博弈論復(fù)習(xí)題及答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——博弈論復(fù)習(xí)題及答案囚徒窘境說明個(gè)人的理性選擇不一定是集體的理性選擇。（√）

子博弈精煉納什均衡不是一個(gè)納什均衡。（×）

若一個(gè)博弈出現(xiàn)了皆大歡喜的結(jié)局，說明該博弈是一個(gè)合作的正和博弈。（）博弈中知道越多的一方越有利。（×）納什均衡一定是上策均衡。（×）上策均衡一定是納什均衡。（√）

在一個(gè)博弈中只可能存在一個(gè)納什均衡。（×）在一個(gè)博弈中博弈方可以有好多個(gè)。（√）

在一個(gè)博弈中假使存在多個(gè)納什均衡則不存在上策均衡。（√）在博弈中納什均衡是博弈雙方能獲得的最好結(jié)果。（×）

在博弈中假使某博弈方改變策略后得益增加則另一博弈方得益減少。（×）上策均衡是帕累托最優(yōu)的均衡。（×）

由于零和博弈中博弈方之間關(guān)系都是競爭性的、對(duì)立的，因此零和博弈就是非合作博弈。（×）

在動(dòng)態(tài)博弈中，由于后行動(dòng)的博弈方可以先觀測對(duì)方行為后再選擇行為，因此總是有利的。（×）

在博弈中存在著先動(dòng)優(yōu)勢和后動(dòng)優(yōu)勢，所以后行動(dòng)的人不一定總有利，例如：在斯塔克伯格模型中，企業(yè)就可能具有先動(dòng)優(yōu)勢。囚徒的窘境博弈中兩個(gè)囚徒之所以會(huì)處于窘境，無法得到較理想的結(jié)果，是由于兩囚徒都不在乎坐牢時(shí)間長短本身，只在乎不能比對(duì)方坐牢的時(shí)間更長。（×）

納什均衡即任一博弈方單獨(dú)改變策略都只能得到更小利益的策略組合。（√）不存在純戰(zhàn)略納什均衡和存在惟一的純戰(zhàn)略納什均衡，作為原博弈構(gòu)成的有限次重復(fù)博弈，共同特點(diǎn)是重復(fù)博弈本質(zhì)上不過是原博弈的簡單重復(fù)，重復(fù)博弈的子博弈完美納什均衡就是每次重復(fù)采用原博弈的納什均衡。（√）多個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡博弈的有限次重復(fù)博弈子博弈完美納什均衡路徑：兩階段都采用原博弈同一個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡，或者輪番采用不同純戰(zhàn)略納什均衡，或者兩次都采用混合戰(zhàn)略納什均衡，或者混合戰(zhàn)略和純戰(zhàn)略輪番采用。（√）假使階段博弈G={A1,A2,?,An;u1,u2,?,un)具有多重Nash均衡，那么可能（但不必）存在重復(fù)博弈G(T)的子博弈完美均衡結(jié)局，其中對(duì)于任意的t10，000，則該筆錢就沒收。問該博弈的納什均衡是什么？假使你是其中一個(gè)博弈方，你會(huì)選擇什么數(shù)額？為什么？

答十、納什均衡有無數(shù)個(gè)。最可能的結(jié)果是（5000，5000）這個(gè)聚點(diǎn)均衡。

9、北方航空公司和新華航空公司共享了從北京到南方冬天度假勝地的市場。假使它們合作，各獲得500000元的壟斷利潤，但不受限制的競爭會(huì)使每一方的利潤降至60000元。假使一方在價(jià)格決策方面選擇合作而另一方卻選擇降低價(jià)格，則合作的廠商獲利將為零，競爭廠商將獲利900000元。（1）將這一市場用囚徒窘境的博弈加以表示。

（2）解釋為什么均衡結(jié)果可能是兩家公司都選擇競爭性策略。答：（1）用囚徒窘境的博弈表示如下表：北方航空公司合作競爭合作500000，5000000，900000新華航空公司競爭900000，060000，60000（2）假使新華航空公司選擇競爭，則北方航空公司也會(huì)選擇競爭（60000>0）；若新華航空公司選擇合作，北方航空公司仍會(huì)選擇競爭（900000>500000）。若北方航空公司選擇競爭，新華航空公司也將選擇競爭（60000>0）；若北方航空公司選擇合作，新華航空公司仍會(huì)選擇競爭（900000>0）。由于雙方總偏好競爭，故均衡結(jié)果為兩家公司都選擇競爭性策略，每一家公司所獲利潤均為600000元。

12、設(shè)啤酒市場上有兩家廠商，各自選擇是生產(chǎn)高價(jià)啤酒還是低價(jià)啤酒，相應(yīng)的利潤（單位：

萬元）由下圖的得益矩陣給出：

（1）有哪些結(jié)果是納什均衡？（2）兩廠商合作的結(jié)果是什么？

答（1）（低價(jià)，高價(jià)），（高價(jià)，低價(jià)）（2）（低價(jià)，高價(jià)）

13、A、B兩企業(yè)利用廣告進(jìn)行競爭。若A、B兩企業(yè)都做廣告，在未來銷售中，A企業(yè)可以獲得20萬元利潤，B企業(yè)可獲得8萬元利潤；若A企業(yè)做廣告，B企業(yè)不做廣告，A企業(yè)可獲得25萬元利潤，B企業(yè)可獲得2萬元利潤；若A企業(yè)不做廣告，B企業(yè)做廣告，A企業(yè)可獲得10萬元利潤，B企業(yè)可獲得12萬元利潤；若A、B兩企業(yè)都不做廣告，A企業(yè)可獲得30萬元利潤，B企業(yè)可獲得6萬元利潤。

（1）畫出A、B兩企業(yè)的支付矩陣。

（2）求納什均衡。3.答：（1）由題目中所提供的信息，可畫出A、B兩企業(yè)的支付矩陣（如下表）。

B企業(yè)做廣告不做廣告做廣告20，825，2A企業(yè)不做廣告10，1230，6（2）由于這是一個(gè)簡單的完全信息靜態(tài)博弈，對(duì)于純策納什均衡解可運(yùn)用劃橫線法求解。

假使A廠商做廣告，則B廠商的最優(yōu)選擇是做廣告，由于做廣告所獲得的利潤8大于不做廣告獲得的利潤2，故在8下面劃一橫線。假使A廠商不做廣告，則B廠商的最優(yōu)選擇也是做廣告，由于做廣告獲得的利潤為12，而不做廣告的利潤為6，故在12下面劃一橫線。

假使B廠商做廣告，則A廠商的最優(yōu)選擇是做廣告，由于做廣告獲得的利潤20大于不做廣告所獲得的利潤10，故在20下面劃一橫線。假使B廠商不做廣告，A廠商的最優(yōu)選擇是不做廣告，由于不做廣告獲得的利潤30大于做廣告所獲得的利潤25，故在30下面劃一橫線。

在此題中不存在混合策略的納什均衡解，因此，最終的純策略納什均衡就是A、B兩廠商都做廣告。

15、求出下面博弈的納什均衡(含純策略和混合策略)。

乙LRU5,00,8甲

D2,64,5由劃線法易知，該矩陣博弈沒有純策略Nash均衡?？傻萌缦虏坏仁浇M

Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1

可得混合策略Nash均衡((,),(,)

16、某產(chǎn)品市場上有兩個(gè)廠商，各自都可以選擇高質(zhì)量，還是低質(zhì)量。相應(yīng)的利潤由如下得益矩陣給出：

(1)該博弈是否存在納什均衡？假使存在的話，哪些結(jié)果是納什均衡?

18994377

參考答案：由劃線法可知，該矩陣博弈有兩個(gè)純策略Nash均衡，即(低質(zhì)量,高質(zhì)量)，(高質(zhì)量,低質(zhì)量)。

乙企業(yè)高質(zhì)量低質(zhì)量高質(zhì)

50,50100,800量甲企

業(yè)低質(zhì)

900,600-20,-30量

該矩陣博弈還有一個(gè)混合的納什均衡Q=a+d-b-c=-970,q=d-b=-120,R=-1380,r=-630，可得x?因此該問題的混合納什均衡為((12856375,),(,))。97971381381263,y?97138

17、甲、乙兩企業(yè)分屬兩個(gè)國家，在開發(fā)某種新產(chǎn)品方面有如下收益矩陣表示的博弈關(guān)系。試求出該博弈的納什均衡。假使乙企業(yè)所在國政府想保護(hù)本國企業(yè)利益，可以采取什么措施？

乙企業(yè)開發(fā)不開發(fā)甲企開發(fā)-10,-10100,0業(yè)不開

0,1000,0發(fā)

解：用劃線法找出問題的純策略納什均衡點(diǎn)。??10,?10100,0??0,0??0,100?所以可知該問題有兩個(gè)純策略納什均衡點(diǎn)(開發(fā),不開發(fā))和(不開發(fā),開發(fā))。該博弈還有一個(gè)混合的納什均衡((

101101,),(,))。11111111假使乙企業(yè)所在國政府對(duì)企業(yè)開發(fā)新產(chǎn)品補(bǔ)貼a個(gè)單位,則收益矩陣變?yōu)椋?/p>

,0???10,?10?a100,要使(不開發(fā),開發(fā))成為該博弈的唯一納什均衡點(diǎn),只需?0,0??0,100?a?a>10。此時(shí)乙企業(yè)的收益為100+a。

18、博弈的收益矩陣如下表：乙左右上a，bc，d甲下e，fg，h（1）假使（上，左）是占優(yōu)策略均衡，則a、b、c、d、e、f、g、h之間必然滿足哪些關(guān)系？（盡量把所有必要的關(guān)系式都寫出來）

（2）假使（上，左）是納什均衡，則（1）中的關(guān)系式哪些必需滿足？（3）假使（上，左）是占優(yōu)策略均衡，那么它是否必定是納什均衡？為什

么？

（4）在什么狀況下，純戰(zhàn)略納什均衡不存在？

答：（1）a?e，c?g，b?d，f?h。此題另外一個(gè)思考角度是從占優(yōu)策略均衡的定義出發(fā)。對(duì)乙而言，占優(yōu)策略為(b,f)?(d,h)；而對(duì)甲而言，占優(yōu)策略為

(a,c)?(e,g)。綜合起來可得到所需結(jié)論。

（2）納什均衡只需滿足：甲選上的策略時(shí)，同時(shí)乙選左的策略時(shí)，a?e。b?d，故此題中納什均衡的條件為：b?d，a?e。

（3）占優(yōu)策略均衡一定是納什均衡，由于占優(yōu)策略均衡的條件包含了納什均衡的條件。

（4）當(dāng)對(duì)每一方來說，任意一種策略組合都不滿足納什均衡時(shí)，純戰(zhàn)略納什均衡就不存在。

19、Smith和John玩數(shù)字匹配游戲，每個(gè)人選擇1、2、3，假使數(shù)字一致，John給Smith3美元，假使不同，Smith給John1美元。（1）列出收益矩陣。

（2）假使參與者以1/3的概率選擇每一個(gè)數(shù)字，證明該混合策略存在一個(gè)納什均衡，它為多少？

答：（1）此博弈的收益矩陣如下表。該博弈是零和博弈，無納什均衡。John12313，-3-1，1-1，1Smith2-1，13，-3-1，13-1，1-1，13，-3（2）Smith選（1/3，1/3，1/3）的混合概率時(shí)，

John選1的效用為：U1??(?3)??1??1??John選2的效用為：U2??1??(?3)??1??John選3的效用為：U3??1??1??(?3)??類似地，John選（1/3，1/3，1/3）的混合概率時(shí)，Smith選1的效用為：U1'??3??(?1)??(?1)?Smith選2的效用為：U2'??(?1)??3??(?1)?Smith選3的效用為：U3'??(?1)??(?1)??3?由于U1?U2?U3，U1'?U2'?U3'，所以：

13131313131313131313131313131313131313131313131311?111111?'是納什均衡，策略值分別為John：；Smith：。U??U?(,,),(,,)?333333?33??

20、假設(shè)雙頭壟斷企業(yè)的成本函數(shù)分別為：C1?20Q1，C2?2Q22，市場需求曲線為P?400?2Q，其中，Q?Q1?Q2。

（1）求出古諾（Cournot）均衡狀況下的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤，求出各自的反

應(yīng)和等利潤曲線，并圖示均衡點(diǎn)。

（2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡狀況下的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤，并以圖形表示。

（3）說明導(dǎo)致上述兩種均衡結(jié)果差異的原因。答：（1）對(duì)于壟斷企業(yè)1來說：

max[400?2(Q1?Q2)]Q1?20Q1190?Q2?Q1?2這是壟斷企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)。

其等利潤曲線為：?1?380Q1?2Q1Q2?2Q12對(duì)壟斷企業(yè)2來說：

2max[400?2(Q1?Q2)]Q2?2Q2Q1?Q2?50?4這是壟斷企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)。

其等利潤曲線為：?2?400Q2?2Q1Q2?4Q22在達(dá)到均衡時(shí)，有：

Q??190??50?1?4??Q?80?Q1???12?Q2?30均衡時(shí)的價(jià)格為：P?400?2?(80?30)?180兩壟斷企業(yè)的利潤分別為：

?1?380?80?2?80?30?2?802?12800

?2?400?30?2?80?30?4?302?3600

均衡點(diǎn)可圖示為：

190企業(yè)2企業(yè)1的反應(yīng)線均衡點(diǎn)095企業(yè)1200

（2）當(dāng)壟斷企業(yè)1為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)，企業(yè)2視企業(yè)1的產(chǎn)量為既定，其反應(yīng)函數(shù)為：

Q2?50?Q1/4

則企業(yè)1的問題可簡化為：

?Q???max?400?2?Q1?50?1??Q1?20Q14????

?Q1?280/3???Q2?80/3均衡時(shí)價(jià)格為：P?400?2??28080????16033??利潤為：?1?39200/3，?2?25600/9該均衡可用下圖表示：

190企業(yè)2企業(yè)1的反應(yīng)線Stackelberg均衡50企業(yè)2的反應(yīng)線095企業(yè)1200

企業(yè)2領(lǐng)先時(shí)可依此類推。

（3）當(dāng)企業(yè)1為領(lǐng)先者時(shí)，其獲得的利潤要比古諾競爭下多。而企業(yè)2獲得的利潤較少。這是由于，企業(yè)1先行動(dòng)時(shí)，其能考慮企業(yè)2的反應(yīng)，并以此來制定自己的生產(chǎn)計(jì)劃，而企業(yè)2只能被動(dòng)地接受企業(yè)1的既定產(chǎn)量，計(jì)劃自己的產(chǎn)出，這是一種“先動(dòng)優(yōu)勢〞

21、在一個(gè)由三寡頭操縱的壟斷市場中，逆需求函數(shù)為p=a-q1-q2-q3，這里qi是企業(yè)i的產(chǎn)量。每一企業(yè)生產(chǎn)的單位成本為常數(shù)c。三企業(yè)決定各自產(chǎn)量的順序如下：(1)企業(yè)1首先選擇q1≥0；(2)企業(yè)2和企業(yè)3觀測到q1，然后同時(shí)分別選擇q2和q3。試解出該博弈的子博弈完美納什均衡。

答：該博弈分為兩個(gè)階段，第一階段企業(yè)1選擇產(chǎn)量q1，其次階段企業(yè)2和3觀測到q1后，他們之間作一完全信息的靜態(tài)博弈。我們依照逆向遞歸法對(duì)博弈進(jìn)行求解。

（1）假設(shè)企業(yè)1已選定產(chǎn)量q1，先進(jìn)行其次階段的計(jì)算。設(shè)企業(yè)2，3的利潤函數(shù)分別為：

?2?(a?q1?q2?q3)q2?cq2?3?(a?q1?q2?q3)q2?cq3

由于兩企業(yè)均要追求利潤最大，故對(duì)以上兩式分別求一階條件：

??2?a?q1?2q2?q3?c?0（1）?q2

??3?a?q1?q2?2q3?c?0（2）?q3a?q1?c（3）3求解（1）、（2）組成的方程組有：

*q*2?q3?（2）現(xiàn)進(jìn)行第一階段的博弈分析：

對(duì)與企業(yè)1，其利潤函數(shù)為；?1?(a?q1?q2?q3)q1?cq1將（3）代入可得：

?1?式（4）對(duì)q1求導(dǎo)：

??1?a?2q1?c?0?q1q1(a?q1?c)（4）3解得：

*q1?*?此時(shí)，?11(a?c)（5）21(a?c)21211*(a?c),q*2?q3?(a?c)26（3）將式（5）代回（3）和（4）有該博弈的子博弈完美納什均衡：

*q1?

25、某寡頭壟斷市場上有兩個(gè)廠商，總成本均為自身產(chǎn)量的20倍，市場需求函數(shù)為Q=200-P。

求（1）若兩個(gè)廠商同時(shí)決定產(chǎn)量，產(chǎn)量分別是多少？

（2）若兩個(gè)廠商達(dá)成協(xié)議壟斷市場，共同安排產(chǎn)量，則各自的利潤狀況如何？

答：（1）分別求反應(yīng)函數(shù)，180-2Q1-Q2=0，180-Q1-2Q2=0，Q1=Q2=60（2）200-2Q=20，Q=90，Q1=Q2=45

（2）其中一個(gè)企業(yè)采取欺騙手段降價(jià)，那個(gè)這家企業(yè)就占有的全部市場，獲得壟斷利潤

（3）其他企業(yè)觸發(fā)戰(zhàn)略，將價(jià)格降到等于邊際成本，所有的企業(yè)利潤為零。參考答案：

（1）設(shè)每個(gè)企業(yè)的邊際成本為c，固定成本為0P=a-Q

TR=P*Q=(a-Q)*QMR=a-2Q由于：MR=MCa-2Q=c

則:Q=(a-c)/2P=(a+c)/2

π=(P-c)*Q=(a-c)2/4

每家企業(yè)的利潤為(a-c)2/4n

（2）假設(shè)A企業(yè)自主降價(jià)，雖然只是微小的價(jià)作風(fēng)整，但足以占領(lǐng)整個(gè)市場，獲得所有的壟斷利潤——(a-c)2/4

（3）其他企業(yè)在下一期采取冷酷策略，使得所有企業(yè)的利潤為0考慮：

A企業(yè)不降價(jià)：(a-c)2/4n，(a-c)2/4n，??A企業(yè)降價(jià)：(a-c)2/4，0，??使壟斷價(jià)格可以作為完美均衡結(jié)果，就要使得不降價(jià)的貼現(xiàn)值大于等于降價(jià)的貼現(xiàn)值。

設(shè)貼現(xiàn)因子為δ

A不降價(jià)的貼現(xiàn)值：[(a-c)2/4n][1/(1-δ)]A降價(jià)的現(xiàn)值：(a-c)2/4

于是：[(a-c)2/4n][1/(1-δ)]≥(a-c)2/4解得：δ≥1-1/n

38、假設(shè)某勞動(dòng)市場為完全競爭市場,其供求函數(shù)如下:SL:W=120+2LDL:W=360-L已知某廠商(在完全競爭市場下)的生產(chǎn)函數(shù)為f(L,K)=10LK且其產(chǎn)品的需求與供給函數(shù)分別為D:P=60-2qS:P=20+2q

試求(a)該廠商的AC,MC及VMP各為多少?

L

L

L

0.5

0.5

(K=100)

(b)勞動(dòng)工資為多少?廠商會(huì)雇用多少勞動(dòng)?由：S=D解得：W=280

L

L

由于產(chǎn)品市場為完全競爭市場，且要素市場也為完全競爭市場所以，滿足：產(chǎn)品市場均衡：P=MR=MC=W/MPL要素市場均衡：W=ACL=MCL=VMPL得到：ACL=MCL=VMPL=280

由：D=S解得：P=40，q=10廠商追求利潤最大化的狀況下：W*=VMPL=P*MPL=P*50/L

L*=[100/2*PW*]=51(取整數(shù))

1.試計(jì)算表1中的戰(zhàn)略式博弈的重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略均衡。

表1一個(gè)戰(zhàn)略式表述博弈

A

對(duì)B而言，戰(zhàn)略M嚴(yán)格劣于R；（由于12），在相應(yīng)位置劃線給定2選擇L，1的最正確選擇是D（理由自己寫），在相應(yīng)位置劃線給定2選擇R，1的最正確選擇是U（理由自己寫），在相應(yīng)位置劃線找兩個(gè)數(shù)字下都劃線的，顯然有兩個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡：(U,R)和(D,L)據(jù)Wilson的奇數(shù)定理，可能有一個(gè)混合戰(zhàn)略均衡。設(shè)1選U的概率為?，那么選D的概率為1??設(shè)2選L的概率為?，那么選R的概率為1??，

假使存在混合戰(zhàn)略，那么2選戰(zhàn)略L和R的期望收益應(yīng)當(dāng)應(yīng)當(dāng)相等，因此應(yīng)

1

有UL?2??4(1??)?UR?3??2(1??)

???自己求解（2分）同樣，1選戰(zhàn)略U和D的期望收益應(yīng)當(dāng)應(yīng)當(dāng)相等

UU?2??3(1??)?UD?4??1(1??)???得混合均衡：?

3.市場里有兩個(gè)企業(yè)1和2。每個(gè)企業(yè)的成本都為0。市場的逆需求函數(shù)為P=16-Q。其中P是市場價(jià)格，Q為市場總產(chǎn)量。

（1）求古諾（Cournot）均衡產(chǎn)量和利潤。

（2）求斯坦克爾伯格（Stackelberg）均衡產(chǎn)量和利潤。

(1)設(shè)兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量分別為q1，q2，有Q?q1?q2，因此利潤函數(shù)分別為：

?1?(16?q1?q2)q1?16q1?q12?q1q2

2?2?(16?q1?q2)q2?16q2?q2?q1q2

利潤最大化的一階條件分別為：

??1?16?2q1?q2?0?q1??2?16?2q2?q1?0?q2因此企業(yè)1和企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)分別為：

q1?16?q2216?q12q2?聯(lián)立，得到q1?q2??。自己求解

（2）設(shè)企業(yè)1先行，企業(yè)2跟進(jìn)。兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量分別為q1，q2，因此利潤函數(shù)分別為：

?1?(16?q1?q2)q1?16q1?q12?q1q2

2?2?(16?q1?q2)q2?16q2?q2?q1q2

由逆向歸納法，在其次階段，企業(yè)2在已知企業(yè)1的產(chǎn)量的狀況下，最優(yōu)化自己的產(chǎn)量，從

而得到企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)：

??2?16?2q2?q1?0?q2因此企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)為：q2?16?q12在第一階段，企業(yè)1考慮到企業(yè)2的反應(yīng)，從而自己的利潤函數(shù)為：

?1?(16?q1?q2)q1?16q1?q12?q1q2?16q1?q12?q1(??1?0?q116?q1)（2分）2要使企業(yè)1的利潤最大，應(yīng)滿足一階條件：

得到q1??。

所以q2??。

（PS:古諾模型是完全信息靜態(tài)博弈，求的是納什均衡；斯坦伯格模型是完全信息動(dòng)態(tài)博弈，求的是子博弈精煉納什均衡）

4.（1）試給出圖1中的完全信息動(dòng)態(tài)博弈的子博弈精煉均衡和均衡結(jié)果。（2）倘若2告訴1：2的戰(zhàn)略是(c,i,j)，問此時(shí)1的最優(yōu)戰(zhàn)略是什么？（3）在（2）中，1和2的戰(zhàn)略組合構(gòu)成一個(gè)納什均衡嗎？均衡結(jié)果是什么？（4）（3）中的納什均衡不是子博弈精煉的，原因是什么？

1

ab

22cdej

(1,2)(2,1)1(6,3)

fg2(3,2)li(4,6)(0,2)

答：（1）

1

ab

22cdej(1,2)(2,1)1(6,3)

（2分）fg2(3