第9講-一元二次方程的應(yīng)用(培優(yōu)課程講義例題練習(xí)含答案)

【典型例題】類型一、數(shù)字問(wèn)題1.（春?興化市校級(jí)期末）兩個(gè)連續(xù)負(fù)奇數(shù)的積是143，求這兩個(gè)數(shù)．【答案與解析】解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x，x+2，根據(jù)題意x（x+2）=143，解得x1=11（不合題意舍去），x2=﹣13，則當(dāng)x=﹣13時(shí)，x+2=﹣11．答：這兩個(gè)數(shù)是﹣13，﹣11．故答案為：﹣13，﹣11．【總結(jié)升華】得到兩個(gè)奇數(shù)的代數(shù)式是解決本題的突破點(diǎn)；根據(jù)兩個(gè)數(shù)的積得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．類型二、平均變化率問(wèn)題2.（?衡陽(yáng)）隨著居民經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高以及汽車業(yè)的快速發(fā)展，家用汽車已越來(lái)越多地進(jìn)入普通家庭，抽樣調(diào)查顯示，截止2015年底某市汽車擁有量為16.9萬(wàn)輛．己知2013年底該市汽車擁有量為10萬(wàn)輛，設(shè)2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：2013年底該市汽車擁有量×（1+增長(zhǎng)率）2=2015年底某市汽車擁有量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【答案】A．【解析】解：設(shè)2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故選：A．【總結(jié)升華】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．舉一反三：【變式】有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，按照這樣的速度，第三輪傳染后，患流感的人數(shù)是()A．1331B．1210C．1100D．1000【答案】設(shè)每人每輪傳染x人，則(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12舍去，第三輪傳染后患流感人數(shù)為121(1+10)＝1331人．類型三、利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題3.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能存活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也會(huì)有一定數(shù)量的螃蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期間內(nèi)螃蟹的個(gè)體重量基本保持不變．現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)了這種活螃蟹1000kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為30元/kg．據(jù)測(cè)算此后每千克的活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天各種費(fèi)用支出400元，且平均每天還有10kg的蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是20元/kg，如果經(jīng)銷商將這批蟹出售后能獲利6250元，那么他應(yīng)放養(yǎng)多少天后再一次性售出?【答案與解析】解：設(shè)經(jīng)銷商放養(yǎng)的活蟹時(shí)間定為x天較為合適．根據(jù)題意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，整理，得x2-50x+625＝0，∴x1＝x2＝25．答：經(jīng)銷商放養(yǎng)25天后，再一次性售出可獲利6250元．【總結(jié)升華】此題牽涉到的量比較多，找等量關(guān)系列方程有一定難度．我們可以把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題分別解決，最后用一根主線連在一起．這里放養(yǎng)的天數(shù)x與死蟹銷售資金、x天后活蟹的價(jià)格、x天后活蟹的剩余量及x天的開(kāi)支情況等問(wèn)題都有關(guān)系，通過(guò)這個(gè)“x”把上述幾個(gè)量聯(lián)系在一起，列出了方程，使問(wèn)題得以突破．舉一反三：【變式】（?東西湖區(qū)校級(jí)模擬）商場(chǎng)某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．據(jù)此規(guī)律計(jì)算：每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．【答案】解：∵降價(jià)1元，可多售出2件，降價(jià)x元，可多售出2x件，盈利的錢數(shù)=50﹣x，由題意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化簡(jiǎn)得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵該商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存，∴降的越多，越吸引顧客，∴選x=20，答:每件商品降價(jià)20元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元.類型四、行程問(wèn)題4.一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時(shí)間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到0.1s）？【答案與解析】解：（1）已知?jiǎng)x車后滑行路程為25m，如果知道滑行的平均速度，則根據(jù)路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，可求出滑行時(shí)間．為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，不妨設(shè)車速?gòu)?0m/s到0m/s是隨時(shí)間均勻變化的．這段時(shí)間內(nèi)的平均車速等于最大速度與最小速度的平均值，即，于是剎車到停車的時(shí)間為“行駛路程平均車速”，即．（2）從剎車到停車平均每秒車速減少值為“（初速度末速度）車速變化時(shí)間”，即．（3）設(shè)剎車后汽車行駛到15m用了s，由（2）可知，這時(shí)車速為．這段路程內(nèi)的平均車速為，即．由速度×?xí)r間=路程，得．解方程，得．根據(jù)問(wèn)題可知，，即x＜5，又x＜2.5；所以．剎車后汽車行駛到15m時(shí)約用了0.9s．【總結(jié)升華】弄清路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，即可解答此題.一元二次方程的應(yīng)用—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（?臺(tái)州）有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了45場(chǎng)，每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)，則下列方程中符合題意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=452．上海世博會(huì)的某紀(jì)念品原價(jià)168元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為128元，下列所列方程中正確的是()A．168(1+a%)2＝128B．168(1-a%)2＝128C．168(1-2a%)2＝128D．168(1-a2%)＝1283．從一塊長(zhǎng)30cm，寬12cm的長(zhǎng)方形薄鐵片的四個(gè)角上，截去四個(gè)相同的小正方形，余下部分的面積為296cm2，則截去小正方形的邊長(zhǎng)為()A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm4．甲、乙兩人分別騎車從A、B兩地相向而行，甲先行1小時(shí)后，乙才出發(fā)，又經(jīng)過(guò)4小時(shí)兩人在途中的C地相遇，相遇后兩人按原來(lái)的方向繼續(xù)前進(jìn).乙在由C地到達(dá)A地的途中因故停了20分鐘，結(jié)果乙由C地到達(dá)A地時(shí)比甲由C地到達(dá)B地還提前了40分鐘，已知乙比甲每小時(shí)多行駛4千米，則甲、乙兩人騎車的速度分別為（）千米/時(shí).A．2,6B．12,16C．16,20D．20,245．某農(nóng)戶種植花生，原來(lái)種植的花生畝產(chǎn)量為200千克，出油率為50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長(zhǎng)率是畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的．則新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為()

A．20％B．30%C．50%D．120%6．從盛滿20升純酒精的容器里倒出若干升，然后用水注滿，再倒出同樣升數(shù)的混合液后，這時(shí)容器里剩下純酒精5升．則每次倒出溶液的升數(shù)為（）A．5B．6C．8D．10二、填空題7．某公司在2009年的盈利額為200萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2011年盈利額將達(dá)到242萬(wàn)元，若每年比上一年盈利額增長(zhǎng)的百分率相同，那么該公司在2010年的盈利額為_(kāi)_______萬(wàn)元．8．有一間長(zhǎng)20m，寬15m的會(huì)議室，在它的中間鋪一塊地毯，地毯的面積是會(huì)議室面積的一半，四周未鋪地毯的留空寬度相同，則留空的寬度為_(kāi)_______．9．一塊矩形耕地大小尺寸如圖1所示，要在這塊地上沿東西、南北方向分別挖3條和4條水渠．如果水渠的寬相等，而且要保證余下的可耕地面積為8700m2，那么水渠應(yīng)挖的寬度是米.10．有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是8，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘原來(lái)的兩位數(shù)就得1855，則原來(lái)的兩位數(shù)是．11．某省十分重視治理水土流失問(wèn)題，2011年治理水土流失的面積為400km2，為了逐年加大治理力度，計(jì)劃今、明兩年治理水土流失的面積都比前一年增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)，到2013年年底，使這三年治理水土流失的面積達(dá)1324km2，則該省今、明兩年治理水土流失的面積平均每年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是．12．（?貴陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D方向以cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜8），則t=秒時(shí)，S1=2S2．三、解答題13．（?百色）在直角墻角AOB（OA⊥OB，且OA、OB長(zhǎng)度不限）中，要砌20m長(zhǎng)的墻，與直角墻角AOB圍成地面為矩形的儲(chǔ)倉(cāng)，且地面矩形AOBC的面積為96m2．（1）求這地面矩形的長(zhǎng)；（2）有規(guī)格為0.80×0.80和1.00×1.00（單位：m）的地板磚單價(jià)分別為55元/塊和80元/塊，若只選其中一種地板磚都恰好能鋪滿儲(chǔ)倉(cāng)的矩形地面（不計(jì)縫隙），用哪一種規(guī)格的地板磚費(fèi)用較少？14.（?廣元）李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)，把一根長(zhǎng)40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？（2）李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2，你認(rèn)為他的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖所示，AO＝OB＝50cm，OC是一條射線，OC⊥AB，一只螞蟻由A點(diǎn)以2cm/s的速度向B爬行，同時(shí)另一只螞蟻由O點(diǎn)以3cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在這樣的時(shí)刻，使兩只螞蟻與O點(diǎn)組成的三角形的面積為450cm2?【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A【解析】∵有x支球隊(duì)參加籃球比賽，每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)，∴共比賽場(chǎng)數(shù)為x（x﹣1），∴共比賽了45場(chǎng)，∴x（x﹣1）=45，故選A．2．【答案】B；【解析】168元降價(jià)a%后的價(jià)格為168(1-a%)元，再降價(jià)a%后為168(1-a%)(1-a%)元．根據(jù)題意可列方程168(1-a%)2＝128．3．【答案】D；【解析】設(shè)截去小正方形的邊長(zhǎng)為x，則30×12-4x2＝296，∴x2＝16，x1＝-4(舍去)，x2＝4．4.【答案】C；【解析】設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，則乙的速度為（x+4）千米/時(shí).根據(jù)題意，得解之,得x1=16，x2=－2.經(jīng)檢驗(yàn)：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合題意，舍去.∴當(dāng)x=16時(shí)，x+4=20.5．【答案】A；【解析】設(shè)新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為x．.6．【答案】D；【解析】第一次倒出的是純酒精，而第二次倒出的就不是純酒精了．若設(shè)每次倒出x升，則第一次倒出純酒精x升，第二次倒出純酒精（·x）升．根據(jù)20升純酒精減去兩次倒出的純酒精，就等于容器內(nèi)剩下的純酒精的升數(shù)．20－x－·x＝5．二、填空題7．【答案】220.【解析】方法一，設(shè)增長(zhǎng)的百分率為x，則2010年盈利額為200(1+x)萬(wàn)元，2011年的盈利額為200(1+x)2萬(wàn)元，依題意得200(1+x)2＝242．解得x1＝10%，x2＝-2.1(舍去)，∴200(1+x)＝200(1+10%)＝220．方法二，設(shè)2010年的盈利額為x萬(wàn)元，則2010年增長(zhǎng)的百分率為，2011年增長(zhǎng)的百分率為，由增長(zhǎng)率相同可列方程，解得x1＝220，x2＝-220(舍去)8．【答案】2.5m.【解析】設(shè)留空的寬度為xm，則，解得x1＝15(舍去)，．9．【答案】1.【解析】如圖2所示設(shè)水渠的寬度為xm，即可耕土地的長(zhǎng)為(120-4x)m，寬為(78-3x)m．(120-4x)(78-3x)＝8700，即x2-56x+55＝0，解得x1＝1，x2＝55．當(dāng)x＝55時(shí)，3×55＝165＞78，(不合題意，舍去)．∴x＝1．答：水渠應(yīng)挖1m寬．10．【答案】35或53．【解析】設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字是(8-x)，由題意得[10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．化簡(jiǎn)得x2-8x+15＝0，解之得：x1＝3，x2＝5．經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝3，x2＝5都符合題意．答：原兩位數(shù)是35或53．11．【答案】10%．【解析】設(shè)該省今、明兩年治理水土流失的面積每年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)為x，依題意得：400+400(1+x)+400(1+x)2＝1324．即100x2+300x-31＝0．解得x1＝0.1＝10%，x2＝-3.1(不合題意，舍去)．答：今、明兩年治理水土流失的面積每年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)為10%．12.【答案】6.【解析】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高，∴AD=BD=CD=8cm，又∵AP=t，則S1=AP?BD=×8×t=8t，PD=8﹣t，∵PE∥BC，∴△APE∽△ADC，∴，∴PE=AP=t，∴S2=PD?PE=（8﹣t）?t，∵S1=2S2，∴8t=2（8﹣t）?t，解得：t=6．三、解答題13.【答案與解析】（1）設(shè)這地面矩形的長(zhǎng)是xm，則依題意得：x（20﹣x）=96，解得x1=12，x2=8（舍去），答：這地面矩形的長(zhǎng)是12米；（2）規(guī)格為0.80×0.80所需的費(fèi)用：96÷（0.80×0.80）×55=8