清北學(xué)堂物理競賽模擬試題贈六

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清北學(xué)堂物理競賽模擬試題（贈六）

命題人：黃洪才老師

一、完成以下兩小題：

（1）一個半徑為r的球狀金屬薄膜，厚度為a，電阻率為ρ，如圖。證明任一直徑AB兩端間的等效電阻RAB與半徑r無關(guān)。

（2）任意一個二端電阻網(wǎng)絡(luò)，在網(wǎng)絡(luò)中用導(dǎo)線連接其中的任意兩個節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)的等效電阻如何變化？

二、物理學(xué)界一個著名的問題是“最速降線問題〞，就是在重力場中有兩點，如何找到一條連接此兩點的軌跡，使小球從最高點由靜止出發(fā)到最低點所用的時間最少。1697年，伯努利根據(jù)光學(xué)類比的方法解決了此問題。試說明其理由。

三、如下圖，質(zhì)量為M的滑塊靜止在地面上，左端固定一根勁度系數(shù)為k（足夠大）的輕彈簧，右端用抗斷力為T的細繩與墻壁連接。不計所有摩擦。今有一質(zhì)量為m的小物塊以一定的初速度滑上滑塊向左運動。

（1）小物塊的初速度多大時，細繩能被拉斷？

（2）若小物塊的初速度v0已知，細繩被拉斷后，滑塊的最大加速度多大？最大速度多大？

l0l0l0l0

v0

ABmrMa第一題圖第三題圖第四題圖

四、如下圖，內(nèi)部橫截面積S=1.70×10-2m2的圓柱形絕熱容器內(nèi)，有兩個用勁度系數(shù)k=1.50×104N/m的輕彈簧相連的絕熱活塞，中部有帶孔的固定隔板，容器壁上有開口與大氣相通，左、右兩氣室中裝有同種理想氣體，左室中有加熱器。

起初時，活塞位置如圖，其中l(wèi)0=10.0cm，兩氣室內(nèi)氣體的溫度均為T0=300K，壓強均與大氣壓強一致，即p0=1.00×105Pa。現(xiàn)對左室氣體緩慢加熱，使左室氣體吸收Q=1.00×103J的熱量，該過程中彈簧長度的最大改變量lm=7.40cm。求兩氣室中氣體的最終壓強和溫度?；钊艿哪Σ敛挥嫞也宦?。

五、四個半徑均為R的光滑圓球靜置于一個水平放置的半球形碗內(nèi)，四個球的球心恰在同一水平面上?，F(xiàn)再將一個一致的圓球放在四球之上，系統(tǒng)仍能平衡。求碗的半徑。

六、如下圖，單色光（偏振光）從介質(zhì)Ⅰ射到介質(zhì)Ⅱ的表面上，兩種介質(zhì)的折射率分別為n1、n2。將偏振光分解為P分量（在入射面內(nèi)）和S分量（垂直入射面），則入射光E、反射光R、折射光D中這兩個分量的振幅滿足以下關(guān)系：

RPncos?1?n1cos?2

?2EPn1cos?2?n2cos?1EPRPRS?n1cos?1?n2cos?2

ESn1cos?1?n2cos?2DP2n1cos?1?EPn1cos?2?n2cos?1DS2n1cos?1?ESn1cos?1?n2cos?2ES·n1n2θ1θ2DS··RSDP第六題圖

這組關(guān)系式稱為菲涅耳公式。

在折射率n=1.50的平板玻璃表面涂上一層折射率nf=1.38的氟化鎂。

（1）用波長λ=550nm的單色光從空氣垂直照射到平板玻璃上，為使反射光干擾相消，氟化鎂涂層的最小厚度是多少？與不加涂層相比，光強（I=A2）的反射率降低了多少？

（2）在上述厚度下，用波長λ′=400nm的單色光垂直照射，光強的反射率又是多少？

七、在介電常數(shù)為ε的某超導(dǎo)體內(nèi)，正、負離子的質(zhì)量分別為m1、m2，電量分別為q1、q2，電荷密度均為ρ0。假設(shè)超導(dǎo)體始終處于低溫（接近0K）環(huán)境中，開始時已處于平衡狀態(tài)。后來因受到沿x方向的擾動使離子有微小的運動。試證明離子的這種運動是簡諧運動，并求出振動的圓頻率。

參考答案

一、（1）略；（2）減小或不變

A二、x?(2??sin2?)，y?A(1?cos2?)

22三、（1）v0?T；（2）a?1maxMmk2m?2T2T2?m(kMv0?T2)，2vmax??v0??v0??M?mM?m?mkMk???四、367K，1.65×105Pa；1.21×10