高考數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論200條1

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高考數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.2.德摩根公式

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含關(guān)系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

4.（1）.對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性〞。如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C中元素各表示什么？

（2）.重視借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題?？占且磺屑系淖蛹?，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x?2?2x?3?0，B??x|ax?1?若B?A，則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為?

1??（答：?1，0，??）3??（3）.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）如：已知關(guān)于x的不等式ax?5x?a2?0的解集為M，若3?M且5?M，求實(shí)數(shù)a的取值范

a·3?5∵3?M，∴2?03?a圍。(a·5?5∵5?M，∴2?05?a?????a?????5?25?)???9，?1，?3?5．集合{a1,a2,?,an}的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n–1個(gè)；非空子集有2n–1個(gè)；非空的真子集有2n–2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

2(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0);

(2)頂點(diǎn)式f(x)?a(x?h)?k(a?0);(3)零點(diǎn)式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).7.（1）對(duì)映射的概念了解嗎？

映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。）（2）如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是2?a，b?，b??a?0，則函數(shù)F(x)?f(x)?f(?x)的定義域

是。?a，（答：?a?）

（3）.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？如：f?xx?1?e?x，求f(x).

?解：令t?x?1，則t?0

2∴x?t2?1，∴f(t)?et∴f(x)?ex2?1?t2?1

?1?x?1?x?0?

2（4）.反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟把握了嗎？（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

?1?x?x?0?的反函數(shù)如：求函數(shù)f(x)??2（答：f???xx?0??1??x?1?x?1?(x)??）????x?x?0?（5）.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

?1③設(shè)y?f(x的定義域?yàn)?A，值域?yàn)镃，a?A，b?C，則f(a)=b?f(b)?a

?f?1?f(a)??f?1(b)?a，ff??1(b)?f(a)?b

?8.（1）如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）

設(shè)x1?x2??a,b?,x1?x2那么(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函數(shù)；?0?f(x)在?a,b?上是減函數(shù).

（2）.如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？（同增異減）

假使函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)f(x)?g(x)也是減函數(shù);假使函數(shù)y?f(u)和u?g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y?f[g(x)]是增函數(shù).

?（y?f(u)，u??(x)，則y?f??(x)（外層）（內(nèi)層）

uf(x)?log12(x2?ax?a)

f??(x)?為減函數(shù)。）O12x當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性如：求y?log12一致時(shí)f??(x)?為增函數(shù)，否則?2x的單調(diào)區(qū)間

??x2?2（設(shè)u??x?2x，由u?0則0?x?2

且log1u?，u???x?1?2?1，如圖：

2

當(dāng)x?(0，1]時(shí)，u?，又log12u?，∴y?；當(dāng)x?[1，2)時(shí)，u?，又log12u?，∴y?

（3）如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

設(shè)函數(shù)y?f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假使f?(x)?0，則f(x)為增函數(shù)；假使f?(x)?0，則f(x)為減函數(shù).

如：已知a?0，函數(shù)f(x)?x3?ax在?1，???上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大（）A.0

B.1

???值是

C.2

a????x??3???D.3

a???0則x??3??（令f(x)?3x2?a?3?x?a3或x?a3

由已知f(x)在[1，??)上為增函數(shù)，則a3?1，即a?3∴a的最大值為3

9.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱注意結(jié)論：

若f(x是)奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)?0。2xx如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數(shù)，當(dāng)?shù)慕馕鍪健?/p>

0?，則?x??0，1?，f(?x)?（令x???1，24x?(0，1)時(shí)，f(x)?4?1求f(x)在(?1,1)上，?x?x?12x

又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)??24?x?x?1??1?4x

x?2,x?(?1,0)??x4?1??又f(0)?0,?f(x)??0,(x?0)

?x2?,x?(0,1)x??4?1

10.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

（若存在實(shí)數(shù)T（T?0），在定義域內(nèi)總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，T是一個(gè)

周期。）

如：若f?x?a???f(x)，則（答：f(x)是周期函數(shù)，T?2a為f(x)的一個(gè)周期）又如：若f(x)圖象有兩條對(duì)稱軸x?a，x?b???即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)

則f(x)是周期函數(shù)2，a?b為一個(gè)周期如：

11.你把握常用的圖象變換了嗎？f(x)與f(?x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱f(x)與?f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱f(x)與?f(?x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)與f?1(x)的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱

f(x)與f(2a?x)的圖象關(guān)于直線x?a對(duì)稱

0)對(duì)稱f(x)與?f(2a?x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，將y?f(x)圖象???????????右移a(a?0)個(gè)單位左移a(a?0)個(gè)單位y?f(x?a)y?f(x?a)

???????????下移b(b?0)個(gè)單位上移b(b?0)個(gè)單位y?f(x?a)?by?f(x?a)?b

yy=log2xO1x注意如下“翻折〞變換：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的圖象

12.你熟練把握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？（1）一次函數(shù)：y?kx?b?k?0?

(k0)y=bO’(a,b)Ox

kx（2）反比例函數(shù)：y?推廣為y?b?kx?a?k?0?

?k?0?是中心O(a，b)

的雙曲線。

（3）二次函數(shù)y?ax2b?4ac?b??bx?c?a?0??a?x?圖象為拋物線??2a4a???b?，對(duì)稱軸x???2a?ymin?4ac?b4a22222?b4ac?b頂點(diǎn)坐標(biāo)為??，?2a4a?開口方向：a?0，向上，函數(shù)a?0，向下，ymax?4ac?b4a

應(yīng)用：①“三個(gè)二次〞（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0時(shí)，兩根x1、x2為二次函數(shù)y?ax不等式ax22?bx?c的圖象與x軸

的兩個(gè)交點(diǎn)，也是二次?bx?c?0(?0)解集的端點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。如：

???0??bk????k

?2ay??f(k)?02二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于

一根大于k，一根小于k?f(k)?0

x(a>0)Okx1x2x（4）指數(shù)函數(shù)：y?a?a?0，a?1?

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)y?logax?a?0，a?1?由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定?。﹜y=ax(a>1)(01)1O1x(0

（6）“雙勾函數(shù)〞y?x?kxy?k?0?

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？13.如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

?kOkx如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）（2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)是偶函數(shù)。

（先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(·tt)

∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)∴f(?t)?f(t)??）（3）證明單調(diào)性：f(x2)?f??x2?x1??x2????

14.把握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

如求以下函數(shù)的最值：

（2）y?（1）y?2x?3?13?4x；

2x?4x?3；（3）x?3，y?2x2x?39x

?，???0，???；（4）y?x?4?9?x2?設(shè)x?3cos（5）y?4x?，x?(0，1]

15.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假16.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論是不是至少有一個(gè)都是不都是至多有一個(gè)大于不大于至少有n個(gè)小于不小于至多有n個(gè)對(duì)所有x，存在某x，p或q成立不成立對(duì)任何x，不成立存在某x，p且q成立反設(shè)詞一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有（n?1）個(gè)至少有（n?1）個(gè)?p且?q?p或?q

17.四種命題的相互關(guān)系

原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ18.充要條件

（1）充分條件：若p?q，則p是q充分條件.

（2）必要條件：若q?p，則p是q必要條件.

（3）充要條件：若p?q，且q?p，則p是q充要條件.

注：假使甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

19.對(duì)于函數(shù)y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)x?a?b2;兩個(gè)函數(shù)y?f(x?a)與y?f(b?x)的圖象關(guān)于直線x?a?b2對(duì)稱.

a20.若f(x)??f(?x?a),則函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;若

2f(x)??f(x?a),則函數(shù)y?f(x)為周期為2a的周期函數(shù).

nn?121．多項(xiàng)式函數(shù)P(x)?anx?an?1x???a0的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)?P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)?P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.22.函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于直線x?a對(duì)稱?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x).

23.若將函數(shù)y?f(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)y?f(x?a)?b的圖象；若將曲線f(x,y)?0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(x?a,y?b)?0的圖象.

24．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

?1f(a)?b?f(b)?a.

25.若函數(shù)y?f(kx?b)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y?1k[f?1(x)?b]

26.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

(4)冪函數(shù)f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)??.

(5)余弦函數(shù)f(x)?cosx,正弦函數(shù)g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，f(0)?1,lim?1.x27.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，則f(x)的周期T=a；

x?0x?'g(x)（2）f(x)?f(x?a)?0，

1f(x)1f(x)2或f(x?a)?或f(x?a)??或

12?(f(x)?0)，

(f(x)?0),

f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),則f(x)的周期T=2a；

(3)f(x)?1?1f(x?a)(f(x)?0)，則f(x)的周期T=3a；

(4)f(x1?x2)?f(x)的周期T=4a；

f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，則

(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),則f(x)的周期T=5a；(6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，則f(x)的周期T=6a.28.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

m(1)an?1nam（a?0,m,n?N?，且

1apn?1）.指數(shù)運(yùn)算：a0?1(a?0)，a?p?(a?0)

(2)a?mn?1m（a?0,m,n?N?，且n?1）.

an29．根式的性質(zhì)

（1）(na)n?a.

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a?a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a?|a|??nnnn?a,a?0??a,a?0.

30．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

rsr?s(1)a?a?a(a?0,r,s?Q).(2)(a)?a(a?0,r,s?Q).(3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q).

注：若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

31.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

bN?b?a?N(a?0,a?1,N?0).loga32.對(duì)數(shù)的換底公式

logaN?logmNlogmanrrrrsrs(a?0,且a?1,m?0,且m?1,N?0).nlogab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1,N?0).

推論logamb?m33．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)?logaM?logaN;

MNn(2)loga?logaM?logaN;

?nlogaM(n?R).（4）對(duì)數(shù)恒等式：m(3)logaMalog2ax?x

34.設(shè)函數(shù)f(x)?log(ax2?bx?c)(a?0),記??b?4ac.若f(x)的定義域?yàn)?/p>

R,則a?0，且??0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a?0，且??0.對(duì)于a?0的情形,需要

單獨(dú)檢驗(yàn).

35.推論:設(shè)n?m?1，p?0，a?0，且a?1，則

（1）logm?p(n?p)?logmn.

（2）logamlogan?loga2m?n2.

36.平均增長(zhǎng)率的問題

假使原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，有

y?N(1?p).

x37.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

n?1?s1,an??(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為sn?a1?a2???an).

?sn?sn?1,n?238.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an?1?an?d(d為常數(shù))，an?a1??n?1?d等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列?2A?x?y前n項(xiàng)和Sn??a1?an?n2?na1?n?n?1?2d

性質(zhì)：?an?是等差數(shù)列

（1）若m?n?p?q，則am?an?ap?aq；

?a2n?，?kan?b?仍為等差數(shù)列；（2）數(shù)列?a2n?1?，

Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等差數(shù)列；（3）若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a?d，a，a?d；

（4）若an，bn是等差數(shù)列,Sn，Tn為前n項(xiàng)和，則ambm?S2m?1T2m?1；?an?為等差數(shù)列（5）數(shù)）

?Sn?an2?bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函

2?an?中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：Sn?an?bn的最值；或者求出Sn的最值可求二次函數(shù)當(dāng)a1?0，d?0，解不等式組?an?0可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的?a?0?n?1n值。

當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0?an?1?0可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。

如：等差數(shù)列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，則n?（由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1又S3?

?a1?a3?2·3?3a2?1，∴a2?13

∴Sn??a1?an?n2??a2?n?an?1·2??1???1?n?3?2?18?n?27）

39.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an?1an?q（q為常數(shù)，q?0），an?a1qn?1

等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列?G2?xy，或G??xy

前n項(xiàng)和：Sn?na1(q?1)???a11?qn（要注意!）(q?1)?1?q???性質(zhì)：?an?是等比數(shù)列

（1）若m?n?p?q，則am·an?ap·aq（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等比數(shù)列40.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

?an?滿足如：12a1?122a2????12nan?2n?5?1?

∴a1?14解：n?1時(shí)，a1?2?1?5，21n?2時(shí)，a1?21122a2????an?2

12n?1an?1?2(n?1)?5?2?

?1???2?得：∴an?2n?1

1n2?14(n?1)∴a??n?1n2(n?2)?［練習(xí)］

數(shù)列?an?滿足Sn?Sn?1?53an?1，a1?4，求an

（注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：又S1?4，∴?Sn?是等比數(shù)列，Sn?1Sn?4

nSn?4

n?1n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1????3·4（2）疊乘法

例如：數(shù)列?an?中，a1?3，n?1?anann?1，求an

解：

aaa2a312n?11·??n?·??，∴n?a1a2an?123na1n3n又a1?3，∴an?

（3）等差型遞推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2時(shí)，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)??兩邊相加，得：??????an?an?1?f(n)?an?a1?f(2)?f(3)????f(n)∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)［練習(xí)］

數(shù)列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an（an?12?3n?1）

?（4）等比型遞推公式

an?can?1?d?c、d為常數(shù)，c?0，c?1，d?0?可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x

∴x?令(c?1)x?d，dc?1

∴?an???d?d，c為公比的等比數(shù)列?是首項(xiàng)為a1?c?1?c?1d

∴an?d?n?1???a1?·c?c?1?c?1???d?n?1??cc?1?c?1d∴an??a1?［練習(xí)］

數(shù)列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an

?4?（an?8????3?n?1?1）

（5）倒數(shù)法例如：a1?1，an?1?2anan?212，求an

由已知得：1an?1?an?22an??1an

∴1an?1?1an?12

???1?11?1，公差為?為等差數(shù)列，aa21?n??1an11???n?1??1??n?1·222n?1∴an?

41.你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？數(shù)列求和的方法：

（1）.公式法（2）.倒序相加法（3）.錯(cuò)位相減法（4）.裂項(xiàng)相消法（5）.分組求和法例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。

?an?是公差為d的等差數(shù)列，求Pn?如：1ak·ak?11ak?ak?d?1a1a2?1a2a3???1anan?1.

解：由??1?11??d?ak?1?ak???d?0???

Pn?1d[(1a1?1a2)?(1a2?1a3)???(1an?1an?1)]?1da1(1?1an?1)

［練習(xí)］求和：1?11?2?11?2?3????1n?111?2?3????n

（an??????，Sn?2?（2）錯(cuò)位相減法：

）若?an?為等差數(shù)列，?bn?為等比數(shù)列，求數(shù)列和，可由Sn?qSn求Sn，其中q為?bn?的公比。

?anbn（差比數(shù)列）前?n項(xiàng)

如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?（x?0）

234n?1nx·Sn?x?2x?3x?4x?????n?1?x?nx?2?

?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxnx?1時(shí)，Sn??1?x?2?1?x??nnxn1?x

n?n?1?2x?1時(shí)，Sn?1?2?3????n?

（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

Sn?a1?a2????an?1?an??相加

Sn?an?an?1????a2?a1?2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an???［練習(xí)］已知f(x)??1??1??1?，則f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????2231?x?????4??1????x?2x2

x?1??（由f(x)?f???2x??1?x2?1?1????x???2?x221?x?11?x2?1

∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???

??2???3????4????1???1????1???11?1?1?1?3）22

42.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，

半徑為R的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？

（l??·R，S扇?12·lR?121弧度ORR?·R）2

yTBSPαOMAx43熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義sin??MP，cos??OM，tan??AT

如：若??8???0，則sin?，cos?，tan?的大小順序是.

又如：求函數(shù)y?1????2cos??x?的定義域和值域。2??（∵1?2cos?22????x?）?1??2?2sinx?0

∴sinx?，如圖：

∴2k??5?4?x?2k???4?k?Z?，0?y?1?2

44.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸嗎？

sinx?1，cosx?1

對(duì)稱點(diǎn)為?k????，0?，k?Z2???yx??O2y?tgx?2?y?sinx的增區(qū)間為?2k???2，2k?????k?Z??2?3???k?Z?2??減區(qū)間為?2k?????2，2k???k?，0?，對(duì)稱軸為x?k??圖象的對(duì)稱點(diǎn)為?2?k?Z?

?2k?，2k?????k?Z?y?cosx的增區(qū)間為2k??2???k?Z?減區(qū)間為?2k???，圖象的對(duì)稱點(diǎn)為?k??????，0?，對(duì)稱軸為x?k??k?Z?2?y?tanx的增區(qū)間為?k?????2，k?????k?Z2?45.正弦型函數(shù)y=Asin??x+??的圖象和性質(zhì)要熟記。2?|?|?或y?Acos??x????

（1）振幅|A|，周期T?

若f?x0???A，則x?x0為對(duì)稱軸。

若f?x0??0，則?x0，0?為對(duì)稱點(diǎn)，反之也對(duì)。（2）五點(diǎn)作圖：令?3??x??依次為0，，?，，2?，求出x與y，依點(diǎn)（x，y）作圖象。

22（求A、?、?值）

（3）根據(jù)圖象求解析式。??(x1)???0?如圖列出??

?(x)???2?2?解條件組求?、?值

?則AB??x2?x1，y2?y1?

|AB|???x2?x1???y2?y1?，A、B兩點(diǎn)間距離公式

2258.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分派律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)其次分派律：λ(a+b)=λa+λb.59.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)a·b=b·a（交換律）;(2)（?a）·b=?（a·b）=?a·b=a·（?b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理

假使e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，則a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0.61.平面向量的數(shù)量積

（1）a·b?|a·||b|cos?叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）。?為向量a與b的夾角，???0，??

B????????

?bO??a

DA數(shù)量積的幾何意義：

a·b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos?的乘積。（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則

?????????·b?b·a①a·c?b·c②(a?b)c?a?????????x2，y2??x1x2?y1y2·b??x1，y1·③a????????注意：數(shù)量積不滿足結(jié)?合律(a·b·)c?a·(b·c)

?b??x2，y2?（3）重要性質(zhì)：設(shè)a??x1，y1?，????·b?0?x1·x2?y1·y2?0①a⊥b?a??????????·b?|a·||b|或a·b??|a·||b|②a∥b?a

????a??b（b?0，?惟一確定）?x1y2?x2y1?0③a?|a|2?x12?y12，|a·b|?|a·||b|［練習(xí)］（1）已知正方形答案：22

1?，b??4，x?，當(dāng)x?時(shí)a與b共線且方向一致（2）若向量a??x，?????????????|a?b?c|?ABCD，邊長(zhǎng)為1，AB?a，BC?b，AC?c，則?2?????

答案：2

b均為單位向量，它們的（3）已知a、??夾角為60，那么|a?3b|?o??

答案：13

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1?x2,y1?y2).

(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1?x2,y1?y2).

????????????(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)設(shè)a=(x,y),??R，則?a=(?x,?y).

(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=(x1x2?y1y2).63.兩向量的夾角公式

x1x2?y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).cos??2222x1?y1?x2?y264.平面兩點(diǎn)間的距離公式

????dA,B=|AB|?????????AB?AB2?(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

265.向量的平行與垂直

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，則A||b?b=λa?x1y2?x2y1?0.a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

66.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是G(x1?x2?x33,y1?y2?y33).

67.三角形五“心〞向量形式的充要條件

設(shè)O為?ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則

????2????2????2（1）O為?ABC的外心?OA?OB?OC.

?????????????（2）O為?ABC的重心?OA?OB?OC?0.

????????????????????????（3）O為?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.

??????????????ABC（4）O為的內(nèi)心?aOA?bOB?cOC?0.

????????????（5）O為?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.68.不等式的性質(zhì)有哪些？

（1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc

（2）a?b，c?d?a?c?b?d（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd（4）a?b?0?1a?1b，a?b?0?1a?1b

na?nb（5）a?b?0?an?bn，（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a如：若1a?1b?0，則以下結(jié)論不正確的2是（）D.ab?ba?2

A.a2?b2;B.ab?b;C.|a|?|b|?|a?b|;

69.常用不等式：

（1）a,b?R?a2?b2?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=〞號(hào))．（2）a,b?R??a?b2?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=〞號(hào))．

（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).（4）柯西不等式

(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

22222（5）a?b?a?b?a?b.注意如下結(jié)論：(1)

a?b222?a?b2?ab?2aba?b?a，b?R??

當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立.

(2)a2?b2?c2?ab?bc?ca?a，b?R?.當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取等號(hào)。(3)a?b?0，m?0，n?0，則如：若x?0，則2?3x???ba?b?ma?m?1?a?nb?n?ab

4x的最大值為.

（設(shè)y?2??3x?4???2?212?2?43x?

4x233當(dāng)且僅當(dāng)3x?，又x?0，∴x?xy時(shí)，ymax?2?43）

又如：x?2y?1，則2?4的最小值為∴最小值為22）（∵2x?22y?22x?2y?221，.

70.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當(dāng)x?y時(shí)和x?y有最小值2p；（2）若和x?y是定值s，則當(dāng)x?y時(shí)積xy有最大值

142s.

推廣已知x,y?R，則有(x?y)2?(x?y)2?2xy（1）若積xy是定值,則當(dāng)|x?y|最大時(shí),|x?y|最大；當(dāng)|x?y|最小時(shí),|x?y|最小.

（2）若和|x?y|是定值,則當(dāng)|x?y|最大時(shí),|xy|最??；當(dāng)|x?y|最小時(shí),|xy|最大.

71.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0，)假使a與

ax?bx?c同號(hào)，則其解集在兩根之外；假使a與ax?bx?c異號(hào)，則其解集在兩根之

22間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

72.含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)a>0時(shí)，有

x?a?x?a222??a?x?a.

x?a?x?a?x?a或x??a.

273.不等式證明的基本方法都把握了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）,并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用.如：證明1?（1?122122?132????1?1n12?2?12?3????1?132????1n21?2?n?1?n

?1?1?12?12?13????1n?1?1n?2?1n?2）

74.解分式不等式f(x)g(x)?a?a?0?的一般步驟是什么？

（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果.）75.用“穿軸法〞解高次不等式——“奇穿，偶切〞，從最大根的右上方開始

如：?x?1??x?1?2?x?2?3?0

76.解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的探討

如：對(duì)數(shù)或指數(shù)的底分a?1或0?a?1探討

77.對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？

（找零點(diǎn)，分段探討，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最終取各段的并集。）

78.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△〞問題）如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值例如：對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若x?3?x?2?a恒成立，則a的取值范圍是

（設(shè)u?x?3?x?2，它表示數(shù)軸上到兩定umin?3???2??5，∴5?a，即a?5

點(diǎn)?2和3距離之和

x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5）或者：

例如：解不等式1??（解集為?x|x??）|x?3|?x?1?1

2??

79.無理不等式

?f(x)?0?（1）f(x)?g(x)??g(x)?0.

?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?（2）f(x)?g(x)??g(x)?0.或?g(x)?0??f(x)?[g(x)]2??f(x)?0?（3）f(x)?g(x)??g(x)?0.

?f(x)?[g(x)]2?80.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng)a?1時(shí),

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?.logaf(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?(2)當(dāng)0?a?1時(shí),

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?81.斜率公式

y?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.k?2x2?x1直線l的傾斜角???0，??，k?tan??y2?y1?????，x1?x2??x2?x1?2?82..直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)?y1?k(x?x1)(直線l過點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)?kx?b(b為直線l在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式(4)截距式

y?y1y2?y1?x?x1x2?x1(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1?x2)).

xab（5）一般式Ax?By?C?0(其中A、B不同時(shí)為0).

?y?1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b?0)

83..兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2①l1||l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不為零,①l1||l2?A1A2?B1B2?C1C2；

②l1?l2?A1A2?B1B2?0；84．四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為y?y0?k(x?x0)(除直線

x?x0),其中k是待定的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為

A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交點(diǎn)的直線系方程為(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．(3)平行直線系方程：直線y?kx?b中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線Ax?By?C?0平行的直線系方程是Ax?By???0(??0)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線Ax?By?C?0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是Bx?Ay???0,λ是參變量．

85.點(diǎn)到直線的距離

|Ax0?By0?C|22d?A?B86.Ax?By?C?0或?0所表示的平面區(qū)域

(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：Ax?By?C?0).

設(shè)直線l:Ax?By?C?0，則Ax?By?C?0或?0所表示的平面區(qū)域是：若B?0，當(dāng)B與Ax?By?C同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與Ax?By?C異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.若B?0，當(dāng)A與Ax?By?C同號(hào)時(shí)，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ax?By?C異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.

87.(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0（A1A2B1B2?0），則

(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面區(qū)域是：(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

88.圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)2?(y?b)2?r2.

（2）圓的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F＞0).（3）圓的參數(shù)方程??x?a?rcos??y?b?rsin?.

)?(y?y)(y?2y)?(0圓的直徑的端點(diǎn)是（4）圓的直徑式方程(x?x1)(x?x21A(x1,y1)、B(x2,y2)).

89.圓系方程

(1)過點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的圓系方程是

(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?AB的方程,λ是待定的系數(shù)．

22c?0是直線

(2)過直線l:Ax?By?C?0與圓C:x?y?Dx?Ey?F?0的交點(diǎn)的圓系方程是x?y?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系數(shù)．

2222(3)過圓C1:x?y?D1x?E1y?F1?0與圓C2:x?y?D2x?E2y?F2?0的交2222??(x?y?Dx?Ey?F)?0,λ是待定的點(diǎn)的圓系方程是x?y?D1x?E1y?F122222系數(shù)．

90.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)P(x0,y0)與圓(x?a)?(y?b)?r的位置關(guān)系有三種若d?(a?x0)?(b?y0)，則

22222d?r?點(diǎn)P在圓外;d?r?點(diǎn)P在圓上;d?r?點(diǎn)P在圓內(nèi).

91.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax?By?C?0與圓(x?a)?(y?b)?r的位置關(guān)系有三種:d?r?相離???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0.

Aa?Bb?CA?B22222其中d?

.

92.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2?dd?r1?r2?外離?4條公切線;d?r1?r2?外切?3條公切線;

r1?r2?d?r1?r2?相交?2條公切線;

d?r1?r2?內(nèi)切?1條公切線;0?d?r1?r2?內(nèi)含?無公切線.

93.圓的切線方程

(1)已知圓x2?y2?Dx?Ey?F?0．

①若已知切點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是x0x?y0y?D(x0?x)2?E(y0?y)2?F?0.

?E(y0?y)2?F?0表示過兩個(gè)切點(diǎn)

當(dāng)(x0,y0)圓外時(shí),x0x?y0y?D(x0?x)2的切點(diǎn)弦方程．

②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y?y0?k(x?x0)，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設(shè)為y?kx?b，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

(2)已知圓x2?y2?r2．

2①過圓上的P0(x0,y0)點(diǎn)的切線方程為x0x?y0y?r;

②斜率為k的圓的切線方程為y?kx?r1?k2.94.橢圓95.橢圓

xaxa2222?ybyba2222?x?acos?.?1(a?b?0)的參數(shù)方程是?y?bsin????1(a?b?0)焦半徑公式

a22)，PF2?e(?x).

cc96．橢圓的的內(nèi)外部PF1?e(x?（1）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓（2）點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓97.橢圓的切線方程(1)橢圓

xa22xaxa2222??ybyb2222?1(a?b?0)的內(nèi)部??1(a?b?0)的外部?x0aax02222??y0bby0222?1.?1.

2?xayb2222?1(a?b?0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是yb22x0xa2?y0yb2?1.

（2）過橢圓x0xa2??1(a?b?0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

?y0yb2?1.

xa22（3）橢圓?yb22?1(a?b?0)與直線Ax?B?y0C?相切的條件是

22222Aa?Bb?c.

98.雙曲線

xa22?a2yb22?1(a?0,b?0)的焦半徑公式

a2)|，PF2?|e(?x)|.cc99.雙曲線的內(nèi)外部PF1?|e(x?(1)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線(2)點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線

xa22xax222?yby222?1(a?0,b?0)的內(nèi)部?x0ax0222?y0by0222?1.

?2?1(a?0,b?0)的外部?2?2?1.2abab100.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1）若雙曲線方程為?bayb22?1?漸近線方程：

xa22?yb22?0?y??xa22bax.

(2)若漸近線方程為y??(3)若雙曲線與

x22x?xa?yb?0?雙曲線可設(shè)為

xa22?yb22??.

ab軸上，??0，焦點(diǎn)在y軸上）.

101.雙曲線的切線方程

?y22?1有公共漸近線，可設(shè)為?yb22??（??0，焦點(diǎn)在x

(1)雙曲線

xa22?xayb2222?1(a?0,b?0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是yb22x0xa2?y0yb2?1.

（2）過雙曲線x0xa2??1(a?0,b?0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

?y0yb2?1.

xa22（3）雙曲線

Aa?22?yb22?1(a?0,b?0)與直線Ax?By?C?0相切的條件是

Bb?22.c

2102.拋物線y?2px的焦半徑公式拋物線y?2px(p?0)焦半徑CF?x0?過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)CD?x1?22p2.

p2?x2?p2?x1?x2?p.

103.拋物線y?2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(y??2px?.

2y?22p,y?)或P(2pt,2pt)或P(x?,y?)，其中

2104.二次函數(shù)y?ax?bx?c?a(x?點(diǎn)坐標(biāo)為(?22b2a)?24ac?b4ab2a2（1）頂(a?0)的圖象是拋物線：4ac?b?14a2b2a,4ac?b4a2)；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(?,)；（3）準(zhǔn)線方程是

y?4ac?b?14a105.拋物線的內(nèi)外部

.

(1)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2?2px(p?0)的內(nèi)部?y2?2px(p?0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2?2px(p?0)的外部?y2?2px(p?0).(2)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2??2px(p?0)的內(nèi)部?y2??2px(p?0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2??2px(p?0)的外部?y2??2px(p?0).(3)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2?2py(p?0)的內(nèi)部?x2?2py(p?0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2?2py(p?0)的外部?x2?2py(p?0).(4)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2?2py(p?0)的內(nèi)部?x2?2py(p?0).點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2??2py(p?0)的外部?x2??2py(p?0).106.拋物線的切線方程

(1)拋物線y2?2px上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是y0y?p(x?x0).

（2）過拋物線y2?2px外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是y0y?p(x?x0).（3）拋物線y2?2px(p?0)與直線Ax?By?C?0相切的條件是pB2?2AC.

107.兩個(gè)常見的曲線系方程

(1)過曲線f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交點(diǎn)的曲線系方程是

f1(x,y)??f2(x,y)?0(?為參數(shù)).

(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程

222x222a?k?y22b?k?1,其中k?max{a,b}.當(dāng)

2222k?min{a,b}時(shí),表示橢圓;當(dāng)min{a,b}?k?max{a,b}時(shí),表示雙曲線.

108.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式AB?AB?222(x1?x2)?(y1?y2)或

222(1?k)(x2?x1)?|x1?x2|1?tan??|y1?y2|1?cot?（弦端點(diǎn)

?y?kx?bA(x1,y1),B(x2,y2)，由方程?消去y得到ax2?bx?c?0，??0,?為直線

?F(x,y)?0AB的傾斜角，k為直線的斜率）.

109.分清圓錐曲線的定義

?橢圓?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2??定義?雙曲線?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2

???拋物線?PF?PK0?e?1?橢圓；e?1?雙曲線；e?1?拋物線110.你是否確鑿理解正棱柱、正棱錐的定義并把握它們的性質(zhì)？

正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE它們各包含哪些元素？

12S正棱錐側(cè)?V錐?

13C·h（C——底面周長(zhǎng)，h為斜高）底面積×高

111.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路明白嗎？

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線∥線???線∥面???面∥面性質(zhì)?判定????線⊥線???線⊥面???面⊥面?????

線∥線???線⊥面???面∥面線面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

ab??

線面平行的性質(zhì)：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

線面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

aOαbc

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

αalβ

a⊥面?，b⊥面??a∥b

面?⊥a，面?⊥a??∥?

ab??

112．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；

（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.

113．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.

114．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

115．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.116．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.117．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

118.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．

(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分派律：λ(a＋b)=λa＋λb．

119.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)一致且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.

120.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b??存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．???????????????????P、A、B三點(diǎn)共線?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.

????????????????AB||CD?AB、CD共線且AB、CD不共線?AB?tCD且AB、CD不共線.

121.共面向量定理

向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的?存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使p?ax?by．

????????????推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的?存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使MP?xMA?yMB，

?????????????????或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使OP?OM?xMA?yMB.

????????????????119.對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k），則當(dāng)k?1時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)k?1時(shí)，若O?平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若O?平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．

????????????????????????A、B、C、D四點(diǎn)共面?AD與AB、AC共面?AD?xAB?yAC?

????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.

122.空間向量基本定理

假使三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)?/p>

????????????????數(shù)x，y，z，使OP?xOA?yOB?zOC.

123.射影公式

已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量.作A點(diǎn)在l上的射影A'，作B點(diǎn)在l上的射影B'，則

''????????AB?|AB|cos〈a，e〉=a·e

124.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)則(1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；(2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；(3)λa＝(?a1,?a2,?a3)(λ∈R)；(4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；

125.設(shè)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則????????????AB?OB?OA=(x2?x1,y2?y1,z2?z1).126．空間的線線平行或垂直rr設(shè)a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，則?x1??x2rrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2；

?z??z2?1rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.

127.夾角公式

設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則cos〈a，b〉=21a1b1?a2b2?a3b3a?a?a2223.

23b?b?b21222222222推論(a1b1?a2b2?a3b3)?(a1?a2?a3)(b1?b2?b3)，此即三維柯西不等式.

128.周邊體的對(duì)棱所成的角

周邊體ABCD中,AC與BD所成的角為?,則cos??|(AB?CD)?(BC?DA)|2AC?BD2222.

129．異面直線所成角

rrcos??|cosa,b|

rr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|=rr?222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2rroo（其中?（0???90）為異面直線a,b所成角，a,b分別表示異面直線a,b的方向向量）

130..直線AB與平面所成角

??????AB?m?????(m為平面?的法向量).??arcsin???|AB||m|131.若?ABC所在平面若?與過若AB的平面?成的角?,另兩邊AC,BC與平面

?成的角分別是?1、?2,A、B為?ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則

sin?1?sin?2?(sinA?sinB)sin?.

22222特別地,當(dāng)?ACB?90?時(shí),有

222sin?1?sin?2?sin?.

132.若?ABC所在平面若?與過若AB的平面?成的角?,另兩邊AC,BC與平面?成的角分別是?1、?2,A'、B'為?ABO的兩個(gè)內(nèi)角，則

tan?1?tan?2?(sinA?sinB)tan?.

222'2'2特別地,當(dāng)?AOB?90?時(shí),有

222sin?1?sin?2?sin?.

133.二面角??l??的平面角

?????????m?nm?n??arccos???或??arccos???（m，n為平面?，?的法向量）.

|m||n||m||n|134.三余弦定理

設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為?1，AB與AC所成的角為?2，AO與AC所成的角為?．則cos??cos?1cos?2.

135.三射線定理

若夾在平面角為?的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是?1,?2,與二面

2222角的棱所成的角是θ，則有sin?sin??sin?1?sin?2?2sin?1sin?2cos?;

|?1??2|???180?(?1??2)(當(dāng)且僅當(dāng)??90時(shí)等號(hào)成立).

??136.空間兩點(diǎn)間的距離公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則

????dA,B=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).

222137.點(diǎn)Q到直線l距離|a|????b=PQ).

h?1????(|a||b|)?(a?b)(點(diǎn)P在直線l上，直線l的方向向量a=PA，向量

22138.異面直線間的距離

????????|CD?n|?(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2上任一點(diǎn)，d為d?|n|l1,l2間的距離).

139..點(diǎn)B到平面?的距離

????????|AB?n|（n為平面?的法向量，AB是經(jīng)過面?的一條斜線，A??）.?d?|n|140.異面直線上兩點(diǎn)距離公式d?d?h?m?n?2mncos?.????????'h?m?n?2mncosEA,AF.222222d?h?m?n?2mncos?（??E?AA?F）.

222'(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段AA'的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，A'E?m,AF?n,EF?d).141.三個(gè)向量和的平方公式

????2?2?2??????2(a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

142.長(zhǎng)度為l的線段在三條兩兩相互垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為l1、l2、l3，夾角分別為?1、?2、?3,則有