初二競賽班輔導(dǎo)資料

本文格式為Word版，下載可任意編輯——初二競賽班輔導(dǎo)資料初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

目錄

本內(nèi)容適合八年級學(xué)生競賽拔高使用。重視中考與競賽的有機(jī)結(jié)合，重點(diǎn)落實(shí)在中考中難以上題、奧賽方面的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能培訓(xùn)和提高。本內(nèi)容難度適中，講練結(jié)合，由淺入深，講解與練習(xí)同步，重在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力與解題能力。另外在本次培訓(xùn)中，內(nèi)容的編排大多大于120分鐘的容量，因此在實(shí)際教學(xué)過程中可以根據(jù)學(xué)生的具體狀況和層次，由任課教師適當(dāng)?shù)恼{(diào)整順序和選擇內(nèi)容（如專題復(fù)習(xí)可以提前上）。注：有(*)標(biāo)注的為選做內(nèi)容。

本次培訓(xùn)具體計(jì)劃如下，以供參考：

第一講其次講第三講第四講第五講第六講第七講

如何做幾何證明題平行四邊形（一）平行四邊形（二）梯形

中位線及其應(yīng)用一元二次方程的解法一元二次方程的判別式

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的應(yīng)用

專題復(fù)習(xí)一：因式分解、二次根式、分式專題復(fù)習(xí)二：代數(shù)式的恒等變形專題復(fù)習(xí)三：相像三角形

第八講第九講第十講第十一講第十二講

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第一講：如何做幾何證明題

1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生規(guī)律思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題往往可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。2、把握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最終達(dá)到證明目的。3、把握構(gòu)造基本圖形的方法：繁雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要擅長將繁雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。

證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。好多其它問題最終都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。已知：如下圖，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。ABC求證：DE＝DF

CFBAED第2頁共90頁初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

如下圖，已知?為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連ABC結(jié)CE、DE。求證：EC＝ED

已知：如下圖，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F

證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特別的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一〞來證。

如下圖，設(shè)BP、CQ是?的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。ABC求證：KH∥BC

BCQKAPHBCDAEEABFCD第3頁共90頁初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

已知：如下圖，AB＝AC，∠。A?90?，AE?BF，BD?DC求證：FD⊥ED

證明線段和的問題

（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°；求證：BC＝AD＋AE

已知：如圖，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。ABCB?60?求證：AC＝AE＋CD

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AEFBDCADEBCBEAODC初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法）

已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，?。EAF??45求證：EF＝BE＋DF

證明幾何不等式：

已知：如下圖，在?中，AD平分∠BAC，AB?AC。ABC求證：BD?DC

BDCAADFBECD??AB?AC?BC?中，?于D，求證：ABAC??90，AD?BCABC?

BDCA14

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（1）求EC∶CF的值；

（2）延長EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)P（如圖13－2），試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；

（3）在圖2的AB邊上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GF∥AC。

如下圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC

B

E圖1

FC

B

E圖2

FPC

ADAD第11頁共90頁初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

于F。求證：AE＝CF。

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B，∠D的平分線分別交對邊于點(diǎn)E、F，交四邊形的對角線AC于點(diǎn)G、H。求證：AH＝CG。

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AGEBDFC初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

第四講：梯形

與平行四邊形一樣，梯形也是一種特別的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特別的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。

通過作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的基本思路，常用的輔助線的作法是：

1、平移腰：過一頂點(diǎn)作一腰的平行線；

2、平移對角線：過一頂點(diǎn)作一條對角線的平行線；3、過底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：

中位線概念：

(1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．(2)梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．

三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。

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如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的長.

如下圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長.

ABDCBADC

如下圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，BD＝6cm.求梯形ABCD的面積.

如下圖，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.

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ADBCDCAB初二年級春季數(shù)學(xué)競賽講義

1、如下圖，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長.

2、如下圖，已知等腰梯形ABCD