計數(shù)原理試題匯總

計數(shù)原理?？家c與核心問題排列組合解排列組合題的基本思路：將具體問題抽象為排列組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步對“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑嬎闶墙饨M合題的常用方法；是用“直接法”還是用“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”；解排列組合題的基本方法：優(yōu)限法：元素分析法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；排異法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉．分類處理：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論；注意：分類不重復(fù)不遺漏．分步處理：對某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決；在解題過程中，常常要既要分類，以要分步，其原則是先分類，再分步．插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；這種方法常用于方法數(shù)比較少的問題．解決計數(shù)(查數(shù))問題的核心思想1數(shù)(shǔ)2乘法，加法原理3容斥原理(加法原理的推廣)4找對應(yīng)命題規(guī)律排列組合的知識在高考中經(jīng)常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度屬中等．二項式定理要求掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題．對二項式定理的考查主要有以下兩種題型：1．求二項展開式中的指定項問題：方法主要是運(yùn)用二項式展開的通項公式；2．求二項展開式中的多個系數(shù)的和：此類問題多用賦值法；要注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別；命題規(guī)律歷年高考二項式定理的試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，重點考查運(yùn)用二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法．為此，只要我們把握住二項式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學(xué)模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解．*我們在證明二項式展開式時用到了一個有關(guān)多項式的結(jié)論，希望大家注意：幾個多項式相乘得到一個多項式，在合并同類項前，所得的多項式中的每一項是從每個因子多項式中取出一項后所作的乘積即要生成多項式中的一項，只需要從每個因子多項式中取出一項，再將所得項作乘積.基礎(chǔ)篇10全國I(6)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有A．30種 B．35種 C．42種 D．48種考點：分類計數(shù)原理、組合知識規(guī)律方法：分類討論解析：可分以下2種情況：(1)A類選修課選1門，B類選修課選2門，有種不同的選法；(2)A類選修課選2門，B類選修課選1門，有種不同的選法.所以不同的選法共有種.答案：A(09北京理)用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()A．324 B．328 C．360 D．648考點：排列組合知識以及分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理知識.屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.規(guī)律方法：先考慮有限制的元素和位置，分類討論或者采用間接法求解解析：法1：首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當(dāng)0排在末位時，有(個)，當(dāng)0不排在末位時，有(個)，于是由分類計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有(個).法2：采用間接法，三個數(shù)字沒有重復(fù)組成偶數(shù)為，再考慮首位是零的情況，，360-32=328.答案：B10全國II(6)將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中．若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有A．12種 B．18種 C．36種 D．54種考點：排列組合知識.解析：標(biāo)號1，2的卡片放入同一封信有種方法；其他四卡片放入兩個信封，每個信封兩個有種方法，，共有18種．答案：B10北京4，8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法總數(shù)為A． B． C． D．考點：排列組合規(guī)律方法：插空法解析：基本的插空法解決的排列組合問題，將所有學(xué)生先排列，有種排法，然后將兩位老師插入9個空中，共有種排法，因此一共有種排法．答案：B10湖北8現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是A．152 B．126 C．90 D．54考點：分類記數(shù)原理規(guī)律方法：特殊位置優(yōu)先考慮，打捆法解析：分類討論：若有2人從事司機(jī)工作，則方案有；若有1人從事司機(jī)工作，則方案有種，所以共有18＋108＝126種答案：B10全國I(5)的展開式中x的系數(shù)是（答案有錯）A．－4 B．－2 C．2 D．4考點：本小題主要考查了考生對二項式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項的系數(shù)與其二項式系數(shù)，同時也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力.解析：故的展開式中含x的項為＋，所以x的系數(shù)為2.答案：C10全國II(14)若的展開式中的系數(shù)是－84，則_________．考點：本試題主要考查二項展開式的通項公式和求指定項系數(shù)的方法.解析：該二項展開式的通項公式為，即，所以展開式中的系數(shù)是，.答案：110湖北11．在展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_______________項.考點：二項展開式的通項公式和求指定項系數(shù)方法的靈活運(yùn)用解析：二項式展開式的通項公式為要使系數(shù)為有理數(shù)，則r必為4的倍數(shù)，所以r可為0、4、8、12、16、20共6種，故系數(shù)為有理數(shù)的項共有6項.答案：610江西6．展開式中不含項的系數(shù)的和為()A．－1 B．0 C．1 D．2考點：二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，考查實踐意識和創(chuàng)新能力規(guī)律方法：賦值法解析：正難則反．項是最高項，其系數(shù)為1；采用賦值法，令x＝1得：系數(shù)和為1，減去項系數(shù)即為所求，答案為0答案：B.10四川(13)的展開式中的第四項是_________考點：二項式定二項展開式的通項公式和求指定項的求法解析：答案：—（負(fù)號沒念）提高篇10江西14．將6位志愿者分成4組，其中兩個各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有_______種(用數(shù)字作答)．考點：分類計數(shù)原理平均分組分配問題規(guī)律方法：歸轉(zhuǎn)化和應(yīng)用知識解析：先分組，考慮到有2個是平均分組，得兩個兩人組兩個一人組，再全排列得：＝．答案：108010廣東8．為了迎接2010年廣州亞運(yùn)會，某大樓安裝了5個彩燈，他們閃亮的順序不固定，每個彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同.記這5個彩燈有序地各閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒，如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒考點：排列組合基本排列公式與計數(shù)方法。解析：需要的時間至少，即每一種閃爍沒有重復(fù)的燈，一共有=5!共120種閃爍.每次閃爍時間5秒，共5×120＝600s，每兩次閃爍之間的間隔為5s，共5×(120－1)＝595s．總共就有600＋595＝1195s．答案：C10浙江(17)有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項目，且不重復(fù).若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人.則不同的安排方式共有______________種(用數(shù)字作答).考點：本題主要考察了排列與組合的相關(guān)知識點規(guī)律方法：分類討論思想和數(shù)學(xué)思維能力，屬較難題解析：方法1：上午測試安排有種方法，下午測試分為(1)若上午測試“臺階”的同學(xué)下午測試“握力”，其余三位同學(xué)有2種方法測試；(2)若上午測試“臺階”的同學(xué)下午不測“握力”，則有種，其余三位同學(xué)選一人測“握力”，有種方法，則共有9種方法，因此測試方法共有種，當(dāng)然，利用容斥原理可以給出更簡潔的計算方法方法2：容斥原理：設(shè)，k＝1，2，…，n為n個有限集合，|A|表示集合A的元素個數(shù)則這n個集合的并集滿足：其中，當(dāng)n＝2時，上一公式就是當(dāng)n＝3時，上一公式就是：解釋一下：這一公式的意思就是n個集合并的元素個數(shù)＝n個集合元素個數(shù)之和(這時肯定算多了，要減一下)－n個集合中兩兩交集的個數(shù)和(這時又減多了，要加一下)＋n個集合中三三相交的所有交集元素個數(shù)之和……(仿此繼續(xù)，知道所有集合的交集)如果不理解，可以先看n＝2和n＝3時的特殊情形.如右圖，將測試項目標(biāo)號為1，2，3，4，5.對于甲乙丙丁四位同學(xué)，上下午不能測試相同的項目上午測試項目安排好后(共有種方法)，安排下午的測試.此時，可以設(shè)上午甲測試1，乙測試2，丙測試3，丁測試4下午測試安排的方法種數(shù)為x，(這里要求下午甲不測試1.乙不測試2，丙不測試3)x＝(下午測試項目的全排)－(下午甲測試1的安排法數(shù))－(下午測試2的安排法數(shù))－(下午丙測試3的安排法數(shù))＋(下午甲測試1且乙測試2的安排法數(shù))＋(下午甲測試1且丙測試3的安排法數(shù))＋(下午乙測試2且丙測試3的安排法數(shù))－1(下午甲測試1，乙測試2，丙測試3的安排法數(shù))＝11從而總共有種答案：264(北京20)已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：，．其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和．若對于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)．(I)檢驗集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和；(II)對任何具有性質(zhì)的集合，證明：；(III)判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．考點：排列組合、集合解析：(I)解：集合不具有性質(zhì)．集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，．(II)證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個．因為，所以；又因為當(dāng)時，時，，所以當(dāng)時，．從而，集合中元