華中師范大學(xué)2023年隨機(jī)過(guò)程試題A卷附答案

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----------------學(xué)號(hào)：--------------線：姓名學(xué)生------封-：年級(jí)------------------密--專業(yè)：----------------：）院（系華中師范大學(xué)2023–2023學(xué)年第1學(xué)期期末考試試卷（A卷答案）課程名稱應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程課程編號(hào)83610101任課教師李波題型一二三四五總分分值1026302410100得分得分評(píng)閱人一、判斷題：（共5題，每題2分）1．隨機(jī)過(guò)程X(t,?)固定?時(shí)可以看成是一個(gè)t的函數(shù)，稱為過(guò)程的一個(gè)軌道。（T）2．泊松過(guò)程是連續(xù)時(shí)間馬氏鏈，是純生過(guò)程的一個(gè)特例。（T）3．有限狀態(tài)的馬氏鏈狀態(tài)的一個(gè)狀態(tài)i假使正常返就是遍歷。（F）4．零均值獨(dú)立隨機(jī)變量序列的部分和是鞅。（T）5．設(shè)Bt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則Yt?tBt也是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。（F）得分評(píng)閱人二、證明題：（共3題，6、7題8分8題10分，）6．14．設(shè)X1(t)和X2(t)是分別具有參數(shù)?1和?2的相互獨(dú)立的泊松過(guò)程，證明（1）Y(t)?X1(t)?X2(t)是具有參數(shù)?1+?2的泊松過(guò)程；（2）證明Z(t)?X1(t)?X2(t)不是泊松過(guò)程。證明(1)顯然{Y(t)}是獨(dú)立增量過(guò)程，且P{Y(t??)?Y(t)?n}=P{X1(t??)?X2(t??)?X1(t)?X2(t)?n}

?P{X1(t??)?X1(t)?X2(t??)?X2(t)?n}=?i?0nP{X2(t??)?X2(t)?n?i}?P{X1(t??)?X1(t)?i}??1?=?i?0ne(?1?)i(?2?)n?i??2???e?i!(n?i)!=e?(?1??2)?((?1??2)?)n故{Y(t)}聽從參數(shù)(?1??2)的泊松過(guò)程。5分n!（2）EZ(t)?E[X1(t)?X2(t)]?EX1(t)?EX2(t)?(?1??2)t,DZ(t)?D[X1(t)?X2(t)]?DX1(t)?DX2(t)?(?1??2)t由于EZ(t)?DZ(t)，故Z(t)不是泊松過(guò)程。8分7.設(shè)X(n)?sinUn,n?N，這里U為(0,2?)上的均勻分布。證明X(n)?sinUn是寬平穩(wěn)過(guò)程。EX(n)??2?0sintn1dt?03分2?EX(n)X(n??)??2?02?11sin(tn)sin[(n??)t]dt??{cos[(2n??)t]?cos[?t]}dt02?2???cos[?t]02?1dt只與?有關(guān)。所以是寬平穩(wěn)過(guò)程。8分2?8．設(shè)Zi,i?1,2,...為一串獨(dú)立同分布的離散隨機(jī)變量，P(Zi?k)?pk,nk?0,1,2,...記Xn??Zi，X0?0試證Xn為馬氏鏈，寫出Xn的狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移矩陣。i?1證明：獨(dú)立增量所以馬氏狀態(tài)空間{0,1,2,}5分?p0??0?0轉(zhuǎn)移矩陣P????0???p1p000p2p1p00p3p2p1p0?????8分?p1????第1頁(yè)(共3頁(yè))

密封線得分評(píng)閱人三、計(jì)算題：（共3題，每題10分）9．某網(wǎng)站以顧客的接入時(shí)長(zhǎng)收費(fèi)，每單位時(shí)間一元錢。假設(shè)顧客以強(qiáng)度?的Poisson過(guò)程N(yùn)(t)進(jìn)入該網(wǎng)站，進(jìn)入即開始計(jì)算使用時(shí)長(zhǎng)，試計(jì)算該網(wǎng)站(0,t]收益的期望。解：由題意設(shè)顧客的到達(dá)時(shí)間為?i，則使用時(shí)長(zhǎng)為t??iN(t)總收費(fèi)為S(t)?N(t)k?1?(t??k?1k)N(t)k?1E(S(t))?E{?(t??k)}?E{E[?(t??k)|N(t)]}N(t)k?1nE[?(t??k)|N(t)?n]?nt?E[??k|N(t)?n]k?1由定理在N(t)=n條件下n個(gè)?k的聯(lián)合分布等價(jià)與[0,t]上n個(gè)相互獨(dú)立聽從均勻分布的隨機(jī)變量t1nt的聯(lián)合分布。所以可計(jì)算E[??k|N(t)?n]?E[?Uk]?n?xdx?0t2k?1k?1nnt2?ntt?E(S(t))??(nt?)P{N(t)?n}??nP{N(t)?n}?222n?1n?1?11．設(shè)河流每年的BOD（生物耗氧量）濃度為齊次Markov鏈，狀態(tài)空間I={1，2，3}，是按BOD濃度為低，中，高分別表示的，BOD濃度高時(shí)河流視為被污染，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣（以一年為單位）為?0.90.050.05???0.1P=0.10.8????0.20.10.7??1）求該Markov鏈的平穩(wěn)分布2)求河流再次達(dá)到污染的平均時(shí)間（即狀態(tài)3的平均返回時(shí)間）。解：1）易知此Markov鏈?zhǔn)奖闅v的，則平穩(wěn)分布存在，由定理可得方程組??1?0.9?1?0.1?2?0.2?3???0.05??0.8??0.1??2123???0.05??0.1??0.7?123?3??1??2??3?1?解上述方程組得平穩(wěn)分布為

?1=1034=0.5882?2==0.23594?3==0.17647…………8分17171717=5.667年……10分32）狀態(tài)3的平均返回時(shí)間u3=11.分支過(guò)程中一個(gè)體產(chǎn)生后代的分布為p0?數(shù)的均值方差及全體消亡概率。解：Xn?111,p1?,p2?,初始為一個(gè)母體，試求第n代個(gè)424?Zi?1Xn?1iE(Xn)??E(Xn?1)??nDXn?DZ?n{1???EXn?1,DXn?1412n214?n?1}=nDZ5分?(s)?s??s?s2,解得消亡概率為s?110分得分評(píng)閱人四、綜合題：（共2題，每題12分）12機(jī)器維修問(wèn)題。用狀態(tài)0表示機(jī)器正常工作，用狀態(tài)1表示機(jī)器出現(xiàn)故障。正常工作時(shí)間(壽命)聽從參數(shù)為?的指數(shù)分布，維修時(shí)間同樣聽從參數(shù)為?的指數(shù)分布。求Q矩陣，分別求向前向后方程，求初始正常t＝5時(shí)正常的概率，求該過(guò)程的平穩(wěn)分布。解：由題意有??p01(h)??h?o(h)?????P?(t)?P(t)QQ?????????p10(h)??h?o(h)?(t)???p00(t)??p01(t)??(???)p00(t)??p00p00(t)?????e?(???)t?????第2頁(yè)(共3頁(yè))

limp00(t)?t????????0?limp10(t)t??密封線limp11(t)?t????????0?limp01(t)t??平穩(wěn)分布?0??0?則在t時(shí)刻?????1??0?????P(X5?0|X0?0)?p00(5)??0??0e?5(???)13．用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述布朗運(yùn)動(dòng)的主要性質(zhì)，并對(duì)一維布朗運(yùn)動(dòng)Bt計(jì)算E(BtBs)，E(Bt4)，解：布朗運(yùn)動(dòng)有好多好性質(zhì)譬如布朗運(yùn)動(dòng)是時(shí)齊的獨(dú)立增量過(guò)程，也是時(shí)齊的馬氏過(guò)程。布朗運(yùn)動(dòng)具有平穩(wěn)增量，且Bt?h?Bs?h的分布就是n維的正態(tài)分布N(0,(t-s)I).布朗運(yùn)動(dòng)是鞅（需寫出鞅性的表達(dá)式）布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)字特征有cov(Bs,Bt)?s?t等。布朗運(yùn)動(dòng)平移變換尺度變換后依舊是布朗運(yùn)動(dòng)等布朗運(yùn)動(dòng)的幾乎每條樣本軌道是連續(xù)的但對(duì)幾乎每條樣本軌道上的任意一點(diǎn)t0，其導(dǎo)數(shù)幾乎四處不存在。等等Bt~N(0,?2t)p(x)?12?t??4e?x2/2t?2E(B)=?x??4t12?t?e?x2/2t?2dx=2??t2?()=3?4t2423252E(BtBs)?s?t

得分評(píng)閱人五、論述題：（共1題，一題10分，）14．論述隨機(jī)過(guò)程遍歷性?？蓮囊罆r(shí)間平均和依統(tǒng)計(jì)平均的概念、關(guān)系以及相等的條件入手。在此基礎(chǔ)上探討一兩個(gè)例題。如，X1(t)?acos(?t??)?（Y是方差大于零的隨機(jī)變量）的均值遍歷性1）思路如下：1.隨機(jī)過(guò)程概念，一族隨機(jī)變量2.依時(shí)間平均和依統(tǒng)計(jì)平均的解釋3.平穩(wěn)性和狀態(tài)歷經(jīng)性4.均值遍歷定理2）先驗(yàn)證X1(t),X2(t)都具有平穩(wěn)性。U(0,2?),??0,???t???和X2(t)?Y2Ta22??a2(1?cos2?T)(cos???cos??)d???2T?02T4?2T20