高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高中數(shù)學(xué)第三章概率32．1古典概型的特征和概率計(jì)算公式

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)(必修3)第三章“概率〞的其次節(jié)“古典概型〞的第一課時(shí)，是在隨機(jī)事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的狀況下教學(xué)的．古典概型是一種特別的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位．

學(xué)好古典概型可以為其他概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問(wèn)題．根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，通過(guò)模擬試驗(yàn)讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，觀測(cè)類(lèi)比各個(gè)試驗(yàn)，歸納總結(jié)出古典概型的概率計(jì)算公式，表達(dá)了化歸的重要思想，把握列舉法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)探討的思想解決概率的計(jì)算問(wèn)題．

概率教學(xué)的核心問(wèn)題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象．適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機(jī)遇，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實(shí)例．使得學(xué)生在體會(huì)概率意義的同時(shí)，感受與他人合作的重要性以及初步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神．

三維目標(biāo)

1．根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，通過(guò)模擬試驗(yàn)讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，觀測(cè)類(lèi)比各個(gè)試驗(yàn)，正確理解古典概型的兩大特點(diǎn)；樹(shù)立從具體到抽象、從特別到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用隨機(jī)的觀點(diǎn)來(lái)理性地理解世界，使得學(xué)生在體會(huì)概率意義的同時(shí)，感受與他人合作的重要性以及初步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神．

2．勉勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀測(cè)、類(lèi)比，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，歸納總結(jié)出古典概型的概率計(jì)算公式，把握古典概型的概率計(jì)算公式；注意公式：P(A)＝事件A包含的可能結(jié)果數(shù)

的使用條件——古典概型，表達(dá)了化歸的重要思想．把握列舉法，

試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)

學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)探討的思想解決概率的計(jì)算問(wèn)題，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度．

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率．教學(xué)難點(diǎn)：如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型，分清在一個(gè)古典概型中某隨機(jī)事件包含的基才能件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基才能件的總數(shù)．

課時(shí)安排1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.(1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果只有2個(gè)，即“正面朝上〞或“反面朝上〞，它們都是隨機(jī)事件．

(2)一個(gè)盒子中有10個(gè)完全一致的球，分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3，…，10，從中任取一球，只有10種不同的結(jié)果，即標(biāo)號(hào)為1,2,3，…，10.

思考探討根據(jù)上述狀況，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點(diǎn)？為此我們學(xué)習(xí)古典概型，教師板書(shū)課題．

思路2.將撲克牌(52張)反扣在桌上，先從中任意抽取一張，那么抽到的牌為紅心的概率有多大？是否一定要進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，用“出現(xiàn)紅心〞這一事件的頻率估計(jì)概率？這樣工作量較大且不夠確鑿．有更好地解決方法嗎？把“抽到紅心〞記為事件B，那么事件B相當(dāng)于“抽到紅心1〞“抽到紅心2〞……“抽到紅心K〞這13種狀況，而同樣抽到其他牌的共有39種狀況；由于是任意抽取的，可以認(rèn)為這52種狀況的可能性是相等的．所以，當(dāng)出現(xiàn)紅心是“抽到紅心1〞“抽到紅心2〞……“抽到紅心K〞這13種情形之一時(shí)，事件B131

就發(fā)生，于是P(B)＝＝.為此我們學(xué)習(xí)古典概型．

524

1

推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題

試驗(yàn)一：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，分別記錄“正面朝上〞和“反面朝上〞的次數(shù)，要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成20次(最好是整十?dāng)?shù))，最終由課代表匯總；

試驗(yàn)二：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，分別記錄出現(xiàn)“1點(diǎn)〞“2點(diǎn)〞“3點(diǎn)〞“4點(diǎn)〞“5點(diǎn)〞和“6點(diǎn)〞的次數(shù)，要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成60次(最好是整十?dāng)?shù))，最終由課代表匯總．

1．用模擬試驗(yàn)的方法來(lái)求某一隨機(jī)事件的概率好不好？為什么？

2．根據(jù)以前的學(xué)習(xí)，上述兩個(gè)模擬試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果之間都有什么特點(diǎn)？3．什么是基才能件？基才能件具有什么特點(diǎn)？4．什么是古典概型？它具有什么特點(diǎn)？5．對(duì)于古典概型，應(yīng)怎樣計(jì)算事件的概率？

活動(dòng)：學(xué)生展示模擬試驗(yàn)的操作方法和試驗(yàn)結(jié)果，并與同學(xué)交流活動(dòng)感受，探討可能出現(xiàn)的狀況，最終師生共同匯總方法、結(jié)果和感受．

探討結(jié)果：1.用模擬試驗(yàn)的方法來(lái)求某一隨機(jī)事件的概率不好，由于需要進(jìn)行大量的試驗(yàn)，同時(shí)我們只是把隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率近似地認(rèn)為隨機(jī)事件的概率，存在一定的誤差．

2．上述試驗(yàn)一的兩個(gè)結(jié)果是“正面朝上〞和“反面朝上〞，它們都是隨機(jī)事件，出現(xiàn)的概率是相等的，都是0.5.上述試驗(yàn)二的6個(gè)結(jié)果是“1點(diǎn)〞“2點(diǎn)〞“3點(diǎn)〞“4點(diǎn)〞“5

1

點(diǎn)〞和“6點(diǎn)〞，它們也都是隨機(jī)事件，出現(xiàn)的概率是相等的，都是.6

3．根據(jù)以前的學(xué)習(xí)，上述試驗(yàn)一的兩個(gè)結(jié)果“正面朝上〞和“反面朝上〞，它們都是隨機(jī)事件；上述試驗(yàn)二的6個(gè)結(jié)果“1點(diǎn)〞“2點(diǎn)〞“3點(diǎn)〞“4點(diǎn)〞“5點(diǎn)〞和“6點(diǎn)〞，它們都是隨機(jī)事件，像這類(lèi)隨機(jī)事件我們稱(chēng)為基才能件(elementaryevent)；它是試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果．

基才能件具有如下的兩個(gè)特點(diǎn)：①任何兩個(gè)基才能件是互斥的；

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基才能件的和．4．在一個(gè)試驗(yàn)中，假使：

(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基才能件只有有限個(gè)；(有限性)(2)每個(gè)基才能件出現(xiàn)的可能性相等．(等可能性)

我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型．

如圖1，向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，假使該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？

圖1

由于試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點(diǎn)，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)是無(wú)限的，雖然每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的“可能性一致〞，但這個(gè)試驗(yàn)不滿足古典概型的第一個(gè)條件．

如圖2，某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)．你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？

2

圖2

不是古典概型，由于試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有7個(gè)，而命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的其次個(gè)條件．

5．古典概型，隨機(jī)事件的概率計(jì)算

對(duì)于試驗(yàn)一，出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上〞)＝P(“反面朝上〞)，

由概率的加法公式，得P(“正面朝上〞)＋P(“反面朝上〞)＝P(必然事件)＝1.

1

因此P(“正面朝上〞)＝P(“反面朝上〞)＝，

2

1“出現(xiàn)正面朝上〞所包含的基才能件的個(gè)數(shù)

即P(“出現(xiàn)正面朝上〞)＝＝.2基才能件的總數(shù)

試驗(yàn)二中，出現(xiàn)各個(gè)點(diǎn)的概率相等，即

P(“1點(diǎn)〞)＝P(“2點(diǎn)〞)＝P(“3點(diǎn)〞)＝P(“4點(diǎn)〞)＝P(“5點(diǎn)〞)＝P(“6點(diǎn)〞)．反復(fù)利用概率的加法公式，我們有

P(“1點(diǎn)〞)＋P(“2點(diǎn)〞)＋P(“3點(diǎn)〞)＋P(“4點(diǎn)〞)＋P(“5點(diǎn)〞)＋P(“6點(diǎn)〞)＝P(必然事件)＝1，

所以P(“1點(diǎn)〞)＝P(“2點(diǎn)〞)＝P(“3點(diǎn)〞)＝P(“4點(diǎn)〞)＝P(“5點(diǎn)〞)＝P(“6點(diǎn)〞)1＝.6

進(jìn)一步，利用加法公式還可以計(jì)算這個(gè)試驗(yàn)中任何一個(gè)事件的概率，例如，

11131

P(“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)〞)＝P(“2點(diǎn)〞)＋P(“4點(diǎn)〞)＋P(“6點(diǎn)〞)＝＋＋＝＝，

66662

3“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)〞所包含的基才能件的個(gè)數(shù)

即P(“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)〞)＝＝.

6基才能件的總數(shù)

因此根據(jù)上述兩則模擬試驗(yàn)，可以概括總結(jié)出，古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式

事件A包含的可能結(jié)果數(shù)

為P(A)＝.

試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)

在使用古典概型的概率公式時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意：①要判斷該概率模型是不是古典概型；

②要找出隨機(jī)事件A包含的基才能件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基才能件的總數(shù)．下面我們看它們的應(yīng)用．應(yīng)用例如

思路1

例1在一個(gè)健身房里，用拉力器進(jìn)行鍛煉時(shí)，需要選取2個(gè)質(zhì)量盤(pán)裝在拉力器上．有2個(gè)裝質(zhì)量盤(pán)的箱子，每個(gè)箱子中都裝有4個(gè)不同的質(zhì)量盤(pán)：2.5kg,5kg,10kg和20kg，每次都隨機(jī)地從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤(pán)裝在拉力器上后，再拉動(dòng)這個(gè)拉力器．

(1)隨機(jī)地從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤(pán)，共有多少種可能的結(jié)果？用表格列出所有可能的結(jié)果．

(2)計(jì)算選取的2個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量分別是以下質(zhì)量的概率：①20kg；②30kg；③不超過(guò)10kg；④超過(guò)10kg.

(3)假使一個(gè)人不能拉動(dòng)超過(guò)22kg的質(zhì)量，那么他不能拉開(kāi)拉力器的概率是多少？解：(1)第一個(gè)箱子的質(zhì)量盤(pán)和其次個(gè)箱子的質(zhì)量盤(pán)都可以從4種不同的質(zhì)量盤(pán)中任意

3

選?。覀兛梢杂靡粋€(gè)“有序?qū)崝?shù)對(duì)〞來(lái)表示隨機(jī)選取的結(jié)果．例如，我們用(10,20)來(lái)表示：在一次隨機(jī)的選取中，從第一個(gè)箱子取的質(zhì)量盤(pán)是10kg，從其次個(gè)箱子取的質(zhì)量盤(pán)是20kg.下表列出了所有可能結(jié)果．

從表中可以看出，隨機(jī)地從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤(pán)的所有可能結(jié)果共有16種．由于選取質(zhì)量盤(pán)是隨機(jī)的，因此這16種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是一致的，這個(gè)試驗(yàn)屬于古典概型．

(2)

①用A表示事件“選取的2個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量是20kg〞，由于總質(zhì)量為20kg的所有可能結(jié)果只有1種，因此，事件A的概率

1

P(A)＝＝0.0625.

16

②用B表示事件“選取的2個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量是30kg〞，從表中可以看出，總質(zhì)量為30kg的所有可能結(jié)果共有2種，因此，事件B的概率

21

P(B)＝＝＝0.125.

168

③用C表示事件“選取的2個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量不超過(guò)10kg〞．總質(zhì)量不超過(guò)10kg，即總質(zhì)量為5kg,7.5kg,10kg之一，從表中簡(jiǎn)單看出，所有可能結(jié)果共有4種，因此，事件C的概率

41

P(C)＝＝＝0.25.

164

④用D表示事件“選取的2個(gè)質(zhì)量盤(pán)的總質(zhì)量超過(guò)10kg〞．總質(zhì)量超過(guò)10kg，即總質(zhì)量為12.5kg,15kg,20kg,22.5kg,25kg,30kg,40kg之一，從表中可以看出，所有可能結(jié)果共有12種，因此，事件D的概率

123

P(D)＝＝＝0.75.

164

(3)用E表示事件“不能拉開(kāi)拉力器〞，即總質(zhì)量超過(guò)了22kg.總質(zhì)量超過(guò)22kg是指總質(zhì)量為22.5kg,25kg,30kg,40kg之一，從表中可以看出，這樣的可能結(jié)果共有7種，因此，不能拉開(kāi)拉力器的概率

7

P(E)＝≈0.44.

16

點(diǎn)評(píng)：在這個(gè)例子中，我們用列表的方法列出了所有可能的結(jié)果．在計(jì)算古典概率時(shí)，只要所有可能結(jié)果的數(shù)量不是好多，列舉法是我們常用的一種方法．

例2單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案．假使考生把握了考察的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案．假設(shè)考生不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，問(wèn)他答對(duì)的概率是多少？

4

活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目，搜集信息，交流探討，教師引導(dǎo)，解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，即探討這個(gè)問(wèn)題什么狀況下可以看成古典概型．假使學(xué)生把握或者把握了部分考察內(nèi)容，這都不滿足古典概型的第2個(gè)條件——等可能性，因此，只有在假定學(xué)生不會(huì)做，隨機(jī)地選擇了一個(gè)答案的狀況下，才可以化為古典概型．

解：這是一個(gè)古典概型，由于試驗(yàn)的可能結(jié)果只有4個(gè)：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基才能件共有4個(gè)，考生隨機(jī)地選擇一個(gè)答案是A，B，C，D的可能性是相等的．從

“答對(duì)〞所包含的基才能件的個(gè)數(shù)1

而由古典概型的概率計(jì)算公式，得P(“答對(duì)〞)＝＝＝

基才能件的總數(shù)4

0.25.

點(diǎn)評(píng)：古典概型解題步驟：(1)閱讀題目，搜集信息；

(2)判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；(3)求出基才能件總數(shù)n和事件A所包含的結(jié)果數(shù)m；

(4)用公式P(A)＝求出概率并下結(jié)論.

變式訓(xùn)練

1．拋擲兩枚均勻硬幣，求出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上的概率．

解：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．這里四個(gè)基才能件是等可能發(fā)生的，故屬古典概型．

1

故出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上的概率為.4

2．一次投擲兩顆骰子，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率．

解法一：設(shè)A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)〞，用(i，j)記“第一顆骰子出現(xiàn)i點(diǎn)，其次顆骰子出現(xiàn)j點(diǎn)〞，i，j＝1,2，…，6.顯然出現(xiàn)的36個(gè)基才能件的概率是相等的，其中A1

包含的基才能件個(gè)數(shù)為k＝3×3＋3×3＝18，故P(A)＝.

2

解法二：若把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，則它們發(fā)生的概率相等．基才能件總數(shù)n＝4，A包含的基才能件個(gè)數(shù)k＝2，故P(A)1＝.2

解法三：若把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為：{點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)}，{點(diǎn)數(shù)和為偶數(shù)}，兩者

1

發(fā)生的概率也相等，基才能件總數(shù)n＝2，A所包含基才能件數(shù)為1，故P(A)＝.2

點(diǎn)評(píng)：找出所有的基才能件，必需是等概率的．解法二中倘若解為：(兩個(gè)奇)，(一奇

1

一偶)，(兩個(gè)偶)當(dāng)作基才能件組成樣本空間，則得出P(A)＝，錯(cuò)的原因就是它不是等概3

11

率的．例如P(兩個(gè)奇)＝，而P(一奇一偶)＝.本例又告訴我們，同一問(wèn)題可取不同的基本

42

事件解答.

例3同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算：(1)一共有多少種不同的結(jié)果？

(2)其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？(3)向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？

解：(1)擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種．我們把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)1,2以便區(qū)分，由于1號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與2號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果，因此同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有36種．

(2)在上面的所有結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，其中第一個(gè)數(shù)表示1號(hào)骰子的結(jié)果，其次個(gè)數(shù)表示2號(hào)骰子的結(jié)果．

(3)由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)有4種，

mn5

41

因此，由古典概型的概率計(jì)算公式可得P(A)＝＝.

369

例4假設(shè)儲(chǔ)蓄卡的密碼由4個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是0,1，2，…，9十個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)．假設(shè)一個(gè)人完全忘掉了自己的儲(chǔ)蓄卡密碼，問(wèn)他到自動(dòng)取款機(jī)上隨機(jī)試一次密碼就能取到錢(qián)的概率是多少？

圖3

解：一個(gè)密碼相當(dāng)于一個(gè)基才能件，總共有10000個(gè)基才能件，它們分別是0000,0001,0002，…，9998,9999.隨機(jī)地試密碼，相當(dāng)于試到任何一個(gè)密碼的可能性都是相等的，所以這是一個(gè)古典概型．事件“試一次密碼就能取到錢(qián)〞由1個(gè)基才能件構(gòu)成，所以

1

P(“試一次密碼就能取到錢(qián)〞)＝.10000

1

發(fā)生概率為的事件是小概率事件，尋常我們認(rèn)為這樣的事件在一次試驗(yàn)中是幾乎

10000

不可能發(fā)生的，也就是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)的方法取到儲(chǔ)蓄卡中的錢(qián)的概率是很小的．但我們知道，假使試驗(yàn)好屢屢，譬如100000次，那么這個(gè)小概率事件是可能發(fā)生的．所以，為了安全，自動(dòng)取款機(jī)一般允許取款人最多試3次密碼，假使第4次輸入的號(hào)碼仍是錯(cuò)誤的，那么取款機(jī)將“沒(méi)收〞儲(chǔ)蓄卡．另外，為了使通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)的方法取到儲(chǔ)蓄卡中的錢(qián)的概率更小，現(xiàn)在儲(chǔ)蓄卡可以使用6位數(shù)字作密碼．

人們?yōu)榱吮憷洃洠瑢こＳ米约旱纳兆鳛閮?chǔ)蓄卡的密碼．當(dāng)錢(qián)包里既有身份證又有儲(chǔ)蓄卡時(shí)，密碼泄密的概率很大．因此用身份證上的號(hào)碼作密碼是擔(dān)憂全的．

思路2

例1一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小一致的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出兩個(gè)球，問(wèn)：

(1)共有多少個(gè)基才能件？

(2)摸出的兩個(gè)都是白球的概率是多少？

活動(dòng)：可用枚舉法找出所有的等可能基才能件．

解：(1)分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球4,5號(hào)，從中摸出2只球，有如下基才能件〔摸到1,2號(hào)球用(1,2)表示〕：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．

因此，共有10個(gè)基才能件．

(2)上述10個(gè)基才能件發(fā)生的可能性是一致的，且只有3個(gè)基才能件是摸到兩個(gè)白球(記

3

為事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝.10

3

即共有10個(gè)基才能件，摸到兩個(gè)白球的概率為.

10

變式訓(xùn)練

將一顆骰子先后拋擲兩次，觀測(cè)向上的點(diǎn)數(shù)，問(wèn)：(1)共有多少種不同的結(jié)果？

(2)兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？(3)兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的概率是多少？

分析：(1)將骰子拋擲1次，它出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6這6種結(jié)果．先后拋擲兩次骰子，第一次骰子向上的點(diǎn)數(shù)有6種結(jié)果，第2次又有6種可能的結(jié)果，于是一共有6×6＝36種不同的結(jié)果．

(2)第1次拋擲，向上的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)中的某一個(gè)，第2次拋擲時(shí)都可

6

以有兩種結(jié)果，使向上的點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)(例如：第一次向上的點(diǎn)數(shù)為4，則當(dāng)?shù)?次向上的點(diǎn)數(shù)為2或5時(shí)，兩次的點(diǎn)數(shù)的和都為3的倍數(shù))，于是共有6×2＝12種不同的結(jié)果．

(3)記“向上點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)〞為事件A，則事件A的結(jié)果有12種，由于拋兩次得到

121

的36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的，所以所求的概率為P(A)＝＝.363

解：(1)先后拋擲2次，共有36種不同的結(jié)果；(2)兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的結(jié)果有12

1

種；(3)兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的概率為.3

點(diǎn)評(píng)：也可以利用圖表來(lái)數(shù)基才能件的個(gè)數(shù)(如圖4)：

圖4

例2從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．

活動(dòng)：學(xué)生思考或交流，教師引導(dǎo)，每次取出一個(gè)，取后不放回，其一切可能的結(jié)果組成的基才能件是等可能發(fā)生的，因此可用古典概型解決．

解：每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基才能件有6個(gè)，即(a1，a2)和(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品，用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品〞這一事件，則A由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)這4個(gè)基才能件組成，

42

因而P(A)＝＝.63

思考

在上例中，把“每次取出后不放回〞這一條件換成“每次取出后放回〞，其余條件不變，求取出的兩件中恰好有一件次品的概率.

有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果有：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，由9個(gè)基才能件組成，由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)遇均等，因此可以認(rèn)為這些基才能件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品〞這一事件，則B包含了(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)這4個(gè)基才能件．

4

因而P(B)＝.

9

點(diǎn)評(píng)：(1)在連續(xù)兩次取出過(guò)程中，(a1，b1)與(b1，a1)不是同一個(gè)基才能件，由于先后順序不同．

(2)無(wú)論是“不放回抽取〞還是“有放回抽取〞，每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)遇都是均等的.變式訓(xùn)練

現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品．

(1)假使從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；(2)假使從中一次取3件，求3件都是正品的概率．分析：(1)為有放回抽樣；(2)為不放回抽樣.

解：(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x，y，z)記錄結(jié)果，則x，y，z都有10種可

3

能，所以試驗(yàn)結(jié)果有10×10×10＝10種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品〞，則包含的基

383

才能件共有8×8×8＝8種，因此，P(A)＝3＝0.512.

10

(2)方法一：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基才能件不同，按抽取順序記錄(x，

7

y，z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為10×9×8＝720種．設(shè)事件B為“3件都是正品〞，則事件B包含的基才能件總數(shù)為8×7×6＝336，

336

所以P(B)＝≈0.467.

720

方法二：可以看作不放回3次無(wú)順序抽樣，先按抽取順序(x，y，z)記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是一致的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10×9×8÷6＝120，按同樣

56

的方法，事件B包含的基才能件個(gè)數(shù)為8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝≈0.467.

120

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算基才能件個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無(wú)順序的，其結(jié)果是一樣的，但不管選擇哪一種方式，觀測(cè)的角度必需一致，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.

知能訓(xùn)練本節(jié)練習(xí)1,2,3.拓展提升

一個(gè)各面都涂有色調(diào)的正方體，被鋸成1000個(gè)同樣大小的小正方體，將這些正方體混合后，從中任取一個(gè)小正方體，求：(1)有一面涂有色調(diào)的概率；(2)有兩面涂有色調(diào)的概率；(3)有三面涂有色調(diào)的概率．

2

解：在1000個(gè)小正方體中，一面涂有色調(diào)的有8×6個(gè)，兩面涂有色調(diào)的有8×12個(gè)，

384

三面涂有色調(diào)的有8個(gè)，故(1)有一面涂有色調(diào)的概率為P1＝＝0.384；(2)有兩面涂有

1000

968

色調(diào)的概率為P2＝＝0.096；(3)有三面涂有色調(diào)的概率為P3＝＝0.008.

10001000

答：(1)一面涂有色調(diào)的概率為0.384；(2)有兩面涂有色調(diào)的概率為0.096；(3)有三面涂有色調(diào)的概率為0.008.

課堂小結(jié)1．古典概型我們將具有

(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基才能件只有有限個(gè)；(有限性)(2)每個(gè)基才能件出現(xiàn)的可能性相等．(等可能性)

這樣兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率概型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型．2．古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式

事件A包含的可能結(jié)果數(shù)P(A)＝.

試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)

3．求某個(gè)隨機(jī)事件A包含的基才能件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基才能件的總數(shù)的常用方法是列舉法(畫(huà)樹(shù)狀圖和列表)，應(yīng)做到不重不漏．

作業(yè)本節(jié)練習(xí)4.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)課的教學(xué)通過(guò)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，經(jīng)歷思考交流概括歸納后得出古典概型的概念，由兩個(gè)問(wèn)題的提出進(jìn)一步加深對(duì)古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)的理解；再通過(guò)學(xué)生觀測(cè)類(lèi)比推導(dǎo)出古典概型的概率計(jì)算公式．這一過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

在解決概率的計(jì)算上，讓學(xué)生感受求基才能件個(gè)數(shù)的一般方法，從而化解由于沒(méi)有學(xué)習(xí)排列組合而學(xué)習(xí)概率這一教學(xué)困惑．由此，整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)可以在教師的期盼中實(shí)施．

備課資料

一、備選習(xí)題

1．在40根纖維中，有12根的長(zhǎng)度超過(guò)30mm，從中任取一根，取到長(zhǎng)度超過(guò)30mm的纖維的概率是()．

8

301212

B.C.D．以上都不對(duì)404030

解析：在40根纖維中，有12根的長(zhǎng)度超過(guò)30mm，即基才能件總數(shù)為40，且它們是等

12

可能發(fā)生的，所求事件包含12個(gè)基才能件，故所求事件的概率為.40

答案：B

2．盒中有10個(gè)鐵釘，其中8個(gè)是合格的，2個(gè)是不合格的，從中任取一個(gè)恰為合格鐵釘?shù)母怕适?)．

1141A.B.C.D.54510

解析：從盒中任取一個(gè)鐵釘包含基才能件總數(shù)為10，其中抽到合格鐵釘(記為事件A)

84

包含8個(gè)基才能件，所以，所求概率為P(A)＝＝.

105

答案：C

3．在大小一致的5個(gè)球中，2個(gè)是紅球，3個(gè)是白球，若從中任取2個(gè)，則所取的2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是________．

解析：記大小一致的5個(gè)球分別為紅1，紅2，白1，白2，白3，則基才能件為：(紅1，紅2)，(紅1，白1)，(紅1，白2)，(紅1，白3)，(紅2，白1)，(紅2，白2)，(紅2，白3)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)共10個(gè)，其中至少有一個(gè)紅球的事件包括7

7

個(gè)基才能件，所以，所求事件的概率為.10

7

答案：

10

4．拋擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，求點(diǎn)數(shù)和為8的概率．

解：在拋擲2顆骰子的試驗(yàn)中，每顆骰子均可出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，…，6點(diǎn)6種不同的結(jié)果，我們把兩顆骰子標(biāo)上記號(hào)1,2以便區(qū)分，由于1,2號(hào)骰子分別有6種不同的結(jié)果，因此同時(shí)擲兩顆骰子的結(jié)果共有6×6＝36種，在所有結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為8的結(jié)果有

5

(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)5種，所以，所求事件的概率為.

36

5．豆的高矮性狀的遺傳由其一對(duì)基因決定，其中決定高的基因記為D，決定矮的基因記為d，則雜交所得第一子代的一對(duì)基由于Dd，若其次子代的D，d基因的遺傳是等可能的，求其次子代為高莖的概率(只要有基因D則其就是高莖，只有兩個(gè)基因全是d時(shí)，才顯現(xiàn)矮莖)．

解：由于其次子代的D，d基因的遺傳是等可能的，可以將各種可能的遺傳情形都枚舉出來(lái)．

Dd與Dd的搭配方式共有4種：DD，Dd，dD，dd，其中只有第四種表現(xiàn)為矮莖，故其次

3

子代為高莖的概率為＝0.75.

4

答：其次子代為高莖的概率為0.75.思考：第三子代高莖的概率呢？二、古典概型經(jīng)典案例分析

假使說(shuō)你們班里有50人，那么我愿意和你打賭，你們班里至少有一對(duì)生日一致的人，你愿意站在我的反面和我打賭嗎？

假使說(shuō)你能夠明白地找到基才能件，分析好繁雜事件包含了多少個(gè)基才能件，就能夠通過(guò)有理數(shù)的除法計(jì)算出概率，當(dāng)然，分析明白基才能件不可缺少的就是一種順序的觀點(diǎn)，可能有時(shí)候，用順序的觀點(diǎn)看問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生一些不必要的麻煩，但是往往在你忽略了順序的時(shí)候，產(chǎn)生了一種錯(cuò)覺(jué)，于是就使你的先進(jìn)的思想在這里由于你的大意退化到了中世紀(jì)以前的水平．

那么充分防備的你，可能也會(huì)犯錯(cuò)誤，甚至?xí)械筋^疼，由于記數(shù)也是一門(mén)技術(shù)，不一定都很簡(jiǎn)單．

A.

9

好了言歸正傳，我們依舊探討這個(gè)關(guān)于生日的賭局．我看起來(lái)是有著十分的把握(或者說(shuō)接近十分的把握，由于十分就成了必然事件，顯然，你看得出這個(gè)不是一個(gè)必然的事件，嚴(yán)格地說(shuō)我有接近十分的把握)，假使你曾經(jīng)了解過(guò)一些關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的結(jié)論，你也可能不會(huì)愿意和我打賭，那么我們是如何來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題呢？

我們想通過(guò)兩個(gè)經(jīng)典的案例來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題．設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分派到N個(gè)房間中的任意一間去住(n≤N)，求以下事件的概率．

指定的n個(gè)房間各有一個(gè)人住；恰好有n個(gè)房間，其中各住一個(gè)人．

(這里必需得有一些排列組合的內(nèi)容，也就要求讀者具有排列組合的知識(shí))先看明白這個(gè)問(wèn)題里面的基才能件是什么呢？

是把n個(gè)人隨機(jī)地安排到N個(gè)房間里的所有的狀況，分別記n個(gè)人為a1，a2，…，an，房間為A1，A2，…，AN，每個(gè)安排的結(jié)果作為一個(gè)基才能件，譬如，可以把所有的人放到房間A1里，也可以在第一個(gè)房間里放一個(gè)人，假定是a1，這個(gè)就是一個(gè)基才能件，也就是每個(gè)安排的結(jié)果都是一個(gè)基才能件．那么有多少個(gè)這樣的基才能件呢？我們就得借助于乘法原理了，可以考慮到整個(gè)的安排是分步進(jìn)行的，先安排a1，再安排a2，依次下去，這個(gè)中間的順序是沒(méi)有問(wèn)題的，由于我們只關(guān)心某人在某個(gè)房間，而不關(guān)心他是先到還是后到．第一個(gè)人可以有N個(gè)房間選住，其次個(gè)人依舊有N個(gè)房間選住，……也就是說(shuō)每個(gè)人都有N種可能

n的狀況，于是，所有人的可能的狀況就是＝N.這就是基才能件的個(gè)數(shù)，這里面也談到了一個(gè)關(guān)于順序的問(wèn)題，我們自行地在這個(gè)事件里面安排進(jìn)了順序，這是一個(gè)重要的思想方法．

接下來(lái)統(tǒng)計(jì)我們需要的有利事件的個(gè)數(shù)，我們要求是指定的n個(gè)房間各有一個(gè)人住，那么，關(guān)于這n個(gè)房間的安排問(wèn)題就不用我們勞神了，我們只是看一下人與房間的搭配問(wèn)題，

n！

于是，就可以得出概率：P(A)＝n.

N我們可以換個(gè)角度來(lái)看一下，假使我們認(rèn)為是把房間安排給人，那么，n個(gè)指定的房間就會(huì)被列成一個(gè)順序，于是，第一個(gè)房間有n種可能性，其次個(gè)房間就會(huì)少了一種，即n－1種，以此類(lèi)推，結(jié)論與我們前面的一樣，那么，我們假使把統(tǒng)計(jì)基才能件的方式也變換一下呢？結(jié)論可能會(huì)有些不妥，由于假使考慮第一個(gè)房間有n種選擇方式，其次個(gè)房間也有nN種選擇方式，以此類(lèi)推，就會(huì)得到基才能件的個(gè)數(shù)是n個(gè)，顯然，結(jié)論是不同的，哪一個(gè)出了什么問(wèn)題呢？

你只要稍加思考可能就會(huì)得出結(jié)論，這個(gè)問(wèn)題的對(duì)應(yīng)是有問(wèn)題的，假設(shè)，我們的第一間房間分派給了a1，那么，其次間房間就不應(yīng)當(dāng)再分派給他了，但在方才的過(guò)程中沒(méi)有表達(dá)出來(lái)，那么就是說(shuō)，我們可能統(tǒng)計(jì)錯(cuò)了一些狀況，同時(shí)，有些人也可能分派不到房間．那么，我們做個(gè)改進(jìn)，認(rèn)為第一間房間有n種選擇方式，其次間房間有n－1種行不行呢？顯然這個(gè)改進(jìn)更不成功，甚至有了荒唐的結(jié)論，由于這里的有些房間可能是可以不分派給任何人的，那么看來(lái)這幾個(gè)只有最初的一個(gè)方案可行．同時(shí)，我們也得到了一個(gè)關(guān)于代數(shù)的結(jié)論：

n！≤Nn.

這個(gè)命題的具體的限制由你自己完成，當(dāng)然你還可以運(yùn)用代數(shù)的方法給出讓人信服的證明．

再對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，假使你再次地面臨這種問(wèn)題的時(shí)候，就要按號(hào)入座地找好誰(shuí)是房子，誰(shuí)是人．或者我們也可以抽象一些，集合A有n個(gè)元素，集合B有N個(gè)元素，n≤N，那么，從集合A到集合B的映射有多少個(gè)，就是相當(dāng)于基才能件的個(gè)數(shù)，那么，我們的有利事件，就是從集合A到集合B的一個(gè)含有n個(gè)元素的確定的子集的一一映射的個(gè)數(shù)，就是n！個(gè)，那么以后用映射的觀點(diǎn)來(lái)處理就可以了，看看哪一個(gè)問(wèn)題是映射．

我們?cè)賮?lái)探討其次個(gè)問(wèn)題，看看兩者之間的微弱的區(qū)別是什么？在其次個(gè)問(wèn)題當(dāng)中提到了一個(gè)“恰好〞，我們?nèi)绾蝸?lái)解釋呢？顯然這個(gè)詞是與“指定〞構(gòu)成對(duì)比的．也就是強(qiáng)調(diào)我們要為這n個(gè)人先選出n個(gè)房間來(lái)，再進(jìn)行處理，用到映射的觀點(diǎn)，就是要從B中確定含有n個(gè)元素的子集，這個(gè)過(guò)程也是有好多的，再把這些子集重復(fù)第一題的過(guò)程，就是全體的有

n利事件的個(gè)數(shù)，于是，問(wèn)題就歸結(jié)為統(tǒng)計(jì)這些子集的個(gè)數(shù)，很簡(jiǎn)單地就可以得出有CN個(gè)，那

10

CNn！

么概率就應(yīng)當(dāng)是P(A)＝n.

nN剩下的就是具體的計(jì)算了，好了，回味一下，你體會(huì)到了什么？

你可能感覺(jué)到一些困難，假使你沒(méi)有感到困難的話就太好了，這個(gè)問(wèn)題在歷史上稱(chēng)為“分房問(wèn)題〞，我們可以進(jìn)一步地拓展這個(gè)問(wèn)題，據(jù)說(shuō)在物理中就有一些十分有用的應(yīng)用．

現(xiàn)在考慮有關(guān)n個(gè)人生日問(wèn)題的事情，這個(gè)里面哪些是基才能件呢？那一定是n個(gè)人的生日狀況的所有可能性，也就是與前面提到的分房問(wèn)題的第一問(wèn)一致，那么生日一致(即同月同日出生)的具體的有利事件的個(gè)數(shù)如何來(lái)統(tǒng)計(jì)呢？

看來(lái)稍微有些麻煩，我們需要了解的是，兩個(gè)人，或者兩個(gè)人以上的生日一致，就得認(rèn)為是對(duì)這個(gè)事情很有幫助的例證，那么，我們把這個(gè)事情分為幾類(lèi)，只有兩個(gè)人生日一致，只有三個(gè)人生日一致，等等，當(dāng)然還有一些幾組兩個(gè)人的生日都一致的狀況，事情就會(huì)變得特別繁雜，而且各類(lèi)之間有交織的地方還要注意避免，問(wèn)題足以煩得你失去信心，我們能否換個(gè)角度來(lái)考慮．

我們完全可以考慮這個(gè)事件的反面