八年級數(shù)學全等三角形（培優(yōu)難題）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——八年級數(shù)學全等三角形（培優(yōu)難題）北京四中八年級培優(yōu)班數(shù)學全等三角形復(fù)習題

1．如圖1，已知在等邊△ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于P，則∠APE的度數(shù)是。

OAACEDPBD圖1ECBBEDA圖2圖3

2．如圖2，點E在AB上，AC＝AD，BC＝BD，圖中有對全等三角形。

3．如圖3，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝25°，則∠BED等于度。4．如圖4所示的2×2方格中，連接AB、AC，則∠1＋∠2＝度。

CC1B2A圖4CADEA

OD圖5FB

BE圖6C

5．如圖5，下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結(jié)論，推出一個正確的命題。（）

①AE＝AD；②AB＝AC；③OB＝OC；④∠B＝∠C。

6．如圖6，在△ABC中，∠BAC＝90°，延長BA到點D，使AD＝AC的中點。

（1）求證：DF＝BE；

（2）過點A作AG∥BC，交DF于點G，求證：AG＝DG。

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1AB，點E、F分別為邊BC、27．如圖7，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AD，以下結(jié)論正確的是（）A.AB－AD＞CB－CDB.AB－AD＝CB－CD

C.AB－AD＜CB－CDD.AB－AD與CB－CD的大小關(guān)系不確定

AADBDC圖7BFEC圖8

8．InFig.8,Let△ABCbeanequilateraltriangle,DandEbepointsonedgesABandACrespectively,FbeintersectionofsegmentsBEandCD,and∠BFC=120°,thenthemagnituderelationbetweenADandCEis()

A.AD>CEB.AD

29．如圖29，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直

AD線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為題設(shè)，余下一個作為結(jié)論，寫一個真命題，并加以證明。

①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF。

BECF

圖29

A

30．如圖30，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、ABE上，且△DEF也是等邊三角形。

（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想

F是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化想到得到？寫出變化過程。

BD

圖30

31．如圖31，點B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可補充的一個條件是：（寫一個即可）。

CCABED圖31

DCOAB32．如圖32，AC交BD于點O，請你從下面三項中選出兩個作為條件，另一個為結(jié)論，寫出一個真命題，并加以證明。①OA＝OC；②OB＝OD；③AB∥DC。

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圖32

33．如圖33，要在湖的兩岸A、B間建一座欣賞橋，由于條件限制，無法直接度量A、B兩點間的距離。請你用學過的數(shù)學知識按以下要求設(shè)計一測量方案。

（1）畫出測量圖案；

（2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）；

（3）設(shè)計AB的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）。

A34．如圖34，在△ABC中，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE

＝FE，AE＝CE，AB與CF有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論。E

D

BC圖34

O35．如圖35，OP是∠AOC和∠BOD的平分線，OA＝OC，OB＝OD。

求證：AB＝CD。

BDACP

圖35

36．如圖36，已知AB＝AC，A（1）若CE＝BD，求證：GE＝GD；（2）若DE＝mBD（m為正數(shù)），試猜想GE與GD有何關(guān)系。（只寫結(jié)論，不證明）

D-7-

F內(nèi)部資料注意保管BCEG圖36

Q37．復(fù)習“全等三角形〞知識時，都是布置了一道作業(yè)題：AG“如圖37（1），已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC

內(nèi)任意一點，將AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP＝∠BAC，連接BQ、CP，則BQ＝CP。〞

小亮是個愛動腦筋的同學，他通過圖（2）的分析，證明白QPP△ABQ≌△ACP，從而證得BQ＝CP，之后，他將點P移到

FC等腰三角形ABC之外，原題中其他條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ＝B(2)(1)CP〞依舊成立，請你就圖（2）給出證明。

圖37

38．文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形〞這一命已知：如圖，在△ABC中，?B＝?C。題時，畫出圖形，寫出“已知〞“求證〞（如圖38），她們對各自所作的求證：AB＝AC。輔助線描述如下：

A文文：“過點A作BC的中垂線AD，垂足為D〞；彬彬：“作△ABC的角平分線AD〞。

數(shù)學老師看了兩位同學的輔助線作法后說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要訂正。〞

（1）請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里；

BC（2）根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程。D圖38

39．將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖39（1）擺放在一起，它們的較短直角邊長為3。

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AEE'lAElE'AED'lAEFD'BClBC(1)DBC'C(2)圖39D'DBC(3)DD(4)

（1）將△ECD沿直線l向左平移到圖（2）的位置，使E點落在AB上，則CC′＝；

（2）將△ECD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，使點E落在AB上，則△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)＝；

（3）將△ECD沿直線翻折到圖（4）的位置，ED′與AB相交于F，求證：AF＝FD′。

40．已知：點O至△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB＝OC。（1）如圖40（1），若點O在邊BC上，求證：AB＝AC；（2）如圖（2），若點O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC；（3）若點O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示。

AAOEBO(1)圖40FCB(2)C

41．以下條件中，能判定兩個直角三角形全等的是（）A.兩個銳角相等B.兩條邊對應(yīng)相等

C.一條邊與一個銳角對應(yīng)相等D.斜邊與一個銳角對應(yīng)相等

42．如圖43，AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF，則（）A.BE＋CF＞EFB.BE＋CF＝EF

C.BE＋CF＜EFD.BE＋CF與EF的大小關(guān)系不確定

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AFEBD圖43BHEAA'B'C

20°圖45C

AFD圖44BC

43．如圖44，在△ABC中，E、D分別是邊AB、AC上的點，BD、CE交于F，AF的延長線交

BC于H點，若∠1＝∠2，AE＝AD，則圖中的全等三角形共有（）對。A.3B.5C.6D.7

44．如圖45，將△ABC圍著C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)20°，B點落在B′點位置，A點落在A′點位置，若AC⊥A′B′，則∠BAC＝。45．如圖46，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4。將矩形ABCD沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為。

DCCAFPAFBDD'圖46AM圖47B

46．如圖47，設(shè)正△ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是BC邊上的任意一點，PA＋

22

PM的最大值和最小值分別記為s和t，則s－t＝。

47．如圖48，D為等邊△ABC內(nèi)一點，DB＝DA，BF＝AB，∠DBF＝∠DBC，則∠BFD的度數(shù)為°。

AA'48．如圖49，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分別是∠ACB、A′C′B′的角平分線，

且CD＝C′D′，AB＝A′B′，∠ADC＝∠A′D′C′。你能判斷△ABC與△A′B′C′全等嗎？假使能，請給出證明；假使不能，請說B明理由。

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B圖48CDD'CB'圖49C'內(nèi)部資料注意保管

49．如圖50，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三條邊A1B1、C1B1C1、C1A1交△ABC各邊于C2、C3、A2、A3、B2、B3，已知A2C3

222

＝C2B3＝B2A3，且C2C3＋B2B3＝A2A3，請你證明：A1B1⊥C1A1。

AB2AA3A2C1B1C3CA3A2B2BMB3A1圖50B1C3CBB3A1圖50C2C2

提醒：如圖過A3作A3M∥C1A1，過B3作B3M∥AB。連結(jié)C2M、A2M?！鱉B3C2為正三角形。四邊形MC2C3A2是平行四邊形有MA22＋A3M2＝A2A32A3M⊥A2MA1B1⊥C1A1。

50．如圖51，點C在線段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，F(xiàn)C＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFE的度數(shù)。

D提醒：連結(jié)AE、BD

△ABE≌△FCA△ABD≌△CFB

A△AEF△BDF都等腰直角三角形。51．如圖52，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五邊形ABCDE的面積。

B提醒：旋轉(zhuǎn)△AED至△ABF處?！鰽CF≌△ACD

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ECBFC圖51DAE圖52

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52．如圖53，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分B∠BAC，交CD于K，交BC于E，F(xiàn)是BE上的一點，且BF＝CE。求證：FK∥AB。DBF提醒：過E作EG⊥AB于G。EG△CKF≌△EGBKDF∠CFK＝∠B

ECK圖53

AC

53．已知△XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形（∠Z＝90°），它的3個項點分別在等腰Rt△ABC（∠C＝90°）的三邊上。求△ABC直角邊長的最大可能值。解：

A

注：其中??b?4ac，為韋達定理：當??0時，一元二次方程有兩個實數(shù)根；當??0時，一元二次方程有一個實數(shù)根；當??0，一元二次方程無實數(shù)根。54．如圖54，AA′、BB′、CC′交于點O，且AA′＝BB′＝CC′＝1，∠AOC′＝∠BOA′＝∠COB′＝60°。求證：（1）S△AOC′＋S△BOA′＋S△COB′＜

B'23；43。16C'A（2）S△AOC′、S△BOA′、S△COB′中至少有一個不大于

CBA'圖54-12-內(nèi)部資料注意保管

EB'AOCBDFC'A'

證明：（1）延長C′C至D，取CD＝C′O，延長BB′至E，取B′E＝BO。則△ODE為正三角形

在ED上取EF＝OA′，連接B′F、CF。則△EB′F≌△OBA′，△CDF≌△C′OAS△EOD＝

343。4∴S△AOC′＋S△BOA′＋S△COB′＜

33（2）假設(shè)S△AOC＞、S△BOA′＞、S

1616△COB＞

3。16記OA＝a，OB＝b，OC＝c，則根據(jù)余弦定理求面積公式，有：

1???a1?c??4?1???b1?a??4?1???c1?b??4?三式相乘

3?a?1?c?sin60???2???b?1?a?sin60???2??c?1?b?sin60???2??整理后：

316316316?1?abc?1?a??1?b??1?c????。

?4?1?a??1?a??而0?a?1?a???，故??24??2?1?abc?1?a??1?b??1?c????。

?4?3矛盾。因此，題目結(jié)論成立。

55．如圖55，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等邊三角形，則四邊形AEFD的面積為。

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FDAB圖55EC

56．如圖56，△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝60°，則△AMN的周長＝。

57．如圖57，已知四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BC