熱統(tǒng)勾選習題（不含第九章）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——熱統(tǒng)勾選習題（不含第九章）1.7抽成真空的小匣帶有活門，開啟活門讓氣體沖入，當壓強達到外界壓強p0時將活門關上，試證明：小匣內的空氣在沒有與外界交換熱量之前，它的內能U與原來在大氣中的內能U0之差為U?U0?p0V0，其中V0是它原來在大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。

解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內能U與其原來在大氣中的內能U0由式（1.5.3）

U?U0?W?Q（1）

確定。由于過程進行得很迅速，過程中系統(tǒng)與外界沒有熱量交換，一Q?0.過程中外界對系統(tǒng)所做的功可以分為W1和W2兩部分來考慮。方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由V0變?yōu)榱?。由于小匣很小，在將氣體壓入小匣的過程中大氣壓強p0可以認為沒有變化，即過程是等壓的（但不是準靜態(tài)的）。過程中大氣對系統(tǒng)所做的功為

W1??p0?V?p0V0.

另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過程中不受外界阻力，與外界也就沒有功交換，則

W2?0.

因此式（1）可表為

U?U0?p0V0.（2）

假使氣體是理想氣體，根據式（1.3.11）和（1.7.10），有

p0V0?nRT,（3）

U0?U?CV(T?T0)?nR(T?T0)（4）??1式中n是系統(tǒng)所含物質的量。代入式（2）即有

T??T0.（5）

活門是在系統(tǒng)的壓強達到p0時關上的，所以氣體在小匣內的壓強也可看作p0，其物態(tài)方程為

p0V?nR?T0.（6）

與式（3）比較，知

V??V0.（7）

1.8滿足pVn?C的過程稱為多方過程，其中常數n名為多方指數。試證明：理想氣體在多方過程中的熱容量Cn為

Cn?n??CVn?1解：根據式（1.6.1），多方過程中的熱容量

??Q???U???V?Cn?lim???p?????.（1）?T?0?T?T?T??n??n??n對于理想氣體，內能U只是溫度T的函數，

??U????CV,?T??n所以

??V?Cn?CV?p??.（2）

??T?n將多方過程的過程方程式pVn?C與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強p可得

。（3）TVn?1?C1（常量）

將上式微分，有

Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0,

所以

V??V???.（4）??(n?1)T??T?n代入式（2），即得

Cn?CV?pVn???CV,（5）T(n?1)n?1其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對流層中的低處與高處之間空氣不斷發(fā)生對流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時膨脹，下降時收縮，空氣的導熱率很小，膨脹和收縮的過程可以認為是絕熱過程，試計算大氣溫度隨高度的變化率

dT，并給出數值結果。dz解：取z軸沿豎直方向（向上）。以p(z)和p(z?dz)分別表示在豎

直高度為z和z?dz處的大氣壓強。二者之關等于兩個高度之間由大氣重量產生的壓強，即

p(z)?p(z?dz)??(z)gdz,

（1）

開，有

式中?(z)是高度為z處的大氣密度，g是重力加速度。將p(z?dz)展

p(z?dz)?p(z)?dp(z)dz,dz代入式（1），得

dp(z)???(z)g.（2）dz式（2）給出由于重力的存在導致的大氣壓強隨高度的變化率。

以m?表大氣的平均摩爾質量。在高度為z處，大氣的摩爾體積為

m?，則物態(tài)方程為?(z)m?p(z)?RT(z),（3）

?(z)，消去?(z)得T(z)是豎直高度為z處的溫度。代入式（2）

dm?gp(z)??p(z).（4）dzRT(z)由式（1.8.6）易得氣體在絕熱過程中溫度隨壓強的變化率為

??T???1T?.（5）???p?p??S綜合式（4）和式（5），有

??T?dd??1m?gT(z)??p?z???.（6）?dz?R??p?Sdz大氣的??1.41（大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均摩爾質量為m??29?10?3kg?mol?1,g?9.8m?s?2，代入式（6）得

dT?z???10K?km?1.（7）dz式（7）說明，每升高1km，溫度降低10K。這結果是粗略的。由于各種沒有考慮的因素，實際每升高1km，大氣溫度降低6K左右。

1.14試根據熱力學其次定律證明兩條絕熱線不能相交。解：假設在p?V圖中兩條絕熱線交于C點，如下圖。設想一等溫線與

兩條絕熱線分別交于A點和B點（由于等溫線的斜率小于絕熱線的斜率，這樣的等溫線總是存在的），則在循環(huán)過程ABCA中，系統(tǒng)在等溫過程AB中從外界吸取熱量Q，而在循環(huán)過程中對外做功W，其數值等于三條線所圍面積（正值）。循環(huán)過程完成后，系統(tǒng)回到原來的狀態(tài)。根據熱力學第一定律，有

W?Q。

這樣一來，系統(tǒng)在上述循環(huán)過程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉變?yōu)楣α耍?/p>

這違背了熱力學其次定律的開爾文說法，是不可能的。因此兩條絕熱線不可能相交。度?T1?T2?后的熵增。

l?L端解：以L表示桿的長度。桿的初始狀態(tài)是l?0端溫度為T2，T1?T2（設T1?T2）。這是一個非平衡狀態(tài)。通L1過均勻桿中的熱傳導過程，最終達到具有均勻溫度?T1?T2?的平衡狀

2121.19均勻桿的溫度一端為T1，另一端為T2，試計算達到均勻溫

溫度為T1，溫度梯度為

態(tài)。為求這一過程的熵變，我們將桿分為長度為dl的大量小段，如下圖。位于l到l?dl的小段，初溫為

T?T2?T1?T2l.（1）L

這小段由初溫T變到終溫?T1?T2?后的熵增加值為

dSl?cpdl?T1?T22T12T1?T2dT2?cpdlln,（2）

T?TTT2?12lL其中cp是均勻桿單位長度的定壓熱容量。

根據熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為

?S??dSlL?T?TT?T????cp??ln12?ln?T2?12l??dl02L????cp??T?TT1?T2??T1?T2??T1?T2???cpLln12?T?llnT?l?T?l???2??2??2?T?T2LLL12????????0LcpLT1?T2?cpLln??T1lnT1?T2lnT2?T1?T2?2T1?T2?T?TTlnT?TlnT2??Cp?ln12?112?1?.2T?T?12?L（3）

式中Cp?cpL是桿的定壓熱容量。

試證明在一致的壓強下降下，氣體在準靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度下降大于在節(jié)流過程中的溫度下降.

解：氣體在準靜態(tài)絕熱膨脹過程和節(jié)流過程中的溫度下降分別由偏導數???T???T?和???描述.熵函數S(T,p)的全微分為??p?S??p?H??S???S?dS??dT???dp.???T?P??p?T在可逆絕熱過程中dS?0，故有

式（5）簡化為

dpLp?.（6）dTRT2?RT??Um?L?1??.（7）L??3.8在三相點附近，固態(tài)氨的蒸氣壓（單位為Pa）方程為

lnp?27.92?3754.T3063.T液態(tài)氨的蒸氣壓力方程為

lnp?24.38?試求氨三相點的溫度和壓強，氨的汽化熱、升華熱及在三相點的熔解熱.

解：固態(tài)氨的蒸氣壓方程是固相與氣相的兩相平衡曲線，液態(tài)氨的蒸氣壓方程是液相與氣想的兩相平衡曲線.三相點的溫度Tt可由兩條相平衡曲線的交點確定：

由此解出

Tt?195.2K.

27.92?37543063?24.38?,（1）TtTt將Tt代入所給蒸氣壓方程，可得

pt?5934Pa.

將所給蒸氣壓方程與式（3.4.8）

比較，可以求得

L升?3.120?104J,L汽?2.547?10J.4Inp??L?A（2）RT

氨在三相點的熔解熱L溶等于

L溶?L升?L汽?0.573?104J.

3.12蒸氣與液相達到平衡.以

dVm表示在維持兩相平衡的條dT件下，蒸氣體積隨溫度的變化率.試證明蒸氣的兩相平衡膨脹系數為

1dVm1?L???1??.VmdTT?RT?解：蒸氣的兩相平衡膨脹系數為

1dVm1???Vm???Vm?dp?????.（1）????VmdTVm????T?p??p?TdT??將蒸氣看作理想氣體，pVm?RT，則有

1??Vm?1?,??Vm??T?pT1??Vm?1??.??Vm??p?Tp（2）

在克拉珀龍方程中略去液相的摩爾體積，因而有

dpLLp??.（3）2dTTVmRT將式（2）和式（3）代入式（1），即有

1dVm1?L???1??.（4）VmdTT?RT?6.1試根據式（6.2.13）證明：在體積V內，在?到ε+dε的能量范圍內，三維自由粒子的量子態(tài)數為

132?VD???d??3?2m?2?2d?.

h解:式（6.2.13）給出，在體積V?L3內，在px到px?dpx,py到

py?dpy,px到px?dpx的動量范圍內，自由粒子可能的量子態(tài)數為

Vdpxdpydpz.（1）

h3用動量空間的球坐標描述自由粒子的動量，并對動量方向積分，可得在體積V內，動量大小在p到p?dp范圍內三維自由粒子可能的量子態(tài)數為

4πV2pdp.（2）h3上式可以理解為將?空間體積元4?Vp2dp（體積V，動量球殼4πp2dp）除以相格大小h3而得到的狀態(tài)數.自由粒子的能量動量關系為

p2??.2m因此

p?2m?,pdp?md?.

將上式代入式（2），即得在體積V內，在?到??d?的能量范圍內，三維自由粒子的量子態(tài)數為

6.2試證明，對于一維自由粒子，在長度L內，在?到??d?的能量范圍內，量子態(tài)數為

D???d??2L?m???d?.h?2??12132πVD(?)d??3?2m?2?2d?.（3）

h解:根據式（6.2.14），一維自由粒子在?空間體積元dxdpx內可能的量子態(tài)數為

dxdpx.h在長度L內，動量大小在p到p?dp范圍內（注意動量可以有正負兩個可能的方向）的量子態(tài)數為

將能量動量關系

p2??2m2Ldp.（1）h代入，即得

6.3試證明，對于二維的自由粒子，在面積L2內，在?到??d?的能量范圍內，量子態(tài)數為

D???d??2L?m???d?.（2）h?2??122πL2D???d??2md?.

h解:根據式（6.2.14），二維自由粒子在?空間體積元dxdydpxdpy內的量子態(tài)數為

1dxdydpxdpy.（1）h2用二維動量空間的極坐標p,?描述粒子的動量，p,?與px,py的關系為

px?pcos?,py?psin?.

用極坐標描述時，二維動量空間的體積元為

pdpd?.

在面積L2內，動量大小在p到p?dp范圍內，動量方向在?到??d?范圍內，二維自由粒子可能的狀態(tài)數為

L2pdpd?.（2）h2對d?積分，從0積分到2π，有

?維自由粒子可能的狀態(tài)數為

將能量動量關系

2?0d??2π.

可得在面積L2內，動量大小在p到p?dp范圍內（動量方向任意），二

2πL2pdp.（3）h2p2??2m代入，即有

2πL2D???d??2md?.（4）

h

6.4在極端相對論情形下，粒子的能量動量關系為

??cp.

試求在體積V內，在?到的能量范圍內三維粒子的量子態(tài)數.解:式（6.2.16）已給出在體積V內，動量大小在p到p?dp范圍內三維自由粒子可能的狀態(tài)數為

4?V2pdp.（1）h3將極端相對論粒子的能量動量關系

??cp

代入，可得在體積V內，在?到??d?的能量范圍內，極端相對論粒子的量子態(tài)數為

D???d??4πV?ch?2?d?.（2）37.1試根據公式p???all??l證明，對于非相對論粒子?Vp21?2??222??????nx?ny?nz?,?nx,ny,nz?0,?1,?2,2m2m?L?2?,

有

p?2U.3V上述結論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立.解:處在邊長為L的立方體中，非相對論粒子的能量本征值為

?nxnynz1?2??222????nx?ny?nz?,?nx,ny,nz?0,?1,?2,2m?L?2?,（1）

為書寫簡便起見，我們將上式簡記為

?l?aV,（2）

2?23?2??其中V?L3是系統(tǒng)的體積，常量a?2m?n2x2?ny?nz2?，并以單一指標l代表nx,ny,nz三個量子數.由式（2）可得

代入壓強公式，有

??12?52???aV3??1.（3）?V33Vp???all??l2??V3V?al?l?l2U,（4）3V式中U??al?l是系統(tǒng)的內能.

l上述證明示涉及分布?al?的具體表達式，因此式（4）對玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立.

前面我們利用粒子能量本征值對體積V的依靠關系直接求得了系統(tǒng)的壓強與內能的關系.式（4）也可以用其他方法證明.例如，依照統(tǒng)計物理的一般程序，在求得玻耳茲曼系統(tǒng)的配分函數或玻色（費米）系統(tǒng)的巨配分函數后，根據熱力學量的統(tǒng)計表達式可以求得系統(tǒng)的壓強和內能，比較二者也可證明式（4）.見式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《統(tǒng)計物理學導論》§6.2式（8）和§6.5式（8）.將位力定理用于理想氣體也可直接證明式（4），見第九章補充題2式（6）.需要強調，式（4）只適用于粒子僅有平衡運動的情形.假使粒子還有其他的自由度，式（4）中的U僅指平動內能.

7.2試根據公式p???all??l證明，對于相對論粒子?V122z2???cp?cL?n2x?n?n2y?,?nx,ny,nz?0,?1,?2,?,

有

p?1U.3V上述結論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立.

解:處在邊長為L的立方體中，極端相對論粒子的能量本征值為

?nnnxyz2??cL?n2x?n?n2y122z??nx,ny,nz?0,?1,?2,?,（1）

用指標l表示量子數nx,ny,nz,V表示系統(tǒng)的體積，V?L3，可將上式簡記為

其中

?l?aV,（2）

a?2?c?n?n?n2x2y122z?13?.

由此可得

代入壓強公式，得

p???all??l1?41???aV3??l.（3）?V33V??l1U?a??.（4）?ll?V3Vl3V此題與7.1題結果的差異來自能量本征值與體積V函數關系的不同.式（4）對玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都適用.7.6晶體含有N個原子.原子在晶體中的正常位置如圖中的“O〞所示.當原子離開正常位置而占據圖中的“?〞位置時，晶體中就出現(xiàn)缺位和填隙原子.晶體的這種缺陷稱為弗倫克爾（Frenkel）缺陷.

（a）假設正常位置和填隙位置都是N，試證明，由于在晶體中形成n個缺位和填隙原子而具有的熵等于

S?2kInN!.

n!?N?n?!（b）設原子在填隙位置和正常位置的能量差為u.試由自由能

F?nu?TS為微小證明，溫度為T時，缺位和填隙原子數為

n?Ne?u2kT（設n??N）.

解:固體中原子的相互作用使固體形成規(guī)則的晶格結構.晶格的格點是原子的平衡位置.當所有原子都處在其平衡位置時，固體的能量最低.絕對零度下物質將盡可能處在其能量最低的狀態(tài).由于

量子效應，絕對零度下原子并非靜止在格點上而是圍繞格點作零點振動.溫度升高時，一方面晶格振動會隨溫度升高而變得猛烈；另一方面有的原子會離開其正常的格點位置占據填隙位置，有的原子離開正常的格點位置占據晶體表面的格點位置而形成新的一層，使固體出現(xiàn)缺陷，前者稱為弗倫克爾缺陷，后者稱為肖脫基（Shottky）缺陷.此題探討弗倫克爾缺陷，肖脫基缺陷將在7.7題探討.

（a）設晶體含有N個原子，晶格中正常的格點位置亦為N.當

N??1時可以認為填隙位置與正常位置數目一致.當固體的N個正常

位置出現(xiàn)n個缺位

時，由于缺位位置的不同，可以有填隙位置的不同，也可以有

N!個微觀狀態(tài).同樣，由于

n!?N?n?!N!個微觀狀態(tài).因此當固體中出現(xiàn)

n!?N?n?!n個缺位和n個填隙原子時，可能的微觀狀態(tài)數為

Ω?N!N!?,（1）

n!?N?n?!n!?N?n?!形成弗倫克爾缺陷導致的熵為

S?klnΩ

?2klnN!（2）

.n!?N?n?!（b）以u表示原子處在填隙位置與正常位置的能量差.形成n個缺位和填隙原子后，固體內能的增加為

自由能的改變?yōu)?/p>

F?nu?TSU?nu.（3）

?nu?2kTlnN!n!?N?n?!（4）

?nu?2kT??NlnN?nlnn??N?n?ln?N?n???.假設形成缺陷后固體的體積不變，溫度為T時平衡態(tài)的自由能為微小要求

?F?0.?n由式（4）得

?FN?n?u?2kTln?0,?nn即

lnN?nu?,n2kT?u2kT由于n??N，上式可以近似為

n?Ne.（5）

實際固體中u的典型值約為1eV，在300K時，有

n?e?20?10?8.7.N高溫下比值會增大.

上述探討中假設形成缺隱時固體的體積不變.在這假設下應用了自由能判據，u也成為與溫度無關的常量.探討中也忽略了形成缺陷與晶格振動的相互影響.這些假設都是近似成立的.7.16已知粒子遵從經典玻耳茲曼分布，其能量表達式為

??122px?py?pz2??ax2?bx,?2m其中a,b是常量，求粒子的平均能量.

解:應用能量均分定理求粒子的平均能量時，需要注意所難能量表達式?中ax2和bx兩面三刀項都是x的函數，不能直接將能量均分定理用于ax2項而得

出ax2?kT的結論.要通過配方將?表達為

1b?b2?222??px?py?pz??a?x???.（1）?2m2a?4a?212在式（1）中，僅第四項是x的函數，又是平方項.由能量均分定理知

1b?b2?222??px?py?pz??a?x????2ma?4a?2

b2?2kT?.（2）

4a7.17氣柱的高度為H，處在重力場中.試證明此氣柱的內能和

熱容量為

U?U0?NkT?NmgHe0VmgHkT,

?1mgHkT2CV?C?Nk?N?mgh?e2?mgH?kTe?1????1.kT2解:為明確起見，假設氣體是單原子分子理想氣體.在重力場中分子的能量為

??122px?py?pz2??mgz.（1）?2m粒子的配分函數為

1Z1?3h???e??p2m32?222x?py?pz???mgzdxdydzdpxdpydpz

??mgzdxdyedz??0H1?2πm???h3???32

?1?2πm?1??mgHA1?e,（2）???3?h????mg其中A??dxdy是氣柱的截面積.氣柱的內能為

U??N??lnZ1??3NmgHNkT?NkT??mgH2e?1

式中U0?NkT.

32?U0?NkT?NmgH,（3）

e?mgH?1氣體的熱容量為

CV??U?T2?mgHNmgHe??10?CV?Nk?2.（4）2?mgHkT?e?1?

量為

8πV3hp?8πVh3??pF0pF014pF3?4?pF.（2）134p2dppF3p3dp因此電子的平均速率為

υ?p3pF3??υF.（3）m4m48.18試求在極端相對論條件下自由電子氣體在0K時的費米能量、內能和簡并壓.

解:極端相對論條件下，粒子的能量動量關系為

??cp.

根據習題6.4式（2），在體積V內，在?到??d?的能量范圍內，極端相對論粒子的量子態(tài)數為

D???d??8πV?ch?3?2d?.（1）

式中已考慮到電子自旋在動量方向的兩個可能投影而將習題6.4式（2）的結果乘以因子2.

0K下自由電子氣體的分布為

??1,????0?;f?????（2）

??0,????0?.費米能量??0?由下式確定：

N?8πV?ch?3???0?0?2d??8πV13???0?,3?ch?3故

??0????3n??ch.（3）?8??130K下電子氣體的內能為

U??????0?0?D???d???0?3?ch??08πV?3d?

8πV14???0?3?ch?4?3N??0?.（4）4根據習題7.2式（4），電子氣體的壓強為

p?1U1?n??0?.（5）3V4

8.19假設自由電子在二維平面上運動，面密度為n.試求0K時二維電子氣體的費米能量、內能和簡并壓.

解:根據6.3題式（4），在面積A內，在?到??d?的能量范圍內，二維自由電子的量子態(tài)數為

D???d??4?Amd?.（1）h2式中已考慮到電子自旋在動量方向的兩個可能投影而將6.3題式（4）的結果乘以2.

0K下自由電子的分布為

??1,????0?;f?????（2）

??0,????0?.費米能量??0?由下式確定：

N???0?4πA4πAmd??m??0?,h2?0h2即

h2Nh2??0???.（3）

4πmA4πm0K下二維自由電子氣體的內能為

4πA??0?4πAm2NU?2m??d??2??0????0?.（4）0hh22仿照習題7.1可以證明，對于二維的非相對論粒子，氣體壓強與內能的關系為

p?U.（5）A因此0K下二維自由電子氣體的壓強為

p?1n??0?.（6）2

上述結果顯然也適用于雙（多）原子分子氣體，只要將U0和UV0理解為無外場時氣體的內能和熱容量.當

mgH??1時，式（4）右方后兩項相互消去而有kT

0CV?CV.（5）

這意味著，當氣柱不高，分子在氣柱頂部（z=H）與底部（z=0）的重力勢能差遠小于熱運動能量的情形下，氣柱的熱容量與無外場時的熱容量是一致的.

當

mgH??1時，式（4）右方第三項趨于零，因此kT

0CV?CV?nk.（6）

這意味著，當氣柱很高，分子在氣柱頂部與底部的重力勢能差遠大于熱運動能量的情形下，氣柱在重力場中具有附加的熱容量Nk.

對于300K的空氣，相應于情形下，

式（5）是適用的.實際上大氣溫度隨高度而降低，當氣柱很高時，應用玻耳茲曼分布時所作的恒溫假設并不成立.

7.21定域系統(tǒng)含有N個近獨立粒子，每個粒子有兩個非簡并能級?0和?1??1??0?.求在溫度為T的熱平衡狀態(tài)下粒子在兩能級的分布，以及系統(tǒng)的內能和熵.探討在低溫柔高溫極限下的結果.解:首先分析粒子在兩能級的分布.配分函數為

Z1?e???0?e???1?e???0mgH?1的H約為104m.因此在尋常kT?1?e????1??0??.??

處在兩能級的最概然粒子數分別為

n0?e?????0?N???0Ne?????1??0?Z11?e

?N1?e??T,（1）

n1?e?????1N???1Ne?10??e?????1??0?Z11?e??????Ne??T1?e??T,（2）

其中???1??0k是系統(tǒng)的特征溫度.式（1）和（2）說明，n0,n1隨溫度

的變化取決于特征溫度與溫度的比值，如下圖.在低溫極限T???下，n0?N,n1?0.粒子凍結在低能級.在高溫極限T???下，n0?n1?N，2意味著在高溫極限下兩能級級能量的差異對粒子數分布已沒有可能覺察的影響，粒子以相等的概率處在兩個能級.

系統(tǒng)的內能為

U??NN??1??0??lnZ1?N?0????1??0???1?e?

?N?0?N??1??0?1?eT.（3）

在低溫極限T???下，有

U?N?0.

在高溫極限T???下，有

U?N??0??1?.2這是簡單理解的.

系統(tǒng)的熱容量為

????T??eTC?Nk??.（4）

?2???T1?e????2?熱容量隨溫度的變化如下圖.在低溫極限T???下，有

????TC?Nk??e,

?T?2?它趨于零.在高溫極限T???下，有

1???C?Nk??,

4?T?2也趨于零.這結果也是易于理解的.值得注意，C隨溫度的變化有一個尖峰，

其位置由

?C?0?T確定（大致在T~?附近）.熱容量這一尖峰稱為熱容量的肖脫基（Shottky）反常（解釋見后）.

系統(tǒng)的熵為

???S?Nk?lnZ1??lnZ1?

????

???1??0?????????Nk?ln?1?e?10???.（5）??1?e???1??0????S?