2021年北京新高考數(shù)學復習練習講義：4解三角形

4.4解三角形

探考情悟真題

【考情探究】預測熱土上考點內容解讀5年考情考題示例考向關聯(lián)考點.正弦、余弦定①理解正弦定理與余弦定理的推導過程②掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題2019北京

文，152016北京，152016北京

文，13.解三綜合應能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題2015北京，122015北京

文,11

2018北京

文，142017北京，15運用正弦定理、余弦定理解三角形運用余弦定理解三角形運用正弦定理、余弦定理解三角形運用正弦定理解三角形運用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等變換土上考點內容解讀5年考情考題示例考向關聯(lián)考點.正弦、余弦定①理解正弦定理與余弦定理的推導過程②掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題2019北京

文，152016北京，152016北京

文，13.解三綜合應能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題2015北京，122015北京

文,11

2018北京

文，142017北京，15運用正弦定理、余弦定理解三角形運用余弦定理解三角形運用正弦定理、余弦定理解三角形運用正弦定理解三角形運用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等變換三角恒等變換、三角函數(shù)的性質換元法，解二次方程二倍角公式三角形中“大邊對大角〃三角恒等變換分析解讀1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面幾何圖形中有關的量的問題分析解讀時,需要綜合應用兩個定理及三角形有關知識.2.正弦定理和余弦定理應用比較廣泛,也比較靈活,在高考中常與面積或取值范圍結合進行考查.3.利用數(shù)學建模思想,結合三角形的知識,解決生產實踐中的相關問題.在高考中常以解答題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)在選擇題和填空題中.破考點練考向【考點集訓】考點一正弦、余弦定理的應用1.（2020屆北京二中開學考試,5）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,貝U“a>b〃是“cos2A<cos2B'*T（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案C2.（2020屆北京東直門中學期中，16）在^ABC中，c=7,sinC：2山.5⑴若cosB=5,求b的值；7⑵若@+匕=11,求4ABC的面積.解析（1）在4ABC中，cosB=5,7/.sinB=V1-cos2B=2^6,7?.,c=7,sinC=2A5r246??由正弦定理可得b=w=二+=5.sinC2465（2）在^ABC中,a2+b2>（^+h）2=112>72=c2,2 2cosC=a2+'2-c2>0,VsinC=246,；.cosC』2ab 5 5又c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-2abcosC,a+b=11,c=7,/.72=112-2ab-2ab,Aab=30,5，△ABcmabsinC=1X30X246=646.考點二解三角形及其綜合應用.（2020屆北京八一學校開學考試，11）在△ABC中，a=1,b=47，且△ABC的面積為6,則2c=.答案2或243.（2018北京東城期末，12）在△ABC中，a=5,c=7,cosC=：則b=,△ABC的面積為.答案6;646.(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,至UA處時測得公路北側一垂直于路面的山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.答案100V6.(2020屆山東夏季高考模擬,18)在^ABC中,NA=90°,點D在BC邊上.在平面ABC內，過D作DFLBC且DF=AC.(1)若D為BC的中點,且^CDF的面積等于△ABC的面積,求NABC;(2)若NABC=45°,且BD=3CD,求cosNCFB.解析(1)因為CD=BD,所以CD=1bc.2由題設知DF=AC,1CD-DF=1AB-AC,因止匕CD=AB.22所以AB=1BC,因此NABC=60°.2⑵不妨設AB=1,由題設知bc=V2.由BD=3CD得BD=3AcD=2.4 4由勾股定理得CF干,BF=,.917由余弦定理得COSNCFB=8￡-2—二應12.2產產5144煉技法提能力【方法集訓】方法1三角形形狀的判斷.設^ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則4ABC的形狀為()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.不確定答案A.在^ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.⑴求角A的大小；⑵若sinB+sinC=V1試判斷△ABC的形狀.解析(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cosA=ft2+c2-ff2=1,2bc2因為0°<A<180°,所以A=60°.⑵因為A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=V3,得sinB+sin(120°-B)=V3,所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=j3.所以飛mB+^cosB=j3,IPsin（B+30°）=1.22因為0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°.所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC為等邊三角形.方法2解三角形的常見題型及求解方法.（2018北京朝陽二模,4）在^ABC中,a=1,NA=：,NB=；,則c=（）AV6+V2 bNgS c也 dVz答案A.（2020屆北京陳經綸中學開學考試,10）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=6,a=2c,B=n，則4ABC的面積為.答案6V3.（2018北京石景山一模，12）在△ABC中，NA=60°,AC=4,BC=2V3，則△ABC的面積等于.答案2V3.（2019北京豐臺二模文,14）在^ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,sinB=sin2A.①的值為；cosA②若a>c,則b的取值范圍是 .答案①6②（3,3V2）.（2020屆北京人大附中開學考試，11）在△ABC中，a=3,b=V13,B=60°,則c=;△ABC的面積為.答案4;3V3.（2019北京西城一模,15）在4ABC中，已知a2+c2-b2=mac,其中m￡R.⑴判斷m能否等于3,并說明理由；（2）若m=T,b=2j7,c=4,求sinA.解析（1）m不能等于3.理由如下：當m=3時，由題可知a2+c2-b2=3ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得cosB=a2+c2-b2=3,2ac2這與cosB￡[-1,1]矛盾，所以m不可能等于3.⑵由⑴得cosB=R=」，所以B=2n.2 2 3因為b=2V7,c=4,a2+c2-b2=-ac,所以a2+16-28=-4a,解得a=-6（舍）或a=2.在^ABC中，由正弦定理,得sinA=flsin￡=-2=x^=①.【五年高考】A組 自主命題?北京卷題組.（2015北京，12,5分）在^ABC中,a=4,b=5,c=6,則皿=.sinC答案1TOC\o"1-5"\h\z.（2018北京文,14,5分）若^ABC的面積為&（a2+c2-b2）,且NC為鈍角，則NB=尸的4 a取值范圍是 .答案n;（2,+8）3.（2016北京文,13,5分）在4ABC中,NA=2n,a=V3c,貝心二 .3 c答案1.（2015北京文,11,5分）在^ABC中,a=3,b=V6,NA=2n,則NB=.答案n4.（2019北京文,15,13分）在4ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-1.2

(1)求b,c的值；⑵求sin(B-C)的值.解析本題主要考查余弦定理及正弦定理的應用，旨在考查學生在解三角形中的運算求解能力，以求三角形的邊為背景考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)和方程思想(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2X3XcX(-1因為b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2X3XcX(-2)解得c=5.所以b=7.(2)由cos8=」得sinB=^3.由正弦定理得sinA=^由正弦定理得sinA=^sinB=3^3b在4ABC中，B+C=n-A.14所以sin(B+C)=sinA=3^3.146.(2018北京,15,13分)在4ABC中,a=7,b=8,cosB=-1.7(1)求NA;⑵求AC邊上的高.解析(1)在4ABC中，因為cosB=-1,所以sinB=VTC^=4^.由正弦定理得sinA3nB=聲b2由題設知n<N8<一所以0<NA<n.所以NA=n.3(2)在^ABC中,因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3^3,14所以AC邊上的高為asinC=7X裳3=袁314 2方法總結處理解三角形相關的綜合題目時,首先要掌握正弦、余弦定理,其次結合圖形分析哪些邊、角是已知的，哪些邊、角是未知的，然后將方程轉化為只含有邊或角的方程，最后通過解方程求出邊或角.7.(2017北京，15,13分)在4ABC中，NA=60°,c=3a.

(1)求sinC的值；⑵若a=7,求^ABC的面積.解析本題考查正、余弦定理的應用，考查三角形的面積公式.(1)在4ABC中，因為NA=60°,c=3a,7所以由正弦定理得sinC=w=3XGWa7 2 14⑵因為a=7,所以c=3X7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2bX3X1,2解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面積S=1bcsinA=1X8X3X^3=6V3.22 2解后反思根據所給等式的結構特點,利用正弦定理將邊的關系轉化為角的關系是解題的關鍵.在求解面積時,經常用余弦定理求出兩邊乘積.8.(2016北京，15,13分)在^ABC中,a2+c2=b2+V2ac.⑴求N_8的大?。?2)求J2cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及題設得cosB=3屜=五三點2ac2ac2又因為0<NB<n,所以NB=n.4（2）由（1）知NA+NC=:.J2cosA+cosC=j2cosA+cosg^-A）=J2cosA-^2cosA+AinA=J=J2cosA+J222sinA=cos（4-n）.因為0<NA<3,4所以當NA=n時，J2cosA+cosC取得最大值1.4思路分析第⑴問條件中有邊的平方和邊的乘積,顯然應選用余弦定理求解.第⑵問用三角形內角和定理以及三角恒等變換將原三角函數(shù)式化為只含一個角的三角函數(shù)式再注意角的取值范圍,即可得出答案.評析本題考查余弦定理、三角恒等變換及三角函數(shù)的性質屬中檔題.B組統(tǒng)一命題、?。▍^(qū)、市）卷題組考點一正弦、余弦定理的應用1.（2019課標全國I文,11,5分）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA-bsinTOC\o"1-5"\h\zB=4csinC,cosA=-1,則，=（ ）4cA.6 B.5 C.4 D.3答案A.（2018課標全國11,6,5分）在^ABC中，cosj￡,BC=1,AC=5,則AB=（）25A.4V2 B.V30C.V29 D.2V5答案A.（2019浙江,14,6分）在^ABC中，NABC=90°,AB=4,BC=3,點D在線段AC上.若NBDC=45°,則BD=,cosNABD=.答案12,2.岳5 10.（2019課標全國II文,15,5分）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.答案3n.（2018浙江,13,6分）在^ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=V7,b=2,A=60°,則"sinB=,c=.答案而;3.（2016課標1,13,5分）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=4,cosC=-5,a=1,5 13貝"b=.答案2113.（2019課標全國0,18,12分）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin"=bsin2A.⑴求B;⑵若^ABC為銳角三角形,且c=1,求^ABC面積的取值范圍.解析本題考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面積公式以及學生對三角恒等變換的掌握情況;考查學生邏輯推理能力和運算求解能力;考查了邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).(1)由題設及正弦定理得sinAsin&"=sinBsinA.2因為sinAx0,所以sin^+c=sinB.2由A+B+C=180°,可得sin&"=cos',22故cos￡=2sin￡cos￡.2 2 2因為cosJ0,故sinH=1,因此B=60°.2 22⑵由題設及(1)知^ABC的面積SAa^^a.△ABC4由正弦定理得a=3=sind2°F=幺-+1.sinCsinC2tanC2由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°,0°<C<90°.由⑴知A+C=120°,所以30°<C<90°,故1<a<2,2從而百應ab§因此,△ABC面積的取值范圍是(，，F(xiàn)).思路分析⑴用正弦定理將邊化成角,再利用三角恒等變換求解角B.⑵先用正弦定理表示出邊a,再用面積公式和銳角三角形的性質求出角C的范圍,進而求出△ABC面積的取值范圍.8.(2019天津，15,13分)在^ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.⑴求cosB的值；(2)求sin(2B+n)的值.解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查運算求解能力.體現(xiàn)了對數(shù)學運算這一核心素養(yǎng)的重視.⑴在^ABC中，由正弦定理-i-i2-,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因為b+c=2a,得至1」b=4a,c=2a.3 3由余弦定理可得cosB二心+2星二七三2二」.TOC\o"1-5"\h\z2ac 2,a.2a 4(2)由(1)可得sinB=V1-cos23=^15,4從而sin2B=2sinBcosB=-^15,cos2B=cos2B-sin2B=-7,8 8故sin(2B+n)=sin2Bcosn+cos2Bsinn=-^5x6-7x1=-^5+7.\ 6, 6 6 8 28 2 16思路分析⑴由已知邊角關系3csinB=4asinC,利用正弦定理,得三邊比例關系,根據余弦定理即可求出cosB.⑵由⑴利用同角三角函數(shù)基本關系,求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入兩角和的正弦公式即可求出sin&B+江）的值.易錯警示角B為三角形內角,故sinB>0,由cosB求sinB僅有一正解.9.(2018課標1,17,12分)在平面四邊形ABCD中，NADC=90°,NA=45°,AB=2,BD=5.(1)求cosNADB;(2)若DC=2V2,求BC.解析(1)在4ABD中，由正弦定理知皿=一^.sin團4sin^ADB故-^―=—2—,所以sinNADB=￡.sin45°sin團4。8 5由題設知,NADB<90°,所以cosNADB=d1-：=彳3.(2)由題設及(1)知,cosNBDC=sinNADB二應.5在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2-BD-DC-cosNBDC=25+8-2X5X2V2X區(qū)=25.所以5BC=5.方法總結正、余弦定理的應用原則：⑴正弦定理是一個連比等式,在運用此定理時,只要知道其中一對的比值或等量關系就可以通過該定理解決問題,在解題時要學會靈活運用.⑵運用余弦定理時,要注意整體思想的應用.⑶在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應移項提取公因式,以免漏解.

(4)在利用正弦定理求三角形解的個數(shù)問題時,可能會出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,所以解答此類問題時需要進行分類討論,以免漏解或增解.考點二解三角形及其綜合應用.(2018課標0,9,5分)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若^ABC的面積為足金,4)B.n)B.n C.n D.工3 4 6A.n2答案C.(2016課標m,8,5分)在4ABC中,B=n,BC邊上的高等FBC,則cosA=(43A3,10A3,1010B.S10C310D.-疝10答案C.(2017浙江,14,6分)已知^ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是,cosNBDC=.答案V15.^10;4.(2019課標全國1,17,12分)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.⑴求A;(2)若V2a+b=2c,求sinC.解析本題主要考查學生對正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換的掌握;考查了學生的運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學運算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos4二山J二1.2bc2因為0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由題設及正弦定理得V2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即據+6cosC+1sinC=2sin&可得cos(C+60°)=-^.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=區(qū)，故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)?sin60°=‘6+’2.4思路分析⑴先借助正弦定理將角化為邊,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,進而得出角A.(2)利用正弦定理將已知等式中的邊化為角，利用三角恒等變換將原式化為含有角C的正弦、余弦的等式，利用角度變換求出sinC.5.(2019江蘇,15,14分)在^ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.(1)若a=3c,b=V2,cosB=2,求c的值;(2)若皿=3,求sin(B+n)的值.解析本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關系、誘導公式等基礎知識考查運算求解能力.(1)因為a=3c,b=V2,cosB=2,3由余弦定理cosB=a2+c2?2,得2=(3畀2-(旬2,2ac32x3cxc即c2=1.所以c=033(2)因為皿=a2b由正弦定理=上,得3=^,所以cosB=2sinB.sin4sinB2bb從而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=4.5因為sinB>0,所以cosB=2sinB>0,從而cosB=2^5.5因此siNB+jAcosB^.6.(2018天津,15,13分)在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acos(B-n).6(1)求角B的大?。?2)設a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎知識,考查運算求解能力.(1)在4ABC中，由正弦定理j-二-22-,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos（B-n）,得asinB=acos（B-n）,'6， '6,即sinB=cos（B-n）,可得tanB=V3.又因為B￡（0,n）,可得Br.⑵在△ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=:有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=j7.由bsinA=acos（B-n）,可得sinA=^3.又a<c,故cosA=-2.\6J V7 5因此sin2A=2sinAcosA=4^3,cos2A=2cos2A-1=1.所以，sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2Asin77B=4,3*1-1*，?=?，?7 27 2 147.（2017課標1,17,12分必ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知^ABC的面積為十.（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1,a=3,求^ABC的周長.解析本題考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換,考查學生利用三角形面積公式進行運算求解的能力.（1）由題設得%。$血8=-^2-,即P1csinB=—0—.2 3sina2 3sin4由正弦定理得^inCsinB=-sin^-.2 3sin4故sinBsinC=2.3⑵由題設及⑴得cosBcosC-sinBsinC=-1,2即cos（B+C）=；.所以B+C=：,故A=：.由題設得1bcsinA=^,即bc=8.2 3sin4由余弦定理得b2+c2-bc=9,即（b+c）2-3bc=9,得b+c=V33.故^ABC的周長為3+V33.思路分析（1）首先利用三角形的面積公式可得1acsinB=*J然后利用正弦定理，把邊轉化成角的形式,即可得出sinBsinC的值；（2）首先利用sinBsinC的值以及題目中給出的6cosBcosC=1,結合兩角和的余弦公式求出B+C,進而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,進而得出^ABC的周長.方法總結解三角形的綜合應用.⑴應用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉化為僅有邊或僅有角的形式以便進一步化簡計算，例如:將1csinB=變形為1sinCsinB=sin^-.2 3sin4 2 3sin4⑵三角形面積公式:S=%bsinC=1acsinB=1bcsinA.222⑶三角形的內角和為n.這一性質經常在三角化簡中起到消元的作用，例如：在△ABC中，sin（B+C）=sinA.8.（2016課標1,17,12分）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c.⑴求C;⑵若c=V7,△ABC的面積為氧3,求^ABC的周長.2解析（1）由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=；所以C=：.(2)由已知,得1absinC=3&又C=nL,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.；.a+b=5.所以△ABC的周長為5+V7.9.（2015課標H,17,12分）△ABC中,D是BC上的點,AD平分NBAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.(1成3；sin團C(2)若AD=1,DC=3,求BD和AC的長.2解析(1)、ABD^BMsinNBAD，S&ADC=1AC-ADsinZCAD.因為'△abd=2S△adc,NBAD=NCAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得3="=1.sin0C482⑵因為，ABD："ADC=BD：DC，所以bd=V2.在^ABD和^ADC中，由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由⑴知AB=2AC,所以AC=1.C組教師專用題組考點一正弦、余弦定理的應用TOC\o"1-5"\h\z1.（2013北京文，5,5分）在4ABC中,a=3,b=5,sinA=1,則sinB二（ ）A.1B.5C.區(qū)D.15 9 3答案B.（2017山東,9,5分）在4ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若^ABC為銳角三角形,且滿足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是（ ）A.a=2b B.b=2aC.A=2B D.B=2A答案A.（2016天津,3,5分）在^ABC中，若AB=V13,BC=3,NC=120°,則AC=（）A.1 B.2 C.3 D.4答案A.（2015天津,13,5分）在^ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知^ABC的面積為3d15,b-c=2,cosA=-1,則Ua的值為.4答案8.（2015廣東,11,5分）設^ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=d3,sinB=1,C=n,則2 6b=.答案1.（2014北京，12,5分）在4ABC中，a=1,b=2,cosC」,則c=;sinA=.答案2;而8.（2012北京文,11,5分）在^ABC中,若a=3,b=d3,NA=：,則NC的大小為.答案n2.（2012北京，11,5分）在4ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=-1,貝Ub=.4答案4.（2011北京,9,5分）在4ABC中，若b=5,NB=n,tanA=2,則sinA=;a=.4答案2^;2V10.（2015安徽,16,12分）在^ABC中，NA卯,AB=6,AC=3d2,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的4長.解析設^ABC的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosNBAC=（3V2）2+62-2X3夜X6Xcos3n=18+36-（-36）=90,所以4a=3V10.又由正弦定理得sinB=3^=f=W0,a 3V1010由題設知0<B<n,所以cosB=V1-sin2B=V1--L=缶.4 10 10在^ABD中，由正弦定理得AD=皿血=6sinRsin（n-2B）2sinBcosB=-3-=Vio.cosB考點二解三角形及其綜合應用1.（2014江西,4,5分）在4ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=（a-b）2+6,C=n,則3△ABC的面積是（）A.3B.3 C.虻 D.3V3答案C2.（2018江蘇,13,5分）在^ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,NABC=120°,NABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為，答案3.（2014山東,12,5分）在^ABC中，已知/B-AC=tanA,當A=n時,△ABC的面積為.6答案164.（2014四川，13,5分）如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,此時氣球的高是46m,則河流的寬度BC約等于m.（用四舍五入法將結果精確到個位.參考數(shù)據:sin67°*0.92,cos67°~0.39,sin37°~0.60,cos5.(2016浙江，16,14分)在^ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)證明：A=2B;⑵若^ABC的面積S=%求角A的大小.4解析(1)證明：由題意及正弦定理得sinB+sinC=2sinA-cosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B￡(0,n),故0<A-B<n,所以8=冗-&-8)或8=4-8,因此A=n(舍去)或A=2B,所以，A=2B.(2)由S=LL2^1absinC=LL2,故有sinBsinC=-Lsin2B=sinBcosB.又sinBM,所以sinC=cosB.因為B,C￡(0,n),所以C=n±B.L當B+C=n時，A=n;當C-B=n時，A=n.LLL4綜上,A=n或三L46.(2014湖南，18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=V7.(1)求cosNCAD的值；(2)若cosNBAD=-^7,sinZCBA=^L1,求BC的長.解析（1）在4ADC中，由余弦定理得cosNCAD/^MQJWj.TOC\o"1-5"\h\z24C/D 2,77(2)設NBAC二a,貝ua=NBAD-NCAD.因為cosNCAD=2必，cosNBAD=-^7,7 14所以sinNCAD=V1-cos2回CAD=，1-(后)=^21,77sinNBAD=41-cos2回BAD?1-(-@二3^21'14， 14于是sina=sin(NBAD-NCAD)=sinNBAD-cosNCAD-cosNBAD-sinNCADXVXVzi=V3I7 2=3^21x14在^ABC中，由正弦定理,得皿=sinasin團CB4故bc==^23=3.sin團CB4V2167.(2014北京,15,13分)如圖,在4ABC中,NB=n,AB=8,點D在BC邊上,且CD=2,cosNADC」.3 7(1)求sinNBAD;(2)求BD,AC的長.解析(1)在4ADC中，因為cosNADC=1,7所以sinNADC=4&所以sinNBAD=sin(NADC-NB)=sinNADC-cosB-cosNADC-sinB=4,3x1-1X,3=3,37 27 2 14(2)易知sinNADB=sin(n-NADC)=sinNADC=4W在^ABD中，由正弦定理得73,3BD=/B?sin團B/D=8又赴=3sin團4。8 4V37在^ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB=82+52-2X8X5X1=49.所以AC=7.思路分析（1）先得到sinNADC的值和NBAD=ZADC-ZB,再用兩角差的正弦公式求值.（2）在^ABD中利用正弦定理求BD,然后在△ABC中利用余弦定理求AC.評析本題考查了三角恒等變換,及利用正、余弦定理解三角形；考查分析推理、運算求解能力.【三年模擬】一、選擇題（每小題5分，共10分）1.（2019北京西城一模文,5）在4ABC中，已知a=2,sin（A+B）=1,sinA=1,則c=（ ）3 4A.4 B.3C.8D.433答案C2.（2019北京朝陽一模文,4,5分）已知在△ABC中,NA=120°,a=V21,△ABC的面積為V3.若b<c,則c-b=（ ）A.V17 B.3 C.-3 D.-V17答案B二、填空題（每小題5分，共30分）.（2019北京房山一模,11,5分）在^ABC中，已知BC=6,AC=4,sinA=3,則NB=.4答案n6.（2019北京東城一模,10）在4ABC中，若bcosC+csinB=0,貝物C=.答案3n4.（2019北京海淀一模,10）在4ABC中,a=4,b=5,cosC=1,則Uc=,S△AB= .答案6;山74.（2018北京海淀二模,12）在^ABC中，a：b：c=4：5：6，則tanA=.答案值3.（2019北京豐臺期末,10）在4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a>b,且夜a=2bsinA,則B=.答案n4.（2020屆北師大附中期中，11）設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,貝物C=.答案2n3三、解答題（共140分）.（2019北京石景山一模，16）在^ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=2V3,c=3,cosB=-1.3(1)求sinC的值；(2)求^ABC的面積.解析(1)在4ABC中，cosB=-i,3.'sinB=V1-cos2B=V1-(-1)2=遙.由b=2/3,c=3,及~^~=得迄=,；.sinC=*.sinBsinC2V2sinC 33(2)由b2=a2+c2-2accosB得12=a2+9-2X3aX(-1),，a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3(舍)，/.S.=1acsinB=1X1X3X2v2=V2.△ABC2 2 3.(2019北京通州期末，15)如圖，在△ABC中，NA=n，AB=4,BC=V17,點D在AC邊上，且cosZADB=-1.3⑴求BD的長；(2)求^BCD的面積.解析(1)在4ABD中，因為cosZADB=-1,3所以sinZADB=2④.由正弦定理得~^~=sin團84。sintMDB所以BD=9sinMAD=2=3.sin團4。8 2V23(2)因為NADB+ZCDB=n,所以cosZCDB=cos(n-zADB)=-cosZADB=1,3所以sinZCDB=R2.在4BCD中，由BC2=BD2+CD2-2BD-CD-cosZCDB,得17=9+CD2-2X3XCDX1,3解得CD=4或CD=-2(舍).所以△BCD的面積S=1BD-CD-sinZCDB=1X3X4X/=4V2.2 3.(2019北京西城期末,15)在4ABC中，a=3,b=2/6,B=2A.⑴求cosA的值；⑵試比較B與C的大小.解析(1)在4ABC中,a=3,b=2V6,B=2A,由=上,得d=二,即=W6,解得cosA=V6.sin4sinBsin4sin24sin42sin4cos4 3⑵由A￡(0,n),得sinA=，1-cos2A=6.3因為B=2A,所以cosB=cos2A=2cos2A-1=1.3所以sinB=V1-cos2B=2^2.3又因為A+B+C=n,所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=1.所以cosB>cosC.又因為函數(shù)y=cosx在(0,n)上單調遞減，且B,C￡(0,n),所以B<C..(2020屆北京朝陽期中，17)在^ABC中"8=2近，點P在BC邊上,且ZAPC=60°,BP=2.(1)求AP的值；(2)若PC=1,求sinZACP的值.解析(1)VZAPC=60°,...ZAPB=120°,在△ABP中,AB=2V7,BP=2,ZAPB=120°,由余弦定理得AB2=AP2+BP2-2AP-BP-cosZAPB,即28=AP2+4-2APX2X(-1),；?AP2+2AP-24=0,解得AP=4或AP=-6(舍).

(2)在^APC中,AP=4,PC=1,NAPC=60°,?.AC2=AP2+PC2-2AP-PC-cosZAPC=16+1-2X4X1X1=13,/AC=V13,2?..V3Z.sinzACP=3^4=3ac V131313.（2019北京清華大學中學生標準學術能力測試,17）在4ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=3,cosC=—L,5sin(B+C)=3sin(A+C).(1)求c;解析(1)由5sin(B+C)=3sin(A+C)得5sinA=3sinB,/?由正弦定理得5a=3b.=36,???a=3,/.b=5.=36,./c2=a2+b2-2abcosC=32+52-2X3X5X/.c=6.（2）在^ABC中，由余弦定理得cosB=H2星=52ac9/.sinB=2^14,9?/sin(B-n)=sinBcosn-cosBsinn=2'14-5'313， 3 3 1814.（2020屆北師大附中期中，16）在^ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，且a2=b2+c2+bc.⑴求A的大?。?2)若sinB+sinC=1,b=2,試求△ABC的面積.解析(1)*/a2=b2+c2+bc,./由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可知，cosA=T2XAe(0,n),/A=2n.3(2)：sinB+sinC=1,./sinB+sin(n-B)=1,/.sinB+sinn-cosB-cos1n?sinB=1,/AosB+1sinB=1,/.sin(B+n)=1,,?^是4ABC的內角,.\B=n,AC=n-A-B=n,Ac=b=2,6 6.，.S人=1bcsinA=1X2X2X^3=V3.△ABC2 2 2.(2019北京東城期末，15)在4ABC中,V2csinAcosB=asinC.(1)求NB的大小；⑵若^ABC的面積為a2,求cosA的值.解析(1)在^ABC中，由正弦定理得csinA=asinC,所以cosB=明n/二退.，2csin42乂0</8<~所以/B=n.4⑵因為△ABC的面積S=1acsinn=a2,所以c=26a.24由余弦定理得b2=a2+8a2-2a2V2a當所以b=V5a.所以cosA二〃2+c2-a2二5a2+8a2-g2=3所以cosA二2bc 2-V5a-2V2a10.(2020屆北京四中期中,20)在^ABC中，已知莊二^.acos4(1)求角A的大小；⑵若a=2V5,求^ABC面積的最大值.解析(DTRTos^.XZc-bhosA=acosB,.,.由正弦定理得(2sinC-sinB)-cosA=sinAcosacos4B,；.2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,VsinCw0,；.cosA=1,又2VAE(0,n),AA=n.3(2)由cosA=b2+'2-a2=1,a=2V5,26c 2可知bc=b2+c2-20N2bc-20,Abc<20,當且僅當b=c時取等號，.，.$△ABC=1bcsinA<5V3,即^ABC面積的最大值為5V3..(2018北京朝陽一模,16)在^ABC中，已知sinA=，,b=2acosA.⑴若ac=5,求^ABC的面積；⑵若B為銳角，求sinC的值.解析(1)由正弦定理徼=3,bsinB因為b=2acosA,所以sinB=2sinAcosA,cosA">0,因為sinA”，5所以cos5所以sinB=2X^X^=^5 5 5所以^^acsinB=1X5X4=2.⑵由(1)知cosA=2^,sinB=4,5 5因為B為銳角，所以cosB=\5所以sinC=sin(冗-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=^Xx555 5 25.(2019北京朝陽期末,15)在^ABC中，已知A=^,cosC=12,BC=13.4 13⑴求AB的長；⑵求BC邊上的中線AD的長.解析⑴在△ABC中，由于cosC=i25所以0?<匕所以sinC=i,由此二也得13 2 13sinCsindAB=BC-^=13xS=5V2.sind地2⑵在^ABC中,cosB