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本文格式為Word版,下載可任意編輯——《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》第三章子空間(有限),積空間,商空間學(xué)習(xí)筆第3章子空間(有限),積空間,商空間
在這一章中我們介紹通過已知的拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的三種慣用的方法.為了避免過早涉及某些規(guī)律上的難點(diǎn),在§3.2中我們只探討有限個(gè)拓?fù)淇臻g的積空間,而將一般情形的研究留待以后去作.
§3.1子空間
本節(jié)重點(diǎn):把握度量子空間、拓?fù)淇臻g子空間的概念,子空間的拓?fù)渑c大空間拓?fù)渲g的關(guān)系以及子空間的閉集、鄰域、基、導(dǎo)集、閉包與大空間相應(yīng)子集之間的關(guān)系及表示法.
探討拓?fù)淇臻g的子空間目的在于對(duì)于拓?fù)淇臻g中的一個(gè)給定的子集,按某種“自然的方式〞賦予它一個(gè)拓?fù)涫怪蔀橐粋€(gè)拓?fù)淇臻g,以便將它作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象進(jìn)行考察.所謂“自然的方式〞應(yīng)當(dāng)是什么樣的方式?為回復(fù)這個(gè)問題,我們還是先從度量空間做起,以便得到必要的啟發(fā).
考慮一個(gè)度量空間和它的一個(gè)子集.欲將這個(gè)子集看作一個(gè)度量空間,必需要為它的每一對(duì)點(diǎn)規(guī)定距離.由于這個(gè)子集中的每一對(duì)點(diǎn)也是度量空間中的一對(duì)點(diǎn),因而把它們作為子集中的點(diǎn)的距離就規(guī)定為它們作為度量空間中的點(diǎn)的距離當(dāng)然是十分自然的.我們把上述想法歸納成定義:
定義3.1.1設(shè)(X,ρ)是一個(gè)度量空間,Y是X的一個(gè)子集.因此,Y×YX×X.顯然
:Y×Y→R是Y的一個(gè)度量(請(qǐng)自行驗(yàn)證).我們稱Y的度量
,
是由X的度量ρ誘導(dǎo)出來的度量.度量空間(Y,ρ)稱為度量空間(X,ρ)的一個(gè)度量子空間.
第1頁(yè)*共21頁(yè)
我們常說度量空間Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間,意思就是指Y是X的一個(gè)子集,并且Y的度量是由X的度量誘導(dǎo)出來的.我們還常將一個(gè)度量空間的任何一個(gè)子集自動(dòng)地認(rèn)作一個(gè)度量子空間而不另行說明.例如我們經(jīng)常探討的:實(shí)數(shù)空間R中的各種區(qū)間(a,b),[a,b],(a,b]等;n+1維歐氏空間中的
n維單位球面:
n維單位開、閉球體:
以及n維單位開、閉方體和等等,并且它們也自然被認(rèn)作是拓?fù)淇?/p>
間(考慮相應(yīng)的度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)洌?/p>
定理3.1.1設(shè)Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間.則Y的子集U是Y中的一個(gè)開集當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)X中的開集V使得U=V∩Y.
證明由于現(xiàn)在涉及兩個(gè)度量空間,我們時(shí)時(shí)要防備可能產(chǎn)生的概念混淆.對(duì)于x∈X(y∈Y),臨時(shí)記度量空間X(Y)中以x(y)為中心以ε>0為半徑的球形鄰域?yàn)?/p>
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