精選浙江省2023屆中考數(shù)學(xué)：第28講《圖形的相似(1)相似形》名師講練(含答案)

浙江省2023屆中考數(shù)學(xué)：第28講?圖形的相似(1)相似形?名師講練(含答案)第28講圖形的相似第1課時相似形1．比例線段考試內(nèi)容考試要求比例線段定義在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段．a(chǎn)根本性質(zhì)假設(shè)eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc.當(dāng)b＝c時，b2＝ad，那么b是a、d的比例中項．黃金分割點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC)，如果AC是線段AB和BC的比例中項，且eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，那么點C叫做線段AB的黃金分割點．2.平行線分線段成比例考試內(nèi)容考試要求根本事實兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段．c推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例．3.相似圖形的有關(guān)概念考試內(nèi)容考試要求相似圖形____________________相同的圖形稱為相似圖形．a(chǎn)相似多邊形兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別，邊，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應(yīng)的比叫做相似比．(1)相似多邊形周長的比等于相似比；(2)相似多邊形面積的比等于相似比的平方相似三角形兩個三角形的三個角分別_，三條邊，那么這兩個三角形相似．當(dāng)相似比等于1時，這兩個三角形．4.相似三角形的判定考試內(nèi)容考試要求判定1____________________于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．a(chǎn)判定2三邊的兩個三角形相似．判定3兩邊且夾角的兩個三角形相似．判定4兩角分別的兩個三角形相似．判定5滿足斜邊和一條直角邊的兩個直角三角形相似．拓展直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個三角形都與原三角形相似．5.相似三角形的性質(zhì)考試內(nèi)容考試要求性質(zhì)1.相似三角形的對應(yīng)角，對應(yīng)邊．a(chǎn)2.相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比和周長的比都等于．3.相似三角形面積的比等于相似比的____________________.三角形的重心三角形三條中線的交點叫做重心．三角形的重心分每一條中線成1∶2的兩條線段．拓展如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，那么有以下結(jié)論．①AC2＝AD·AB；②BC2＝BD·AB；③CD2＝AD·BD；④AB·CD＝AC·BC.考試內(nèi)容考試要求根本思想轉(zhuǎn)化思想：證角相等，證比例線段往往轉(zhuǎn)化為證相似三角形；測量問題，往往構(gòu)建相似三角形，即實際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形問題來解決．b(2023·杭州)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，假設(shè)BD＝2AD，那么()A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)B.eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2)C.eq\f(AD,EC)＝eq\f(1,2)D.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)2．(2023·嘉興)如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn).AC與DF相交于點H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，那么eq\f(DE,EF)的值為()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)3．(2023·嘉興)如圖是百度地圖的一局部(比例尺1∶4000000)．按圖可估測杭州在嘉興的南偏西____________________度方向上，杭州到嘉興的圖上距離約2cm，那么杭州到嘉興的實際距離約為____________________．【問題】如圖，點D在△ABC的邊AC上．(1)要判斷△ADB與△ABC相似，添加一個條件是____________________；(2)假設(shè)△ADB∽△ABC，AB＝4，AD＝2，那么AC＝________；(3)通過(1)、(2)解答，你能說出相似三角形哪些知識？【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理比例、相似多邊形有關(guān)概念，相似三角形性質(zhì)、判定．類型一比例性質(zhì)、黃金分割等相關(guān)概念eq\a\vs4\al(例1)(1)(2023·山西)寬與長的比是eq\f(\r(5)－1,2)(約0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點E、F，連結(jié)EF；以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點H，那么圖中以下矩形是黃金矩形的是()A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH【解后感悟】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF的長，再根據(jù)DF＝GF求得CG的長，最后根據(jù)CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形．eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(z,6)≠0，求eq\f(x＋y－z,x－y＋z)的值．【解后感悟】這類題我們一般是設(shè)輔助未知數(shù)k，即比值為k，把所有字母都用含有k的式子表示出來，從而到達計算或化簡的目的．1．在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比．這本書的長為20cm，那么它的寬約為()A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm(2023·揚州)如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個點A、B、C都在橫格線上，假設(shè)線段AB＝4cm，那么線段BC＝cm.類型二相似多邊形eq\a\vs4\al(例2)矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，假設(shè)四邊形EFDC與矩形ADCB相似，那么AD＝()A.eq\f(\r(5)－1,2)B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\r(3)D．2【解后感悟】解題關(guān)鍵是根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比等于相似比．3．(2023·葫蘆島)如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，連結(jié)AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再連結(jié)AC1，以對角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，那么矩形ABnCnCn－1的面積為____________________．類型三相似三角形的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al(例3)(2023·南充)正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內(nèi)一動點，假設(shè)點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連結(jié)CM.(1)如圖1，假設(shè)點M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM＝AN；(2)①如圖2，在點P運動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時，AP⊥BN和AM＝AN是否成立？(不需說明理由)②是否存在滿足條件的點P，使得PC＝eq\f(1,2)？請說明理由．【解后感悟】此題考查相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用相似三角形性質(zhì)解決問題，最后一個問題利用圓的位置關(guān)系解決問題．(1)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，那么S△ADE∶S四邊形BCED的值為()A．1∶eq\r(3)B．1∶2C．1∶3D．1∶4(2023·河北)如圖，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是()5．(1)(2023·自貢)將一副三角板按圖疊放，那么△AOB與△DOC的面積之比等于.(2)(2023·無錫市南長區(qū)模擬)如圖，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D為AB的中點，過點D的直線與BC所在直線交于點E，假設(shè)直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似，那么DE＝.類型四與相似三角形相關(guān)的問題eq\a\vs4\al(例4)如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE＝4，CD＝6，那么AE的長為()A．4B．5C．6D．7【解后感悟】此題運用圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是得出∠CAD＝∠CDB，證明△ACD∽△DCE.(1)：在△ABC中，BC＝10，BC邊上的高h＝5，點E在邊AB上，過點E作EF∥BC，交AC邊于點F.點D為BC上一點，連結(jié)DE、DF.設(shè)點E到BC的距離為x，那么△DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為()(2)(2023·杭州模擬)在研究相似問題時，甲、乙同學(xué)的觀點如下：甲：將邊長為3，4，5的三角形按圖①的方式向外擴張，得到新的三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，那么新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外擴張，得到新矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，那么新矩形與原矩形不相似．對于兩人的觀點，以下說法正確的選項是()A．兩人都對B．兩人都不對C．甲對，乙不對D．甲不對，乙對(2023·濱州)如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，假設(shè)∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y＝－eq\f(1,x)、y＝eq\f(2,x)的圖象交于B、A兩點，那么∠OAB的大小的變化趨勢為()A．逐漸變小B．逐漸變大C．時大時小D．保持不變7．(2023·龍東)，在平行四邊形ABCD中，點E在直線AD上，AE＝eq\f(1,3)AD，連結(jié)CE交BD于點F，那么EF∶FC的值是.【課本改變題】教材母題－－浙教版教材九上第149頁第5題課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm?小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．(1)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．(2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求到達這個最大值時矩形零件的兩條邊長．【方法與對策】此題是課本改變題，試題設(shè)置上主要是三角形和矩形的組合，通過根本圖形是相似三角形，揭示對應(yīng)邊成比例的關(guān)系式來解決問題，再深入探究，規(guī)律性較強，這種題型是中考常用的命題方式．【找不準(zhǔn)相似三角形中的對應(yīng)邊】如圖，△ABC中，點D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，那么以下結(jié)論一定正確的選項是()A．AB2＝BC·BDB．AB2＝AC·BDC．AB·AD＝BD·BCD．AB·AD＝AD·CD參考答案第28講圖形的相似第1課時相似形【考點概要】2．成比例3.形狀相等成比例邊相等成比例全等4.平行成比例成比例相等相等成比例5.相等成比例相似比平方【考題體驗】1．B2.D3.4580km【知識引擎】【解析】(1)添加條件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC或者eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)；(2)由△ADB∽△ABC，得eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)，得AC＝8；(3)相似三角形知識：性質(zhì)、判定等．【例題精析】例1(1)設(shè)正方形的邊長為2，那么CD＝2，CF＝1.在直角三角形DCF中，DF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴FG＝eq\r(5)，∴CG＝eq\r(5)－1，∴eq\f(CG,CD)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴矩形DCGH為黃金矩形．應(yīng)選D.(2)設(shè)eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(z,6)＝k(k≠0)，根據(jù)題意，得x＝3k，y＝4k，z＝6k，所以eq\f(x＋y－z,x－y＋z)＝eq\f(3k＋4k－6k,3k－4k＋6k)＝eq\f(k,5k)＝eq\f(1,5).例2B例3(1)如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM＝∠PBC，eq\f(PM,PC)＝eq\f(AM,BC)＝eq\f(PA,PB)，∵∠PBC＋∠PBA＝90°，∴∠PAM＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°，∴△BAP∽△BNA，∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(AN,AB)，∴eq\f(AN,AB)＝eq\f(AM,BC)，∵AB＝BC，∴AN＝AM.(2)①仍然成立，AP⊥BN和AM＝AN.理由如圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM＝∠PBC，eq\f(PM,PC)＝eq\f(AM,BC)＝eq\f(PA,PB)，∵∠PBC＋∠PBA＝90°，∴∠PAM＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°，∴△BAP∽△BNA，∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(AN,AB)，∴eq\f(AN,AB)＝eq\f(AM,BC)，∵AB＝BC，∴AN＝AM.②這樣的點P不存在．理由：假設(shè)PC＝eq\f(1,2)，如圖3中，以點C為圓心eq\f(1,2)為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓，CO＝eq\r(BC2＋BO2)＝eq\f(\r(5),2)＞eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，∴兩個圓外離，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，∴假設(shè)不可能成立，∴滿足PC＝eq\f(1,2)的點P不存在．例4設(shè)AE＝x，那么AC＝x＋4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵∠CD