熱統(tǒng)勾選習(xí)題（不含第九章）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——熱統(tǒng)勾選習(xí)題（不含第九章）1.7抽成真空的小匣帶有活門(mén)，開(kāi)啟活門(mén)讓氣體沖入，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)p0時(shí)將活門(mén)關(guān)上，試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒(méi)有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能U與原來(lái)在大氣中的內(nèi)能U0之差為U?U0?p0V0，其中V0是它原來(lái)在大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。

解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能U與其原來(lái)在大氣中的內(nèi)能U0由式（1.5.3）

U?U0?W?Q（1）

確定。由于過(guò)程進(jìn)行得很迅速，過(guò)程中系統(tǒng)與外界沒(méi)有熱量交換，一Q?0.過(guò)程中外界對(duì)系統(tǒng)所做的功可以分為W1和W2兩部分來(lái)考慮。方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由V0變?yōu)榱?。由于小匣很小，在將氣體壓入小匣的過(guò)程中大氣壓強(qiáng)p0可以認(rèn)為沒(méi)有變化，即過(guò)程是等壓的（但不是準(zhǔn)靜態(tài)的）。過(guò)程中大氣對(duì)系統(tǒng)所做的功為

W1??p0?V?p0V0.

另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過(guò)程中不受外界阻力，與外界也就沒(méi)有功交換，則

W2?0.

因此式（1）可表為

U?U0?p0V0.（2）

假使氣體是理想氣體，根據(jù)式（1.3.11）和（1.7.10），有

p0V0?nRT,（3）

U0?U?CV(T?T0)?nR(T?T0)（4）??1式中n是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有

T??T0.（5）

活門(mén)是在系統(tǒng)的壓強(qiáng)達(dá)到p0時(shí)關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強(qiáng)也可看作p0，其物態(tài)方程為

p0V?nR?T0.（6）

與式（3）比較，知

V??V0.（7）

1.8滿(mǎn)足pVn?C的過(guò)程稱(chēng)為多方過(guò)程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過(guò)程中的熱容量Cn為

Cn?n??CVn?1解：根據(jù)式（1.6.1），多方過(guò)程中的熱容量

??Q???U???V?Cn?lim???p?????.（1）?T?0?T?T?T??n??n??n對(duì)于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度T的函數(shù)，

??U????CV,?T??n所以

??V?Cn?CV?p??.（2）

??T?n將多方過(guò)程的過(guò)程方程式pVn?C與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)p可得

。（3）TVn?1?C1（常量）

將上式微分，有

Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0,

所以

V??V???.（4）??(n?1)T??T?n代入式（2），即得

Cn?CV?pVn???CV,（5）T(n?1)n?1其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對(duì)流層中的低處與高處之間空氣不斷發(fā)生對(duì)流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時(shí)膨脹，下降時(shí)收縮，空氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過(guò)程可以認(rèn)為是絕熱過(guò)程，試計(jì)算大氣溫度隨高度的變化率

dT，并給出數(shù)值結(jié)果。dz解：取z軸沿豎直方向（向上）。以p(z)和p(z?dz)分別表示在豎

直高度為z和z?dz處的大氣壓強(qiáng)。二者之關(guān)等于兩個(gè)高度之間由大氣重量產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即

p(z)?p(z?dz)??(z)gdz,

（1）

開(kāi)，有

式中?(z)是高度為z處的大氣密度，g是重力加速度。將p(z?dz)展

p(z?dz)?p(z)?dp(z)dz,dz代入式（1），得

dp(z)???(z)g.（2）dz式（2）給出由于重力的存在導(dǎo)致的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化率。

以m?表大氣的平均摩爾質(zhì)量。在高度為z處，大氣的摩爾體積為

m?，則物態(tài)方程為?(z)m?p(z)?RT(z),（3）

?(z)，消去?(z)得T(z)是豎直高度為z處的溫度。代入式（2）

dm?gp(z)??p(z).（4）dzRT(z)由式（1.8.6）易得氣體在絕熱過(guò)程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為

??T???1T?.（5）???p?p??S綜合式（4）和式（5），有

??T?dd??1m?gT(z)??p?z???.（6）?dz?R??p?Sdz大氣的??1.41（大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均摩爾質(zhì)量為m??29?10?3kg?mol?1,g?9.8m?s?2，代入式（6）得

dT?z???10K?km?1.（7）dz式（7）說(shuō)明，每升高1km，溫度降低10K。這結(jié)果是粗略的。由于各種沒(méi)有考慮的因素，實(shí)際每升高1km，大氣溫度降低6K左右。

1.14試根據(jù)熱力學(xué)其次定律證明兩條絕熱線(xiàn)不能相交。解：假設(shè)在p?V圖中兩條絕熱線(xiàn)交于C點(diǎn)，如下圖。設(shè)想一等溫線(xiàn)與

兩條絕熱線(xiàn)分別交于A點(diǎn)和B點(diǎn)（由于等溫線(xiàn)的斜率小于絕熱線(xiàn)的斜率，這樣的等溫線(xiàn)總是存在的），則在循環(huán)過(guò)程ABCA中，系統(tǒng)在等溫過(guò)程AB中從外界吸取熱量Q，而在循環(huán)過(guò)程中對(duì)外做功W，其數(shù)值等于三條線(xiàn)所圍面積（正值）。循環(huán)過(guò)程完成后，系統(tǒng)回到原來(lái)的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

W?Q。

這樣一來(lái)，系統(tǒng)在上述循環(huán)過(guò)程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α耍?/p>

這違背了熱力學(xué)其次定律的開(kāi)爾文說(shuō)法，是不可能的。因此兩條絕熱線(xiàn)不可能相交。度?T1?T2?后的熵增。

l?L端解：以L(fǎng)表示桿的長(zhǎng)度。桿的初始狀態(tài)是l?0端溫度為T(mén)2，T1?T2（設(shè)T1?T2）。這是一個(gè)非平衡狀態(tài)。通L1過(guò)均勻桿中的熱傳導(dǎo)過(guò)程，最終達(dá)到具有均勻溫度?T1?T2?的平衡狀

2121.19均勻桿的溫度一端為T(mén)1，另一端為T(mén)2，試計(jì)算達(dá)到均勻溫

溫度為T(mén)1，溫度梯度為

態(tài)。為求這一過(guò)程的熵變，我們將桿分為長(zhǎng)度為dl的大量小段，如下圖。位于l到l?dl的小段，初溫為

T?T2?T1?T2l.（1）L

這小段由初溫T變到終溫?T1?T2?后的熵增加值為

dSl?cpdl?T1?T22T12T1?T2dT2?cpdlln,（2）

T?TTT2?12lL其中cp是均勻桿單位長(zhǎng)度的定壓熱容量。

根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為

?S??dSlL?T?TT?T????cp??ln12?ln?T2?12l??dl02L????cp??T?TT1?T2??T1?T2??T1?T2???cpLln12?T?llnT?l?T?l???2??2??2?T?T2LLL12????????0LcpLT1?T2?cpLln??T1lnT1?T2lnT2?T1?T2?2T1?T2?T?TTlnT?TlnT2??Cp?ln12?112?1?.2T?T?12?L（3）

式中Cp?cpL是桿的定壓熱容量。

試證明在一致的壓強(qiáng)下降下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度下降大于在節(jié)流過(guò)程中的溫度下降.

解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過(guò)程和節(jié)流過(guò)程中的溫度下降分別由偏導(dǎo)數(shù)???T???T?和???描述.熵函數(shù)S(T,p)的全微分為??p?S??p?H??S???S?dS??dT???dp.???T?P??p?T在可逆絕熱過(guò)程中dS?0，故有

式（5）簡(jiǎn)化為

dpLp?.（6）dTRT2?RT??Um?L?1??.（7）L??3.8在三相點(diǎn)附近，固態(tài)氨的蒸氣壓（單位為Pa）方程為

lnp?27.92?3754.T3063.T液態(tài)氨的蒸氣壓力方程為

lnp?24.38?試求氨三相點(diǎn)的溫度和壓強(qiáng)，氨的汽化熱、升華熱及在三相點(diǎn)的熔解熱.

解：固態(tài)氨的蒸氣壓方程是固相與氣相的兩相平衡曲線(xiàn)，液態(tài)氨的蒸氣壓方程是液相與氣想的兩相平衡曲線(xiàn).三相點(diǎn)的溫度Tt可由兩條相平衡曲線(xiàn)的交點(diǎn)確定：

由此解出

Tt?195.2K.

27.92?37543063?24.38?,（1）TtTt將Tt代入所給蒸氣壓方程，可得

pt?5934Pa.

將所給蒸氣壓方程與式（3.4.8）

比較，可以求得

L升?3.120?104J,L汽?2.547?10J.4Inp??L?A（2）RT

氨在三相點(diǎn)的熔解熱L溶等于

L溶?L升?L汽?0.573?104J.

3.12蒸氣與液相達(dá)到平衡.以

dVm表示在維持兩相平衡的條dT件下，蒸氣體積隨溫度的變化率.試證明蒸氣的兩相平衡膨脹系數(shù)為

1dVm1?L???1??.VmdTT?RT?解：蒸氣的兩相平衡膨脹系數(shù)為

1dVm1???Vm???Vm?dp?????.（1）????VmdTVm????T?p??p?TdT??將蒸氣看作理想氣體，pVm?RT，則有

1??Vm?1?,??Vm??T?pT1??Vm?1??.??Vm??p?Tp（2）

在克拉珀龍方程中略去液相的摩爾體積，因而有

dpLLp??.（3）2dTTVmRT將式（2）和式（3）代入式（1），即有

1dVm1?L???1??.（4）VmdTT?RT?6.1試根據(jù)式（6.2.13）證明：在體積V內(nèi)，在?到ε+dε的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為

132?VD???d??3?2m?2?2d?.

h解:式（6.2.13）給出，在體積V?L3內(nèi)，在px到px?dpx,py到

py?dpy,px到px?dpx的動(dòng)量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為

Vdpxdpydpz.（1）

h3用動(dòng)量空間的球坐標(biāo)描述自由粒子的動(dòng)量，并對(duì)動(dòng)量方向積分，可得在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p?dp范圍內(nèi)三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為

4πV2pdp.（2）h3上式可以理解為將?空間體積元4?Vp2dp（體積V，動(dòng)量球殼4πp2dp）除以相格大小h3而得到的狀態(tài)數(shù).自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為

p2??.2m因此

p?2m?,pdp?md?.

將上式代入式（2），即得在體積V內(nèi)，在?到??d?的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為

6.2試證明，對(duì)于一維自由粒子，在長(zhǎng)度L內(nèi)，在?到??d?的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為

D???d??2L?m???d?.h?2??12132πVD(?)d??3?2m?2?2d?.（3）

h解:根據(jù)式（6.2.14），一維自由粒子在?空間體積元dxdpx內(nèi)可能的量子態(tài)數(shù)為

dxdpx.h在長(zhǎng)度L內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p?dp范圍內(nèi)（注意動(dòng)量可以有正負(fù)兩個(gè)可能的方向）的量子態(tài)數(shù)為

將能量動(dòng)量關(guān)系

p2??2m2Ldp.（1）h代入，即得

6.3試證明，對(duì)于二維的自由粒子，在面積L2內(nèi)，在?到??d?的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為

D???d??2L?m???d?.（2）h?2??122πL2D???d??2md?.

h解:根據(jù)式（6.2.14），二維自由粒子在?空間體積元dxdydpxdpy內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為

1dxdydpxdpy.（1）h2用二維動(dòng)量空間的極坐標(biāo)p,?描述粒子的動(dòng)量，p,?與px,py的關(guān)系為

px?pcos?,py?psin?.

用極坐標(biāo)描述時(shí)，二維動(dòng)量空間的體積元為

pdpd?.

在面積L2內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p?dp范圍內(nèi)，動(dòng)量方向在?到??d?范圍內(nèi)，二維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為

L2pdpd?.（2）h2對(duì)d?積分，從0積分到2π，有

?維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為

將能量動(dòng)量關(guān)系

2?0d??2π.

可得在面積L2內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p?dp范圍內(nèi)（動(dòng)量方向任意），二

2πL2pdp.（3）h2p2??2m代入，即有

2πL2D???d??2md?.（4）

h

6.4在極端相對(duì)論情形下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為

??cp.

試求在體積V內(nèi)，在?到的能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù).解:式（6.2.16）已給出在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p?dp范圍內(nèi)三維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為

4?V2pdp.（1）h3將極端相對(duì)論粒子的能量動(dòng)量關(guān)系

??cp

代入，可得在體積V內(nèi)，在?到??d?的能量范圍內(nèi)，極端相對(duì)論粒子的量子態(tài)數(shù)為

D???d??4πV?ch?2?d?.（2）37.1試根據(jù)公式p???all??l證明，對(duì)于非相對(duì)論粒子?Vp21?2??222??????nx?ny?nz?,?nx,ny,nz?0,?1,?2,2m2m?L?2?,

有

p?2U.3V上述結(jié)論對(duì)于玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立.解:處在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中，非相對(duì)論粒子的能量本征值為

?nxnynz1?2??222????nx?ny?nz?,?nx,ny,nz?0,?1,?2,2m?L?2?,（1）

為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們將上式簡(jiǎn)記為

?l?aV,（2）

2?23?2??其中V?L3是系統(tǒng)的體積，常量a?2m?n2x2?ny?nz2?，并以單一指標(biāo)l代表nx,ny,nz三個(gè)量子數(shù).由式（2）可得

代入壓強(qiáng)公式，有

??12?52???aV3??1.（3）?V33Vp???all??l2??V3V?al?l?l2U,（4）3V式中U??al?l是系統(tǒng)的內(nèi)能.

l上述證明示涉及分布?al?的具體表達(dá)式，因此式（4）對(duì)玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立.

前面我們利用粒子能量本征值對(duì)體積V的依靠關(guān)系直接求得了系統(tǒng)的壓強(qiáng)與內(nèi)能的關(guān)系.式（4）也可以用其他方法證明.例如，依照統(tǒng)計(jì)物理的一般程序，在求得玻耳茲曼系統(tǒng)的配分函數(shù)或玻色（費(fèi)米）系統(tǒng)的巨配分函數(shù)后，根據(jù)熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式可以求得系統(tǒng)的壓強(qiáng)和內(nèi)能，比較二者也可證明式（4）.見(jiàn)式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《統(tǒng)計(jì)物理學(xué)導(dǎo)論》§6.2式（8）和§6.5式（8）.將位力定理用于理想氣體也可直接證明式（4），見(jiàn)第九章補(bǔ)充題2式（6）.需要強(qiáng)調(diào)，式（4）只適用于粒子僅有平衡運(yùn)動(dòng)的情形.假使粒子還有其他的自由度，式（4）中的U僅指平動(dòng)內(nèi)能.

7.2試根據(jù)公式p???all??l證明，對(duì)于相對(duì)論粒子?V122z2???cp?cL?n2x?n?n2y?,?nx,ny,nz?0,?1,?2,?,

有

p?1U.3V上述結(jié)論對(duì)于玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立.

解:處在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中，極端相對(duì)論粒子的能量本征值為

?nnnxyz2??cL?n2x?n?n2y122z??nx,ny,nz?0,?1,?2,?,（1）

用指標(biāo)l表示量子數(shù)nx,ny,nz,V表示系統(tǒng)的體積，V?L3，可將上式簡(jiǎn)記為

其中

?l?aV,（2）

a?2?c?n?n?n2x2y122z?13?.

由此可得

代入壓強(qiáng)公式，得

p???all??l1?41???aV3??l.（3）?V33V??l1U?a??.（4）?ll?V3Vl3V此題與7.1題結(jié)果的差異來(lái)自能量本征值與體積V函數(shù)關(guān)系的不同.式（4）對(duì)玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都適用.7.6晶體含有N個(gè)原子.原子在晶體中的正常位置如圖中的“O〞所示.當(dāng)原子離開(kāi)正常位置而占據(jù)圖中的“?〞位置時(shí)，晶體中就出現(xiàn)缺位和填隙原子.晶體的這種缺陷稱(chēng)為弗倫克爾（Frenkel）缺陷.

（a）假設(shè)正常位置和填隙位置都是N，試證明，由于在晶體中形成n個(gè)缺位和填隙原子而具有的熵等于

S?2kInN!.

n!?N?n?!（b）設(shè)原子在填隙位置和正常位置的能量差為u.試由自由能

F?nu?TS為微小證明，溫度為T(mén)時(shí)，缺位和填隙原子數(shù)為

n?Ne?u2kT（設(shè)n??N）.

解:固體中原子的相互作用使固體形成規(guī)則的晶格結(jié)構(gòu).晶格的格點(diǎn)是原子的平衡位置.當(dāng)所有原子都處在其平衡位置時(shí)，固體的能量最低.絕對(duì)零度下物質(zhì)將盡可能處在其能量最低的狀態(tài).由于

量子效應(yīng)，絕對(duì)零度下原子并非靜止在格點(diǎn)上而是圍繞格點(diǎn)作零點(diǎn)振動(dòng).溫度升高時(shí)，一方面晶格振動(dòng)會(huì)隨溫度升高而變得猛烈；另一方面有的原子會(huì)離開(kāi)其正常的格點(diǎn)位置占據(jù)填隙位置，有的原子離開(kāi)正常的格點(diǎn)位置占據(jù)晶體表面的格點(diǎn)位置而形成新的一層，使固體出現(xiàn)缺陷，前者稱(chēng)為弗倫克爾缺陷，后者稱(chēng)為肖脫基（Shottky）缺陷.此題探討弗倫克爾缺陷，肖脫基缺陷將在7.7題探討.

（a）設(shè)晶體含有N個(gè)原子，晶格中正常的格點(diǎn)位置亦為N.當(dāng)

N??1時(shí)可以認(rèn)為填隙位置與正常位置數(shù)目一致.當(dāng)固體的N個(gè)正常

位置出現(xiàn)n個(gè)缺位

時(shí)，由于缺位位置的不同，可以有填隙位置的不同，也可以有

N!個(gè)微觀狀態(tài).同樣，由于

n!?N?n?!N!個(gè)微觀狀態(tài).因此當(dāng)固體中出現(xiàn)

n!?N?n?!n個(gè)缺位和n個(gè)填隙原子時(shí)，可能的微觀狀態(tài)數(shù)為

Ω?N!N!?,（1）

n!?N?n?!n!?N?n?!形成弗倫克爾缺陷導(dǎo)致的熵為

S?klnΩ

?2klnN!（2）

.n!?N?n?!（b）以u(píng)表示原子處在填隙位置與正常位置的能量差.形成n個(gè)缺位和填隙原子后，固體內(nèi)能的增加為

自由能的改變?yōu)?/p>

F?nu?TSU?nu.（3）

?nu?2kTlnN!n!?N?n?!（4）

?nu?2kT??NlnN?nlnn??N?n?ln?N?n???.假設(shè)形成缺陷后固體的體積不變，溫度為T(mén)時(shí)平衡態(tài)的自由能為微小要求

?F?0.?n由式（4）得

?FN?n?u?2kTln?0,?nn即

lnN?nu?,n2kT?u2kT由于n??N，上式可以近似為

n?Ne.（5）

實(shí)際固體中u的典型值約為1eV，在300K時(shí)，有

n?e?20?10?8.7.N高溫下比值會(huì)增大.

上述探討中假設(shè)形成缺隱時(shí)固體的體積不變.在這假設(shè)下應(yīng)用了自由能判據(jù)，u也成為與溫度無(wú)關(guān)的常量.探討中也忽略了形成缺陷與晶格振動(dòng)的相互影響.這些假設(shè)都是近似成立的.7.16已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為

??122px?py?pz2??ax2?bx,?2m其中a,b是常量，求粒子的平均能量.

解:應(yīng)用能量均分定理求粒子的平均能量時(shí)，需要注意所難能量表達(dá)式?中ax2和bx兩面三刀項(xiàng)都是x的函數(shù)，不能直接將能量均分定理用于ax2項(xiàng)而得

出ax2?kT的結(jié)論.要通過(guò)配方將?表達(dá)為

1b?b2?222??px?py?pz??a?x???.（1）?2m2a?4a?212在式（1）中，僅第四項(xiàng)是x的函數(shù)，又是平方項(xiàng).由能量均分定理知

1b?b2?222??px?py?pz??a?x????2ma?4a?2

b2?2kT?.（2）

4a7.17氣柱的高度為H，處在重力場(chǎng)中.試證明此氣柱的內(nèi)能和

熱容量為

U?U0?NkT?NmgHe0VmgHkT,

?1mgHkT2CV?C?Nk?N?mgh?e2?mgH?kTe?1????1.kT2解:為明確起見(jiàn)，假設(shè)氣體是單原子分子理想氣體.在重力場(chǎng)中分子的能量為

??122px?py?pz2??mgz.（1）?2m粒子的配分函數(shù)為

1Z1?3h???e??p2m32?222x?py?pz???mgzdxdydzdpxdpydpz

??mgzdxdyedz??0H1?2πm???h3???32

?1?2πm?1??mgHA1?e,（2）???3?h????mg其中A??dxdy是氣柱的截面積.氣柱的內(nèi)能為

U??N??lnZ1??3NmgHNkT?NkT??mgH2e?1

式中U0?NkT.

32?U0?NkT?NmgH,（3）

e?mgH?1氣體的熱容量為

CV??U?T2?mgHNmgHe??10?CV?Nk?2.（4）2?mgHkT?e?1?

量為

8πV3hp?8πVh3??pF0pF014pF3?4?pF.（2）134p2dppF3p3dp因此電子的平均速率為

υ?p3pF3??υF.（3）m4m48.18試求在極端相對(duì)論條件下自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓.

解:極端相對(duì)論條件下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為

??cp.

根據(jù)習(xí)題6.4式（2），在體積V內(nèi)，在?到??d?的能量范圍內(nèi)，極端相對(duì)論粒子的量子態(tài)數(shù)為

D???d??8πV?ch?3?2d?.（1）

式中已考慮到電子自旋在動(dòng)量方向的兩個(gè)可能投影而將習(xí)題6.4式（2）的結(jié)果乘以因子2.

0K下自由電子氣體的分布為

??1,????0?;f?????（2）

??0,????0?.費(fèi)米能量??0?由下式確定：

N?8πV?ch?3???0?0?2d??8πV13???0?,3?ch?3故

??0????3n??ch.（3）?8??130K下電子氣體的內(nèi)能為

U??????0?0?D???d???0?3?ch??08πV?3d?

8πV14???0?3?ch?4?3N??0?.（4）4根據(jù)習(xí)題7.2式（4），電子氣體的壓強(qiáng)為

p?1U1?n??0?.（5）3V4

8.19假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，面密度為n.試求0K時(shí)二維電子氣體的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓.

解:根據(jù)6.3題式（4），在面積A內(nèi)，在?到??d?的能量范圍內(nèi)，二維自由電子的量子態(tài)數(shù)為

D???d??4?Amd?.（1）h2式中已考慮到電子自旋在動(dòng)量方向的兩個(gè)可能投影而將6.3題式（4）的結(jié)果乘以2.

0K下自由電子的分布為

??1,????0?;f?????（2）

??0,????0?.費(fèi)米能量??0?由下式確定：

N???0?4πA4πAmd??m??0?,h2?0h2即

h2Nh2??0???.（3）

4πmA4πm0K下二維自由電子氣體的內(nèi)能為

4πA??0?4πAm2NU?2m??d??2??0????0?.（4）0hh22仿照習(xí)題7.1可以證明，對(duì)于二維的非相對(duì)論粒子，氣體壓強(qiáng)與內(nèi)能的關(guān)系為

p?U.（5）A因此0K下二維自由電子氣體的壓強(qiáng)為

p?1n??0?.（6）2

上述結(jié)果顯然也適用于雙（多）原子分子氣體，只要將U0和UV0理解為無(wú)外場(chǎng)時(shí)氣體的內(nèi)能和熱容量.當(dāng)

mgH??1時(shí)，式（4）右方后兩項(xiàng)相互消去而有kT

0CV?CV.（5）

這意味著，當(dāng)氣柱不高，分子在氣柱頂部（z=H）與底部（z=0）的重力勢(shì)能差遠(yuǎn)小于熱運(yùn)動(dòng)能量的情形下，氣柱的熱容量與無(wú)外場(chǎng)時(shí)的熱容量是一致的.

當(dāng)

mgH??1時(shí)，式（4）右方第三項(xiàng)趨于零，因此kT

0CV?CV?nk.（6）

這意味著，當(dāng)氣柱很高，分子在氣柱頂部與底部的重力勢(shì)能差遠(yuǎn)大于熱運(yùn)動(dòng)能量的情形下，氣柱在重力場(chǎng)中具有附加的熱容量Nk.

對(duì)于300K的空氣，相應(yīng)于情形下，

式（5）是適用的.實(shí)際上大氣溫度隨高度而降低，當(dāng)氣柱很高時(shí)，應(yīng)用玻耳茲曼分布時(shí)所作的恒溫假設(shè)并不成立.

7.21定域系統(tǒng)含有N個(gè)近獨(dú)立粒子，每個(gè)粒子有兩個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)?0和?1??1??0?.求在溫度為T(mén)的熱平衡狀態(tài)下粒子在兩能級(jí)的分布，以及系統(tǒng)的內(nèi)能和熵.探討在低溫柔高溫極限下的結(jié)果.解:首先分析粒子在兩能級(jí)的分布.配分函數(shù)為

Z1?e???0?e???1?e???0mgH?1的H約為104m.因此在尋常kT?1?e????1??0??.??

處在兩能級(jí)的最概然粒子數(shù)分別為

n0?e?????0?N???0Ne?????1??0?Z11?e

?N1?e??T,（1）

n1?e?????1N???1Ne?10??e?????1??0?Z11?e??????Ne??T1?e??T,（2）

其中???1??0k是系統(tǒng)的特征溫度.式（1）和（2）說(shuō)明，n0,n1隨溫度

的變化取決于特征溫度與溫度的比值，如下圖.在低溫極限T???下，n0?N,n1?0.粒子凍結(jié)在低能級(jí).在高溫極限T???下，n0?n1?N，2意味著在高溫極限下兩能級(jí)級(jí)能量的差異對(duì)粒子數(shù)分布已沒(méi)有可能覺(jué)察的影響，粒子以相等的概率處在兩個(gè)能級(jí).

系統(tǒng)的內(nèi)能為

U??NN??1??0??lnZ1?N?0????1??0???1?e?

?N?0?N??1??0?1?eT.（3）

在低溫極限T???下，有

U?N?0.

在高溫極限T???下，有

U?N??0??1?.2這是簡(jiǎn)單理解的.

系統(tǒng)的熱容量為

????T??eTC?Nk??.（4）

?2???T1?e????2?熱容量隨溫度的變化如下圖.在低溫極限T???下，有

????TC?Nk??e,

?T?2?它趨于零.在高溫極限T???下，有

1???C?Nk??,

4?T?2也趨于零.這結(jié)果也是易于理解的.值得注意，C隨溫度的變化有一個(gè)尖峰，

其位置由

?C?0?T確定（大致在T~?附近）.熱容量這一尖峰稱(chēng)為熱容量的肖脫基（Shottky）反常（解釋見(jiàn)后）.

系統(tǒng)的熵為

???S?Nk?lnZ1??lnZ1?

????

???1??0?????????Nk?ln?1?e?10???.（5）??1?e???1??0????S?