泛函分析知識(shí)總結(jié)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——泛函分析知識(shí)總結(jié)泛函分析知識(shí)總結(jié)與舉例、應(yīng)用

學(xué)習(xí)泛函分析主要學(xué)習(xí)了五大主要內(nèi)容：一、度量空間和賦范線(xiàn)性空間；二、有界限性算子和連續(xù)線(xiàn)性泛函；三、內(nèi)積空間和希爾伯特空間；四、巴拿赫空間中的基本定理；五、線(xiàn)性算子的譜。本文主要對(duì)前面兩大內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)、舉例、應(yīng)用。

一、度量空間和賦范線(xiàn)性空間（一）度量空間

度量空間在泛函分析中是最基本的概念，它是n維歐氏空間Rn（有限維空間）的推

廣，所以學(xué)好它有助于后面知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解。

1．度量定義：設(shè)X是一個(gè)集合，若對(duì)于X中任意兩個(gè)元素x，y,都有唯一確定的實(shí)數(shù)d(x,y)

與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿(mǎn)足以下條件：1°d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y（非負(fù)性）2°d(x,y)=d(y,x)（對(duì)稱(chēng)性）

3°對(duì)?z，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三點(diǎn)不等式）

則稱(chēng)d(x,y)是x、y之間的度量或距離（matric或distance），稱(chēng)為(X,d)度量空間或距離空間(metricspace)。（這個(gè)定義是證明度量空間常用的方法）

注意:⑴定義在X中任意兩個(gè)元素x，y確定的實(shí)數(shù)d(x,y)，只要滿(mǎn)足1°、2°、3°都稱(chēng)

為度量。這里“度量〞這個(gè)名稱(chēng)已由現(xiàn)實(shí)生活中的意義引申到一般狀況，它用來(lái)描述X中兩個(gè)事物接近的程度，而條件1°、2°、3°被認(rèn)為是作為一個(gè)度量所必需滿(mǎn)足的最本質(zhì)的性質(zhì)。

⑵度量空間中由集合X和度量函數(shù)d所組成，在同一個(gè)集合X上若有兩個(gè)不同的度

量函數(shù)d1和d2，則我們認(rèn)為(X,d1)和(X,d2)是兩個(gè)不同的度量空間。⑶集合X不一定是數(shù)集，也不一定是代數(shù)結(jié)構(gòu)。為直觀(guān)起見(jiàn)，今后稱(chēng)度量空間(X,d)

中的元素為“點(diǎn)〞，例如若x?X，則稱(chēng)為“X中的點(diǎn)〞。

⑷在稱(chēng)呼度量空間(X,d)時(shí)可以省略度量函數(shù)d，而稱(chēng)“度量空間X〞。

1.1舉例

1

1.11離散的度量空間：設(shè)X是任意的非空集合，對(duì)X中任意兩點(diǎn)x,y∈X，令

?1，當(dāng)x?y，則稱(chēng)（X，d）為離散度量空間。d?x，y?=??0，當(dāng)x=y?1.12序列空間S：S表示實(shí)數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，d(x,y)＝?i?11i?i??i21??i??i；

1.13有界函數(shù)空間B(A)：A是給定的集合，B(A)表示A上有界實(shí)值（或復(fù)值）函數(shù)全體，

對(duì)B(A)中任意兩點(diǎn)x,y，定義d(x,y)＝supx(t)?y(t)

t?A1.14可測(cè)函數(shù)空間M(X)：M(X)為X上實(shí)值（或復(fù)值）的L可測(cè)函數(shù)全體。

d(f,g)=?1?xf(t)?g(t)f(t)?g(t)dt

1.15C[a,b]空間（重要的度量空間）：C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上實(shí)值（或復(fù)值）連續(xù)函數(shù)

全體，對(duì)C[a,b]中任意兩點(diǎn)x,y，定義d(x,y)＝maxx(t)?y(t)

a?t?b21.16l：無(wú)限維空間（重要的度量空間）★例1.15、1.16是考試中常考的度量空間。

2．度量空間中的極限，稠密集，可分空間

2.1x0的?—領(lǐng)域：設(shè)（X，d）為度量空間，d是距離，定義

U?(x0,?)??x?X∣d(x,x0）＜??為x0的以?為半徑的開(kāi)球，亦稱(chēng)

為x0的?—領(lǐng)域。

注：通過(guò)這個(gè)定義我們可以從點(diǎn)集這一章學(xué)到的知識(shí)來(lái)定義距離空間中一個(gè)點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，外

點(diǎn)，邊界點(diǎn)及聚點(diǎn)，導(dǎo)集，閉包，開(kāi)集等概念。

2.2度量空間的收斂點(diǎn)列：設(shè)(X，d)是一個(gè)度量空間，（X，d）中點(diǎn)列,假使存在x?X，?xn?是

?xn?收斂于x，使limn??)xn?x，即d(xn,x)?0(n??，稱(chēng)點(diǎn)

列?xn?是（X，d）中的收斂點(diǎn)列，x叫做點(diǎn)列?xn?的極限，且收斂點(diǎn)列的極限是唯一的。

注：度量空間中點(diǎn)列收斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有大量共同之處。

2

2.3有界集：設(shè)M是度量空間（X，d）中的點(diǎn)集，定義?(M)?supd(x,y)為點(diǎn)集M的直

x,y?M徑。若?(M)＜?，則稱(chēng)M為（X，d）中的有界集。

（類(lèi)似于Rn，我們可以證明一個(gè)度量空間中收斂點(diǎn)列是有界點(diǎn)集）

2.4閉集：A是閉集?A中任意收斂點(diǎn)列的極限都在A(yíng)中，即若xn?A，n=1,2，xn?x,

則x?A。（要會(huì)證明）

2.5舉例

n2.5.1n維歐氏空間R中，點(diǎn)列依距離收斂d(xk,x)?0?依分量收斂。

2.5.2C[a,b]空間中，點(diǎn)列依距離收斂d(xk,x)?0?依分量一致收斂。2.5.3序列空間S中，點(diǎn)列依坐標(biāo)收斂。

2.5.4可測(cè)函數(shù)空間M(X)：函數(shù)列依測(cè)度收斂于f，即d(fn,f)?0?fn?f。2.6稠密子集和可分度量空間

有理數(shù)集在實(shí)數(shù)集中的稠密性，它屬于實(shí)數(shù)集中，現(xiàn)把稠密性推廣到一般的度量空間中。2.6.1定義：設(shè)X是度量空間，E和M是X的兩個(gè)子集，令M表示M的閉包，假使E?M，

則稱(chēng)集M在集E中稠密，當(dāng)E=X時(shí)，稱(chēng)M為X的一個(gè)稠密子集，假使X有一個(gè)可數(shù)的稠密子集，則稱(chēng)X為可分空間。

注：可分空間與稠密集的關(guān)系：由可分空間定義知，在可分空間X中一定有稠密的可數(shù)集。

這時(shí)必有X中的有限個(gè)或可數(shù)個(gè)點(diǎn)在X中稠密。

2.6.2舉例

①n維歐式空間Rn是可分空間：坐標(biāo)為有理數(shù)的全體是Rn的可數(shù)稠密子集。②離散度量空間X可分?X是可數(shù)集。

（由于X中無(wú)稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身）③l是不可分空間。

數(shù)學(xué)知識(shí)間都有聯(lián)系，現(xiàn)根據(jù)直線(xiàn)上函數(shù)連續(xù)性的定義，引進(jìn)了度量空間中映射連續(xù)性的概念。3.連續(xù)映射