線性代數(shù)課件第一章

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§1.4可逆矩陣

定義設(shè)A是n階方陣。若存在n階方陣B，使

AB=BA=I

則稱A是可逆矩陣，稱B是A的逆矩陣。例討論n階零方陣0與n階單位矩陣I的可逆性。

例初等矩陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣也是初等矩陣。

例設(shè)方陣A

滿足，證明都可逆。證明由已知得且

于是有由(1)得可逆，且；由(2)得可逆，且。▌

定理設(shè)A是方陣，則A是可逆矩陣的充分必要條件是A滿秩。例設(shè)則當(dāng)時(shí)，A可逆，并且

設(shè)矩陣A可逆，則存在若干個(gè)初等矩陣使…………①①式兩邊同時(shí)右乘，又得…………②①、②式表明：把A化為I的初等行變換同時(shí)把

I化為A–1

。由此得求逆矩陣的又一種方法：例求矩陣A的逆矩陣解

所以，

▌

推論設(shè)A是n階方陣，若存在n階方陣B使AB=I或BA=I，則A可逆且。

性質(zhì)（1）若A可逆，則也可逆，且（2）若A可逆，則也可逆，且（3）若A與B是同階可逆矩陣，則AB也可逆，且例設(shè)B是n階可逆矩陣，且令證明：當(dāng)時(shí)，A可逆，且證明因故A可逆，且

▌

例設(shè)A與B是同階方陣，且A、B、A+B都可逆，證明：也可逆。證明因?yàn)锳與B都可逆，故存在與使，于是，又均可逆，故也可逆，且

定理設(shè)A是n階方陣，則齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是A不可逆。

▌矩陣方程：AX=C，XB=D，AXB=F其中A、B、C、D、F均為已知矩陣，而X為未知矩陣。當(dāng)系數(shù)矩陣A、B都是可逆矩陣時(shí)，

AX=CXB=DAXB=F

例解矩陣方程例解矩陣方程例已知矩陣A、B、X滿足下述關(guān)系其中求X。解由可得

▌例設(shè)矩陣X滿足，其中(1)證明：可逆；(2)求X。解

（1）∵∴滿秩由此得可逆。（2）由可得

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