何2007高教社杯全國生數(shù)學建模競賽

2007高教社杯大學生數(shù)學建模競賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)評閱前進行編號賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用統(tǒng)一編號（由賽區(qū)送交前編號評閱編號（ 評閱前進行編號 一個地區(qū)人口變化的直接原因是出生、和所有影響社會人口變化的諸因首先建立LogisticMalthus指數(shù)增長模型的修改，增加在建立模型過程中，我們采用1949年到2003年的人口總數(shù)為基本數(shù)據(jù)，使用軟件，通過最小二乘法1951年-2001年數(shù)據(jù)擬合，求得Logistic模型中的待定參數(shù)k(最大人口數(shù))和r（固有增長率）,從而得到Logistic模型的表達式（見5-1）1949年、1950年、2002年、2003年的數(shù)據(jù)對模型進行檢驗，誤差范圍十50年的總?cè)藬?shù)發(fā)展趨勢（5-1）。本文建立了GM(1,1)5GM(1,1)x(01作為初始條件的傳統(tǒng)做法，利用“最小二乘法”GM(1,1)C，經(jīng)20（見6-3本文最后采用Leslie人口預測模型。具體到對城市女性的預測，考慮到抽樣百1%，故具體到城市中的人口總數(shù)未知，本文使用城市女性人口所占城市總?cè)丝诒嚷实刃槌鞘信詳?shù)，由此將模型簡化。通過每年出生率及率建立L矩陣，從比例失衡時，隨著時間的推移，人口數(shù)與時間關(guān)系將呈現(xiàn)出“倒S曲線”（見圖7-1，人如化對一個國家總?cè)丝诘挠绊懣墒褂肔eslie模型。：人口預測；Logistic模型；灰色系統(tǒng)預測；Leslie問題重近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，化進程加速、出生人口比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著口的增長。關(guān)于《219492003基本假假設(shè)人口的的增長不和偶發(fā)的有聯(lián)系符號說 :時間（年份x(t）:第t :為i的女性率d :為i的女性率 :為i的女性存活率，且有si=1-di材料分 20012005年口的各項數(shù)據(jù)，橫向分為城，鎮(zhèn)，鄉(xiāng)，縱向分為從0歲到90歲以上這九十一個段，其中包括了男女各自的比率以及率，還給出了育齡婦女（15歲~49歲）的率。人口構(gòu)成分2表4- 2001~2005年口構(gòu)成表(歲城鎮(zhèn)鄉(xiāng)城鎮(zhèn)鄉(xiāng)城鎮(zhèn)鄉(xiāng)城鎮(zhèn)鄉(xiāng)城鎮(zhèn)鄉(xiāng)分析上表，分別作出2001年到2005年的城鎮(zhèn)鄉(xiāng)各段人口比例折線圖，可以看出城鎮(zhèn)鄉(xiāng)各段人口所占比例每年的變化趨勢大致相同，以2005年為例做出比例圖：鄉(xiāng)比比50 圖4- 2005年城鄉(xiāng)鎮(zhèn) 段人口比人口化分分別按60歲以上和65歲以上計算老年人口比例，2001年為11.16％和7.53％，均達到化的標準；2005年達到12.57％和8.76％，較01年有大幅上升。具體情況見下表4- 2001~2005年口化情60老年人口比例65老年人口比例比將上表形象化,做成下圖比8642086420年中齡化的特點（1至2004年底，中國60歲以上老人有1.4億，占總?cè)丝诮?1%；65歲以上的老人為9680萬，占總?cè)丝诘?.6%。中年人口的數(shù)量比很多國家的總?cè)丝谶€要多（214%9%。（37%表明該國已進入老年型國家。按此標準，中國在1999年就已進入了老年型國家。從歷20（4．續(xù)堅持的國策，其結(jié)果將不可避免地使我國提早達到人口化。（5．“分準備而且從人口發(fā)展趨勢來看中齡化最還沒到來大2030至2040年之間，那時老年人口將有可能占到總?cè)丝诘?5-28%。這給國家政策造成很大的壓力。各率見附錄1。關(guān)于化討隨著人口化進程的加快，人們在繼續(xù)重視控制人口數(shù)量的同時，日注人口 市男女出生比鎮(zhèn)男女出生比鄉(xiāng)男女出生比年圖4-市男女出生比鎮(zhèn)男女出生比鄉(xiāng)男女出生比年圖4- 出生人比男女比值(女為出生人口的比口出生比率概況19.2:100多。中國新生兒比例失衡。對應(yīng)的男嬰數(shù)來表示。正常情況下，出生比是由生物學規(guī)律決定的，保持在103～107之間。出生人口比分析與圖1994200512年的數(shù)據(jù)，通過Excel表4- 男女出生比率從圖表中可以清楚地看出，出生人口比持續(xù)高昂，鎮(zhèn)男女比例最高近130。根據(jù)資料第五次人口普查為1172003年抽樣為119個別省份超過130。2005年1%抽樣為118.58。城鄉(xiāng)均出現(xiàn)異常，農(nóng)村失調(diào)程度更為嚴重。如果按照120的比例發(fā)展下去，根據(jù)預測到2020年，20－45歲將比女性多3000萬人左右。2005年以后，新進入婚育人口明顯多于女性，擠壓問題育齡婦育育齡婦育率概況1549歲的婦女。在大幅下降，許多婦女選擇不生孩子，現(xiàn)在已經(jīng)接近零界點，開始鼓勵生二胎。 鎮(zhèn)育齡 育///市育齡市育齡 育鎮(zhèn)育齡 育鄉(xiāng)育齡 育 年‰0圖4-4- 育齡婦育由于2000年數(shù)據(jù)缺省，并且98年鎮(zhèn)率和96年市率數(shù)據(jù)異常，故舍去并以內(nèi)‰‰0

市育齡 育鎮(zhèn)育齡 育鄉(xiāng)育齡 育年圖4-4- 育齡 育從圖中明顯看出，市鎮(zhèn)鄉(xiāng)各地區(qū)的率都在震蕩下降，并且城市的育齡婦育農(nóng)村人口城鎮(zhèn)化從城鄉(xiāng)分布來看，2004年末城鎮(zhèn)人口達到54283萬人，占總?cè)丝诘?1.76％，7570558.24級實施城市帶動農(nóng)村工業(yè)反哺農(nóng)業(yè)的發(fā)人口城鎮(zhèn)化率以每年超過1個百分改善農(nóng)民進城務(wù)工環(huán)境促進農(nóng)村勞動力有序流動2004年中國已經(jīng)超過1.412020億左右的人口。分布，統(tǒng)籌城鄉(xiāng)、區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展。

Logistic人口預測模型，人口的中短期預測即根據(jù)現(xiàn)階段中國國情近期總?cè)丝诩捌浣Y(jié)構(gòu)進行預測。這對國家發(fā)展的制定具有很大的幫助，也是很有必要的工作。， 在Logisticxm被假設(shè)為不變量。而我國現(xiàn)在總?cè)丝跀?shù)沒有達到最大人口容量，因此符合Logistic模型的建立條件。Logistic假設(shè)人口增長率是當時人口數(shù)x0的遞減函數(shù)r(x)x(t：txm:r(x):人口數(shù)為x時的人口增長率r:固有增長率，即人口很少時的增長率r(x)=r-ax,顯然x0r(xrxxmr(x0ar由Malthus

r(x)dx

xx)x x(0) 由方程組（1）可得Logisticx(t)

1(xmxm、rdx/dtrsx,s

2195120014年的數(shù)據(jù)用于驗證模型的x(t)

0.0324(t運用此模型對1900年-2100年口進行預測，可得到如下S型曲線20 Logistic曲1949年、1950年、2002年、20032003年）的預測，預測值的相對誤差值較低。傳統(tǒng)Logistic人口預測在人口預測時精確度不高，與實際情況吻合性較差。同時，若作長期的人口預測，由于誤差的疊加，極易導致結(jié)果的產(chǎn)生。分析LogisticxmLogistic模型進行改進。

優(yōu)化的GM(1,1)模型在中短期預測的應(yīng)用依照中國1994年到2005年的人口來預測中短期內(nèi)中國的人口，實際是對已知數(shù)據(jù)10年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量較少。而且人口的變化具有規(guī)律性和隨機性的同時參考[6]，可以使用優(yōu)化的GM(1,1)模型優(yōu)化的GM(1,1)模x(0)(k):原始的第k年的人口總數(shù)

x(0)(k){x(0)(1),x(0)(2),...x(0)x(0k代表原始的第k年的人口總數(shù)。x(0k做一次累加生成，即

kkx(1)(k)x(0)x(1)(k){x(0)(1),x(0)(1)x(0)(2),...x(1)(n1)x(0)據(jù)此建立關(guān)于x(1)(k)的微分方程

(1)這是一個一階微分方程，式中a、ua、uua(BTB)1u

1/2[x(1)(2)x(1) 11/2[x(1)(3)x(1) 1B 1/2[x(1)(n)x(1)(n 1 NN

x(0)(2),x(0)(3),...,x(0)C

x(1)(k)cea(k1)aC(DTD)1A(x(1)(1)u/a,x(1)(2)u/ ,x(1)(n)u/,enaD(ea,,ena則對t+1x(0)(t1)x(1)(t1)x(1) 擬合值與實際值最為接近。故而選取5維模型為最優(yōu)預測模型?，F(xiàn)取1994-1998年的數(shù)據(jù)，依據(jù)優(yōu)化的GM(1,1)模型，可以得到相應(yīng)的預測模型x(0)(t)1205.1(e0.1t0.1e0.1t0.2 相對誤差7.2.22001-2005x(0)(t)2187.2(e0.0059t0.0059e0.0059t0.01182006202521年的人口進行預測有 2006-2025年人口預聯(lián)系到《國家人口發(fā)展》中提及的兩大國家：到2010年，人口

Leslie模型在人口長期預測中的應(yīng)用別分為六種情況：城市女性、城市、鎮(zhèn)女性、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村女性及鄉(xiāng)村。先對城市女性人口的發(fā)展變化進行分析，再將其拓展到城市人口的發(fā)展變化上。其他兩20051，以后各年推測200520062006200548%由于男女出生比例不為1：1，故使用Leslie模型分別對男女進行預測。先進行女性7.2.2。以女性為基礎(chǔ)的Leslie(1)不考慮生存空間等自然資源的制約,不考慮意外等因素對人口變化的影響(2)率僅與有關(guān)，存活率也僅與有關(guān)7.2.3 ri/100：男女比ni

第t年中為i的女性總?cè)耍▽嵸|(zhì)上為城市女性占2005年人口的比例：為i的女性率：為i的女性率：為i的女性存活率，且有si=1-di將人口按等分為0到90歲，T ,n90(t)] n0(t1)=100r(t)(bid0)ni

ni1(t1)sinin(t1)

，100(bm2d0r100(b0d0 100(b1d0100(bm2d0r r

r

r

其中ri僅與有關(guān)，考慮到具體情況，可將已知數(shù)據(jù)取平均值由于將總?cè)丝跀?shù)按照地域 分為六種情況，故先考慮城市女性情況將ri取平均值，用 7.1編程（具體原代碼見附錄5）實現(xiàn)8.2.2過程，城市城市女性占2006年城市人口50 時間/7-1倒S20062006（基量）同樣，對女性及鄉(xiāng)村女性人口預測也得到“倒S曲線”，下面分析其原因:假設(shè)n(0)和矩陣L已經(jīng)由統(tǒng)計資料給出，則n(t) t 為了討論女性人口結(jié)構(gòu)的長遠變化趨勢，先給出如下兩個條件si>0，i=1，2，…，m-bi0，i=1，2，…，mbi（i當>1當=1當<1時，人口數(shù)最終是遞減的。根據(jù)（6）式，如果=1，則有b1+b2s1+b3s1s2+…+bms1s2…sm-R=b1+b2s1+b3s1s2+…+bms1s2…sm-R稱為凈增長率，它的實際含義是每個婦女一生中所生的平均數(shù)。當R>1時，R<1時，人口遞減。7.2.3隨著時間的推移，將呈現(xiàn)出“倒S曲線”，人口將遞減直到。這提示我們因加強宏觀8參考文楊文明，口化發(fā)展趨勢預測 王穎文，我國新生嬰兒比率嚴重失調(diào) 中心網(wǎng)專家:今后中國應(yīng)控制每位育齡婦育近兩胎水平.cn/常雷雷，一個改進的Logistic模型及其在湖南人口預測中的應(yīng)用， 251期，20073姜啟源，數(shù)學模型 ，高 各率率(百萬分各率率(百萬分之08口統(tǒng)計（1949-時間/人口/時間/人口/時間/人口/時間/人口/時間/人口/3（Logistic模型的程序functionx_yu