高等數學答案習題13

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習題1.3（A）（P43）提醒（僅供參考）

1．設函數f?x?在點x0附近有定義，且lim?f?x0?h??f?x0?h???0，問f?x?是

h?0否必在x0連續(xù)？

1?cos?答：不一定！f?x???x??0x?0x?0在x0?0處滿足條件而連續(xù)。

2若函數f?x?在?a,b?內的任何一個閉子區(qū)間?a??,b???上連續(xù)，證明f?x?在

?a,b?內連續(xù)。

?x?ab?x0?證明：對?x0??a,b?，記??min?0,?，取???，則

2??2x0??a??,b?????a??,b???

由f?x?在?a,b?內的任何一個閉子區(qū)間?a??,b???上連續(xù)可得f?x?在x0連續(xù)，由x0任意性可得f?x?在?a,b?內連續(xù)。

3證明若f?x?在x0連續(xù)，則f?x?在x0也連續(xù)，問反之是否成立？證明由f?x?在x0連續(xù)有

x?x0limf?x??f?x0?

故

x?x0limf?x??f?x0?

即f?x?在x0也連續(xù)。

?1反之不成立，例y????1x?Q。x?Q4設f?0??g?0?，當x?0時，f?x??g?x?，試證f?x?與g?x?這兩個函數中至多有一個在x?0處連續(xù)。

證明：若f?x?與g?x?這兩個函數在x?0處都連續(xù)，則

lim??f?x??g?x????limf?x??limg?x??f?0??g?0??0

x?0x?0x?0而lim??f?x??g?x????lim0?0

x?0x?0矛盾，故f?x?與g?x?這兩個函數中至多有一個在x?0處連續(xù)。

?05證明f?x????xx?Q僅在x?0處連續(xù)。x?Q證明：當x0?0，存在數列?an?，?bn?滿足

liman?x0，limbn?x0

n??n??其中an?Q,bn?Q，故

limf?an??lim0?0

n??n??limf?bn??limbn?x0

n??n??故由數列極限與函數極限的關系可得f?x?在x0?0不連續(xù)。當x?0時注意到

0?f?x??x

由夾逼法得limf?x??0?f?0?，故f?x?在x?0處連續(xù)。

x?0綜上所述f?x?僅在x?0處連續(xù)。

6指出以下函數的休止點，并說明其類型。（1）f?x??x?1x?2解當x?2時f?x?是初等函數，故f?x?在x?2都連續(xù)；

在x?2無定義而在其去心鄰域有定義，故x?2是f?x?休止點，又

limf?x??limx?2x?2x?1??x?2故x?2是f?x?其次類（無窮）休止點。（2）f?x??11?e1x

解當x?0時f?x?是初等函數，故f?x?在x?0都連續(xù)；

在x?0無定義而在其去心鄰域有定義，故x?0是f?x?休止點，又

limf?x??lim11?e11?e1x1xx?0?x?0??0

x?0?limf?x??limx?0??1

故x?0是f?x?第一類（騰躍）休止點。（3）f?x??1?arctan1x?a解當x?a時f?x?是初等函數，故f?x?在x?a都連續(xù)；

在x?a無定義而在其去心鄰域有定義，故x?a是f?x?休止點，又

1???limf?x??lim?1?arctan?1??x?a?x?a?x?a2??1???limf?x??lim?1?arctan?1??x?a?x?a?x?a?2?故x?a是f?x?第一類（騰躍）休止點。

?sinxx?0?x（4）f?x???

?1x?0?解x?0時，sinx,x均連續(xù)，故x?0時f?x?連續(xù)。又

x?0?limf?x??limsinxsinx?lim?1

x?0?x?0?xxx?0?limf?x??limsinxsinx??lim??1

x?0?x?0?xx故x?0是f?x?第一類（騰躍）休止點。

?x2?4x?2?（5）f?x???x?2

?ax?2?

解當x?2時f?x?是初等函數，故f?x?在x?2都連續(xù)；而

x2?4limf?x??lim?4x?2x?2x?2故當a?4時有l(wèi)imf?x??f?2?，此時f?x?在x?2連續(xù)；

x?2當a?4時有l(wèi)imf?x??f?2?，此時x?2是f?x?的第一類（可去）休止點。

x?2?2sinx?ex?1xx?0????（6）f?x???ax?0?1?1?exsin1x?0?x?

解當x?0時f?x?是初等函數，故f?x?在x?0都連續(xù)；而

x?0?limf?x??lim2sinx2sinx?limlim?1

x?0?ex?1xx?0?ex?1x?0?x????1?1?limf?x??lim?1?exsin??1x?0?x?0?x??111（lime?0，且sin有界，故limexsin?0）x?0?x?0?xx1x故有

limf?x??1

x?0當a?1時有l(wèi)imf?x??f?0?，此時f?x?在x?0連續(xù)；

x?0當a?1時有l(wèi)imf?x??f?0?，此時x?0是f?x?的第一類（可去）休止點。

x?0?17設f?x????0類型。

解由題條件知

x?0?x?1x?1，g?x???，指出f?g?x??的休止點，并說明其x?0?1?xx?1

?1f?g?x?????0x?1x?1類似6題書寫可得x?1是函數第一類（可去）休止點。8試確定a的值，使以下函數四處連續(xù)。

?ex（1）f?x????a?xx?0x?0

解：當x?0時f?x?是初等函數，故f?x?在x?0都連續(xù)，要函數四處連續(xù)只需要f?x?在x?0也連續(xù)。又

f?0???limf(x)?limex?1

x?0?x?0?f?0???limf(x)?lim?a?x??a

x?0?x?0?當f?0???f?0??f?0??即a?1時f?x?在x?0連續(xù)，故當a?1函數四處連續(xù)。

?2x?1?（2）f?x???x

??acos?xx?1解：當x?1時f?x?是初等函數，故f?x?在x?1都連續(xù)，要函數四處連續(xù)只需要f?x?在x?1也連續(xù)。又

f?1?0??limf(x)?limx?1?x?1?x?1?2?2x?1?xf?0???limf(x)?limacos?x??a

當f?1???f?1??f?1??即a??2時f?x?在x?1連續(xù)，故當a??2函數四處連續(xù)。

1?x存在，將極限值記為f?x?，探討f?x?的連續(xù)性。

n??1?x2n1?x1?x?0lim?1?x；解當x?1時，lim；當時，x?1n??1?x2nn??1?x2n1?x1?xx??1?1lim?0。故當x?1時，lim；當時，

n??1?x2nn??1?x2n9證明對每個實數x，lim

i?1??2??1??i?

若F?0?,F??,F??,?,F?1??中有一個為0，例F??，則取??即可。

n?n??n??n??n?

?1??2??1?若F?0?,F??,F??,?,F?1??都不為0，由

?n??n??n??1??2??1?F?0??F???F?????F?1???0

?n??n??n??1??2??1?得F?0?,F??,F??,?,F?1??中至少兩項異號，設為

?n??n??n??k??l?F??F???0?n??n??kl?有一點???,?使得F????0，即

?nn?1??f????f????

n???k?l?

19試證若函數f?x??C?a,b?，x1,x2,?,xn為此區(qū)間上任意n個點，則在上一定存在一點?使得

f????1?f?x1??f?x2????f?xn???n?更一般的，若q1?0,q2?0,?,qn?0，且q1?q2???qn?1，則在在?a,b?上一定存在一點?使得

f????q1f?x1??q2f?x2????qnf?xn?

證明：只需對一般情形證明即可。不妨設x1?x2???xn，顯然f?x??C?x1,x2?，故f?x?在?x1,x2?必有最大最小值分別設為M,m，顯然

m?q1f?x1??q2f?x2????qnf?xn??M

故由介值定理一定存在一點???x1,x2???a,b?使得

f????q1f?x1??q2f?x2????qnf?xn?。

20設函數f?x??C??a,???有界，且在?a,???，且limf?x?存在，證明f?x?在?x?????a,???上或有最大值或有最小值。

證明：設limf?x??l，故對??1，存在b?b?a?，當x?b時

x???f?x??l?1

亦即當x?b時有

f?x??1?l

顯然f?x??C?a,b?，故f?x?在?a,b?必有最大最小值分別設為K,k，即當

a?x?b時

k?f?x??K

令

M?max?K,k,1?l?

則對?x???a,???都

f?x??M

即f?x?在??a,???有界。注意到x?b時

l?1?f?x??l?1

當K?l?1時f?x?在??a,???有最小值k；

當l?1?K?l?1時，f?x?在??a,???有最小值min?k,l?1?；當l?1?K時，f?x?在??a,???最大值K.

1?x221證明函數f?x??在???,???有界。

1?x2?x4注：事實上若

il引理若f?x??C???,???，且mx???f?x?milx???f?x?均存在，則f?x?在???,???有界。

證明：設，limf?x??l1，limf?x??l2

x???x???故對??1，存在a,b?b?a?滿足當當x?a時

f?x??l1?1

亦即當x?a時有

f?x??1?l1

當x?b時

f?x??l2?1

亦即當x?b時有

f?x??1?l2

顯然f?x??C?a,b?，故f?x?在?a,b?必有最大最小值分別設為K,k，即當

a?x?b時

k?f?x??K

令

M?max?K,k,1?l1,1?l2?

則對?x????,???都

f?x??M

即f?x?在???,???有界。

1?x2?0，當然limf?x?limf?x?均存在。證明（21）由于limf?x??limx???x???x??x??1?x2?x41?x2故函數f?x??在???,???有界。

1?x2?x4（當然你可以像證明引理那樣直接證明）

22證明設f?x??C?a,b?，且f(a?),f(b?)存在，則f?x?在?a,b?有界。

?f(a?)x?a證明：法一令F?x????f?x?x??a,b?，由f?x??C?a,b???f(b?)x?b得F?x?在?a,b?連續(xù)。又

F(a?)?xlim?a?F(x)?xlim?a?f?x??f(a?)?F(a)

F(b?)?xlim?b?F(x)?xlim?b?f?x??f(b?)?F(b)

即F?x?在區(qū)間?a,b?端點單側連續(xù)，故F?x??C?a,b?，故?M?0

F?x??M

故在?a,b?上f?x??M。即f?x?在?a,b?有界。法二設f(a?)?l1,f(b?)?l2，即

xlim?a?f?x??l1

xlim?b?f?x??l2

故對??1，存在a1,b1?a?a1?b1?b?，當a?x?a1時

f?x??l1?1

亦即當a?x?a1時有

f?x??1?l1f?x??1?l1

當b1?x?b時

f?x??l2?1

亦即當b1?x?b時有

f?x??1?l2

顯然f?x??C?a1,b1?，故f?x?在?a1,b1?必有最大最小值分別設為K,k，即當

a1?x?b1時

k?f?x??K

令

M?max?K,k,1?l1,1?l2?

則對?x??a,b?都

f?x??M

即f?x?在?a,b?有界。

23證明f?x?在?a,c?和?c,b?上一致連續(xù)，證明f?x?在?a,b?上一致連續(xù)。證明：由f?x?在?a,c?和?c,b?上一致連續(xù)，可得f?x?在??連續(xù)，且?a,c?，?c,b?在x?c處左連續(xù)右連續(xù)，故也在x?c連續(xù)，從而f?x?在?a,b?上連續(xù)，故由定理3.19f?x?在?a,b?上一致連續(xù)。（當然可以用定義直接證明）

24設f?x??C??a,???上一致連續(xù)。?a,???，且limf?x?存在，證明f?x?在?x???證明由limf?x?存在，對???0則存在b?b?a?，當x1,x2?b時

x???f?x1??f?x2???

又limf?x??f?b?，故??1?0當b??1?x1,x2?b??1時

x?bf?x1??f?x2???

又由定理3.19知f?x?在?a,b?上一致連續(xù)，故??2?0當x1?x2??2時

f?x1??f?x2???

取??min??1,?2?，則當x1?x2??

f?x1??f?x2???

故f?x?在??a,???上一致連續(xù)。

習題1.3(B)

1設函數f

x?C?x?、?g???，I證

明函數M(x)?m?axx?f?、g???及x

m(x)?min?f?x?、g?x??在區(qū)間I上均連續(xù)。證明注意到

M(x)?max?f?x?、g?x???m(x)?min?f?x?、g?x???f?x?+g?x??f?x?-g?x?2f?x?+g?x??f?x?-g?x?2

x?g-x?CI又函數f?x?、g?x??C?I?，故f???從而M(x)及m(x)在區(qū)間I上??，

均連續(xù)。

2設f?x?是???,???上連續(xù)的周期函數，假使f?x?沒有最小正周期，證明。f?x??c（常數）

證明：對?x0,x1設x0?x1，由于f?x?沒有最小正周期，則f?x?存在嚴格單調遞減正周期序列Tn，滿足limTn?0；對T1必存在非負整數k1，滿足

n??0??x1?x0??k1T1?T2

對T2必存在非負整數k2，滿足

0??x1?x0??k1T1?k2T2?T3

?

對Tn必存在非負整數kn，

0??x1?x0??k1T1?k2T2???knTn?Tn?1

即

lim?x0?k1T1?k2T2???knTn??x1

n??又

f?x0??f?x0?k1T1??f?x0?k1T1?k2T2??

??f?x0?k1T1?k2T2???knTn?

故

f?x0??limf?x0?k1T1?k2T2???knTn??f?x1?

n??

即f?x??c（常數）。

3設f?x?在???,???上有定義，且對任意的x和y，f?x?y??f?x??f?y?，

證明：若f?x?在x?0連續(xù)，則f?x??kx，其中k?f?1?參見微積分學習輔導P51例14.

4設f?x?在???,???上有定義，在x?0,1兩點連續(xù)，并且對任意x?R都有

f?x??f?x2?，證明在???,???上f?x?為常值函數。

證明：對?x???1,1?，注意到f?x??f?x2??f?x4????fx2，故

n??f?x??limfx2

n????n又f?x?在x?0連續(xù)，且limx2?0，得

n??n對?x???1,1?，有f?x??f?0?，又f?x?在x?1連續(xù)，故

f?1??limf?x??limf?0??f?0?

x?1?x?1?從而

2f??1??f???1???f?0?

??11??1???n對?x?1，f?x??f?x2??f?x4???f?x2??????1????limx2?1，又f?x?在x?1連續(xù)，故

nn???21nf?x??limf??xn???????f?1??f?0??故當x?1時，f?x??f?0?

2故對?x??1由f?x??fx得f?x??f?0?。

??綜上所述在???,???上f?x?為常值函數。

5設y?f?x?在區(qū)間I上連續(xù)，且為一一對應，則f?x?為嚴格單調。證明若f?x?不是嚴格單調的，則在I上必存在x1?x2?x3，使得

f?x1??f?x2?，f?x3??f?x2?

不妨設f?x1??f?x3?，則由連續(xù)的介值定理可得在區(qū)間?x1,x2?也能取到

??f?x3?,f?x2???，而在?x2,x3?上也能取到??f?x3?,f?x2???，這與f?x?是一一對應

矛盾。故f?x?為嚴格單調。

6設f?x??C?a,b?，假使f?a?0???，則f?a?0????或??。

證明由f?a?0???，對M?0，存在??0滿足a???b且a?x?a??時有

f?x??M

若又f?a?0????或??不成立，故必有a?x1,x2?a??使得

f?x1??M，f?x2??M

不妨設x1?x2，由零點定理有a?x1?x3?x2?a??，使得

f?x3??0，這與f?x3??M矛盾。故f?a?0????或??。

7設函數f?x?定義在區(qū)間?a,b?上，滿足a?f?x??b（對任意x??a,b?），且對

?a,b?中任意的x,y有f?x??f?y??kx?y，這里k是常數，0?k?1，證明：

（1）存在唯一的x0??a,b?，使得f?x0??x0

（2）任取x1??a,b?，并定義數列?xn?：xn?1?f?xn?，n?1,2,?,則

limxn?x0

n??證明（1）由f?x??f?y??kx?y得，對任意的x??a,b?有

0?f?x??x??f?x??k?x

故

?x?0limf?x??x??f?x?

f?x?在區(qū)間?a,b?上連續(xù)。由習題1.3第14（P45）必存在x0??a,b?，使得

f?x0??x0

若另存在x1??a,b?也滿足

f?x1??x1

則

f?x1??f?x0??x1?x0?kx1?x0

這與

f?x1??f?x0??kx1?x0

矛盾。故（1）成立。

（2）xn?xn?1?f?xn?1??xn?2?f?xn?1??f?xn?2?

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