電力大學(xué)數(shù)理系第三節(jié)線性方程的解第三節(jié)線性方程的解一、線性方程組有解的判定條件三、小結(jié)二、線性方程組的解法問題：證必要性.(),,nDnAnAR階非零子式中應(yīng)有一個則在設(shè)=(),根據(jù)克拉默定理個方程只有零解所對應(yīng)的nDn從而一、線性方程組有解的判定條件這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=設(shè).個自由未知量從而知其有rn-任取一個自由未知量為１，其余自由未知量為０，即可得方程組的一個非零解.證必要性．,有解設(shè)方程組bAx=()(),BRAR<設(shè)則B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應(yīng)矛盾方程０＝１，這與方程組有解相矛盾.()().BRAR=因此并令個自由未知量全取0，rn-即可得方程組的一個解．充分性.()(),BRAR=設(shè)()()(),nrrBRAR￡==設(shè)證畢其余個作為自由未知量,把這

行的第一個非零元所對應(yīng)的未知量作為非自由未知量,小結(jié)有唯一解bAx=()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無窮多解.bAx=齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；例1求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法即得與原方程組同解的方程組由此即得例２求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無解．例３求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組有解，且有所以方程組的通解為例４

解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，方程組的增廣矩陣為由于原方程組等價于方程組由此得通解：例５設(shè)有線性方程組解其通解為這時又分兩種情形：()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無窮多解.bAx=非齊次線性方程組齊次線性方程組三、小結(jié)思考題解思考題解答故原方程組的通解為邱啟榮華北電力大學(xué)數(shù)理系第五節(jié)綜合與提高一本章知識回顧二、典型問題三、測試題換法變換倍法變換消法變換１初等變換的定義初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．反身性傳遞性對稱性２矩陣的等價矩陣A與B等價的必要條件是A與B是同型矩陣。三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣．由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．３初等矩陣（１）換法變換：對調(diào)兩行（列），得初等矩陣．（２）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣．（３）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣．定理定理推論4初等矩陣與初等變換的關(guān)系經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元．例如5行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如6行最簡形矩陣對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都為0．例如7矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個等價類中形狀最簡單的矩陣．定義定義8矩陣的秩定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．9矩陣秩的性質(zhì)及定理定理定理10線性方程組有解判別定理

齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解．

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣，寫出通解．11線性方程組的解法一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題求矩陣的秩有下列基本方法（１）計算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個子式，則這個子式的階數(shù)就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個數(shù)就是原矩陣的秩．第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時，計算量很大，第二種方法則較為簡單實用．

注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．例１求如下矩陣的秩解對施行初等行變換化為階梯形矩陣當(dāng)方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不相同時，一般用初等行變換求方程的解．當(dāng)方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同時，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則．二、求解線性方程組例２求非齊次線性方程組的通解．解對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡單形．由此可知，而方程組(1)中未知量的個數(shù)是，故有一個自由未知量.例３當(dāng)取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數(shù)矩陣的行列式為從而得到方程組的通解解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形三、求逆矩陣的初等變換法例４求下述矩陣的逆矩陣．解

注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．或者四、解矩陣方程的初等變換法例５解例設(shè)，求矩陣的秩。解法1：對A作初等變換，化為階梯形矩陣由于因此解法2：利用矩陣乘積的秩的性質(zhì)例設(shè)3階非零矩陣B的每一列向量都是方程組的解，求（1）求的值；（2）求證.

例設(shè)求解方程例3.5.8已知方程組(1)如果互不相等，證明方程組無解；(2)若，則方程組有解，并求其通解.解：（1）由于增廣矩陣B的行列式是4階范德蒙行列式，且互不相等，于是所以。又方程組的系數(shù)矩陣A是矩陣，從而，故方程組無解.(2)若，則因為，所以方程組有解，同解方程組為

故通解為例3.5.9*設(shè)方程組已知是該方程織的一個解向量，試求(1)方程組的通解；(2)該方程組滿足的通解．